- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Введение
- •1. Психология и математика
- •1.1. Методологические проблемы использования математики в психологии
- •1.2. Планирование психологических экспериментов и обработка получаемых данных
- •1.3. Использование методов математического моделирования в психологии
- •1.4. Информация и психические процессы
- •1.5. Математические методы в проектировании деятельности человека
- •1.6. Системный анализ в психологии
- •1.7. Применение эвм в психологии
- •2. Понятие выборки
- •2.1. Полное исследование
- •2.2. Выборочное исследование
- •2.3. Зависимые и независимые выборки
- •2.4. Требования к выборке
- •2.5. Репрезентативность выборки
- •2.6. Формирование и объем репрезентативной выборки
- •3. Измерения и шкалы
- •3.1. Измерения
- •3.2. Измерительные шкалы
- •Правила ранжирования
- •3.3. Как определить, в какой шкале измерено явление
- •Задачи и упражнения
- •4. Формы учета результатов измерений
- •4.1. Таблицы исходных данных
- •4.2. Таблицы и графики распределения частот
- •Решения тестовой задачи
- •4.3. Применение таблиц и графиков распределения частот
- •4.4. Таблицы сопряженности номинативных признаков
- •Зависимость распределения оставленных и полученных открыток от их содержания
- •Задачи и упражнения
- •В трех группах
- •5. Первичные описательные статистики
- •5.1. Меры центральной тенденции
- •5.2. Выбор меры центральной тенденции
- •5.3. Квантили распределения
- •5.4. Меры изменчивости
- •Задачи и упражнения
- •6. Нормальный закон распределения и его применение
- •6.1. Понятие о нормальном распределении
- •6.2. Нормальное распределение как стандарт
- •6.3. Разработка тестовых шкал
- •Тестовые нормы – таблица пересчета «сырых» баллов в стены
- •Пример нелинейной нормализации: пересчет «сырых» оценок в шкалу стенайнов
- •6.4. Проверка нормальности распределения
- •Задачи и упражнения
- •7. Общие принципы проверки статистических гипотез
- •7.1. Проверка статистических гипотез
- •7.2. Нулевая и альтернативная гипотезы
- •7.3. Понятие уровня статистической значимости
- •7.4. Статистический критерий и число степеней свободы
- •7.5. Этапы принятия статистического решения
- •7.6. Классификация психологических задач, решаемых с помощью статистических методов
- •8. Статистические критерии различий
- •8.1. Параметрические и непараметрические критерии
- •8.2. Рекомендации к выбору критерия различий
- •9. Корреляционный анализ
- •9.1. Понятие корреляционной связи
- •9.2. Коэффициент корреляции Пирсона
- •9.3. Коэффициент корреляции рангов Спирмена
- •Случай одинаковых (равных) рангов
- •Расчет уровней значимости коэффициентов корреляции
- •Задачи и упражнения
- •Показатели количества ошибок в тренировочной сессии и показатели уровня вербального и невербального интеллекта
- •10. Параметрические критерии различия
- •Задачи и упражнения
- •Результативность испытуемых контрольной и опытной групп (среднее число пораженных мишеней из 25 в 10 сериях испытаний)
- •11. Выявление различий в уровне исследуемого признака
- •11.1. Обоснование задачи сопоставления и сравнения
- •Упорядоченные по убыванию вербального интеллекта ряды индивидуальных значений в двух студенческих выборках
- •Подсчет ранговых сумм по выборкам студентов физического и психологического факультетов
- •Подсчет ранговых сумм по группам испытуемых, работавших над четырьмя неразрешимыми анаграммами
- •Показатели по шкале Авторитетности в группах с разным
- •Задачи и упражнения
- •Показатели сокращения психологической дистанции (в %) после социодраматической замены ролей в группе
- •Показатели интенсивности внутреннего сопротивления при обращении в службу знакомств (в мм)
- •Индивидуальное значение по фактору n 16pf в 4 возрастных группах руководителей (по данным е. В. Сидоренко, 1987)
- •12. Оценка достоверности сдвига в значениях исследуемого признака
- •12.1. Обоснование задачи исследований изменений
- •Классификация сдвигов и критериев оценки их статистической достоверности
- •Оценки степени согласия с утверждениями о допустимости телесных
- •Оценки степени согласия с утверждениями о допустимости телесных
- •Расчет количества положительных, отрицательных и нулевых сдвигов в двух группах суггерендов
- •Расчет критерия т при сопоставлении замеров физического волевого усилия
- •12.4. Критерий χr2 Фридмана
- •Показатели времени решения анаграмм (сек)
- •Задачи и упражнения
- •Оценки степени согласия с утверждениями о допустимости телесных
- •Оценки реального и идеального уровней развития коммуникативных
- •13. Выявление различий в распределении признака
- •13.1. Обоснование задачи сравнения распределений признака
- •13.2.1. Сравнение эмпирического распределения с теоретическим
- •13.2.2. Сравнение двух экспериментальных распределений
- •13.2.3. Использование критерия хи-квадрат для сравнения показателей внутри одной выборки
- •13.3.1. Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим
- •Расчет критерия при сопоставлении распределения выборов
- •13.3.2. Сопоставление двух эмпирических распределений
- •Задачи и упражнения
- •Частота встречаемости запретов на психологические поглаживания
- •14. Многофункциональные статистические критерии
- •14.1. Понятие многофункциональных критериев
- •14.2 Критерий φ* – угловое преобразование Фишера
- •Четырехклеточная таблица для расчета критерия при сопоставлении двух групп испытуемых, по процентной доле решивших задачу
- •Показатели расстояния (в см), выбираемого агрессивными и неагрессивными юношами в разговоре с сокурсником (по данным г. А. Тлегеновой, 1990)
- •Показатели интенсивности ощущения собственной недостаточности
- •Четырехклеточная таблица для расчета критерия φ* при сопоставлении групп с большей и меньшей энергией вытеснения по соотношению показателей недостаточности
- •Четырехклеточная таблица для расчета критерия φ* при сопоставлении групп с большей и меньшей энергией вытеснения по уровню показателя недостаточности
- •Четырехклеточная таблица для сопоставления групп с разной энергией вытеснения по частоте нулевых значений показателя недостаточности
- •Распределение прогнозов общепрактикующих врачей о том, какова будет доля приемных с фондами в 1993 году
- •Расчет максимальной разности накопленных частостей в распределениях прогнозов врачей двух групп
- •Распределение прогнозов у врачей с фондами и врачей без фондов
- •Четырехклеточная таблица для подсчета критерия φ* Фишера для выявления различий в прогнозах двух групп общепрактикующих врачей
- •Задачи и упражнения
- •Показатели преобладания правого и левого глаза в выборке
- •Показатели количества партнеров у врачей с фондами и врачей без фондов (по данным м. А. Курочкина, е. В. Сидоренко, ю. А. Чуракова, 1992)
- •Библиографический список
- •Критические значения коэффициента корреляции rxy Пирсона
- •Приведем оглавление диплома
- •Глава I. Теоретические основы агрессивности и тревожности личности.
- •Глава II. Основные результаты выполненного исследования агрессивности и тревожности личности и их зависимости от уровня субъективного контроля.
- •Методика Баса-Дарки
- •Методика уск (уровень субъективного контроля)
- •Методика Спилбергера-Ханина
- •Краткая классификация задач и методов их статистического решения [36,4]
9.2. Коэффициент корреляции Пирсона
Термин «корреляция» был введен в науку выдающимся английским естествоиспытателем Френсисом Гальтоном в 1886 г. Однако точную формулу для подсчета коэффициента корреляции разработал его ученик Карл Пирсон. Знакомство с корреляционным анализом мы начнем с изучения этого коэффициента. Сам коэффициент характеризует наличие только линейной связи между признаками, обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что, если связь между признаками имеет линейный характер, коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. Поэтому он называется также коэффициентом линейной корреляции Пирсона.
Величина коэффициента линейной корреляции Пирсона не может превышать +1 и быть меньше чем -1. Эти два числа +1 и -1 – являются границами для коэффициента корреляции. Когда при расчете получается величина большая +1 или меньшая -1 – следовательно, произошла ошибка в вычислениях.
Если коэффициент корреляции по модулю оказывается близким к 1, то это соответствует высокому уровню связи между переменными. Так, в частности, при корреляции переменной величины с самой собой величина коэффициента корреляции будет равна +1. Подобная связь характеризует прямо пропорциональную зависимость. Если же значения переменной X будут распложены в порядке возрастания, а те же значения (обозначенные теперь уже как переменная Y) будут располагаться в порядке убывания, то в этом случае корреляция между переменными X и Y будет равна точно –1. Такая величина коэффициента корреляции характеризует обратно пропорциональную зависимость.
Знак коэффициента корреляции очень важен для интерпретации полученной связи. Подчеркнем еще раз, что если знак коэффициента линейной корреляции – плюс, то связь между коррелирующими признаками такова, что большей величине одного признака (переменной) соответствует большая величина другого признака (другой переменной). Иными словами, если один показатель (переменная) увеличивается, то соответственно увеличивается и другой показатель (переменная). Такая зависимость носит название прямо пропорциональной зависимости.
Если же получен знак минус, то большей величине одного признака соответствует меньшая величина другого. Иначе говоря, при наличии знака минус, увеличению одной переменной (признака, значения) соответствует уменьшение другой переменной. Такая зависимость носит название обратно пропорциональной зависимости. При этом выбор переменной, которой приписывается характер (тенденция) возрастания – произволен. Это может быть как переменная X, так и переменная Y. Однако если психолог будет считать, что увеличивается переменная X, то переменная Y будет соответственно уменьшаться, и наоборот. Эти положения очень важно четко усвоить для правильной интерпретации полученной корреляционной зависимости.
В общем виде формула для подсчета коэффициента корреляции такова:
, (9.1)
где xi – значения, принимаемые переменной X;
yi – значения, принимаемые переменной Y;
Мх – средняя по X;
Му – средняя по Y.
Расчет коэффициента корреляции Пирсона предполагает, что переменные X и Y распределены нормально.
Формула (9.1) предполагает, что из каждого значения xi переменной X, должно вычитаться ее среднее значение Мх. Это неудобно. Поэтому для расчета коэффициента корреляции используют не эту формулу, а ее аналог, получаемый простыми преобразованиями:
, (9.2)
где и,
или модификацию этой формулы:
. (9.3)
Согласно формулам (9.2) и (9.3) необходимо подсчитать сумму каждой переменной, сумму квадратов каждой переменной и сумму последовательных произведений переменных друг на друга. Подчеркнем, что сумма квадратов – не равняется квадрату суммы!
Обратим внимание еще вот на какое обстоятельство. В формуле (9.1) встречается величины
. (9.4)
При делении на n (число значений переменной X или Y) она называется ковариацией. Выражение (9.4) может быть подсчитано только в тех случаях, когда число значений переменной X равно числу значений переменной Y и равно n. Формула (9.4) предполагает также, что при расчете коэффициентов корреляции нельзя произвольно переставлять элементы в коррелируемых столбцах, как это делается, например, в случае расчета по критерию S Джонкира.
Используя формулу (9.3), решим следующую задачу.
Пример 9.1. 20 школьникам были даны тесты на наглядно-образное и вербальное мышление. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Психолога интересует вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения этих задач? Переменная X обозначает среднее время решения наглядно-образных, а переменная Y – среднее время решения вербальных заданий тестов.
Решение. Прежде всего, сформулируем гипотезы.
Н0: связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач отсутствует.
Н1: связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач присутствует.
Представим исходные данные в виде таблицы, в которой введены дополнительные столбцы, необходимые для расчета по формуле (9.3). В таблице 9.1 даны индивидуальные значения переменных X и Y, построчные произведения переменных Х и Y, квадраты переменных всех индивидуальных значений переменных X и Y, а также суммы всех вышеперечисленных величин.
Таблица 9.1
№ испытуемых |
X |
Y |
X∙Y |
X∙X |
Y∙Y |
Среднее время решения наглядно-образных заданий |
Среднее время решения вербальных заданий | ||||
1 |
19 |
17 |
323 |
361 |
289 |
2 |
32 |
7 |
224 |
1024 |
49 |
3 |
33 |
17 |
561 |
1089 |
289 |
4 |
44 |
28 |
1232 |
1936 |
784 |
5 |
28 |
27 |
756 |
784 |
729 |
6 |
35 |
31 |
1085 |
1225 |
961 |
7 |
39 |
20 |
780 |
1521 |
400 |
8 |
39 |
17 |
663 |
1521 |
289 |
9 |
44 |
35 |
1540 |
1936 |
1225 |
10 |
44 |
43 |
1892 |
1936 |
1849 |
11 |
24 |
10 |
240 |
576 |
100 |
12 |
37 |
28 |
1036 |
1369 |
784 |
13 |
29 |
13 |
377 |
841 |
169 |
14 |
40 |
43 |
1720 |
1600 |
1849 |
15 |
42 |
45 |
1890 |
1764 |
2025 |
16 |
32 |
24 |
768 |
1024 |
5760 |
17 |
48 |
45 |
2160 |
2304 |
2025 |
18 |
42 |
26 |
1092 |
1764 |
679 |
19 |
33 |
16 |
528 |
1089 |
256 |
20 |
47 |
26 |
1222 |
2209 |
676 |
Сумма |
731 |
518 |
20089 |
27873 |
16000 |
Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корреляции по формуле (9.3).
.
Определяем критические значения для полученного коэффициента корреляции по таблице критических значений коэффициента корреляции Пирсона (таблица 1 приложения 1). Особо отметим, что в этой таблице величины критических значений коэффициентов линейной корреляции Пирсона даны по абсолютной величине. Следовательно, при получении как положительного, так и отрицательного коэффициента корреляции по формуле (9.3) оценка уровня значимости этого коэффициента проводится по той же таблице без учета знака, а знак добавляется для дальнейшей интерпретации характера связи между переменными X и Y.
При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента линейной корреляции Пирсона гэмп число степеней свободы рассчитывается как k = n – 2. В нашем случае к = 20, поэтому n – 2 = 20 – 2 = 18. В первом столбце таблицы 1 приложения 1 в строке, обозначенной числом 18, находим:
Строим соответствующую ось значимости.
Ввиду того, что величина расчетного коэффициента корреляции попала в зону значимости – гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Иными словами, связь между временем решения наглядно-образных и вербальных задач статистически значима на 1% уровне и положительна. Полученная прямо пропорциональная зависимость говорит о том, что чем выше среднее время решения наглядно-образных задач, тем выше среднее время решения вербальных, и наоборот.
Для применения коэффициента корреляции Пирсона необходимо соблюдать следующие условия:
Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.
Распределения переменных Х и Y должны быть близки к нормальному.
Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.
Таблицы уровней значимости для коэффициента корреляции Пирсона рассчитаны от n = 5 до n = 1000. Оценка уровня значимости по таблицам осуществляется при числе степеней свободы k = n – 2.