442

81

13.3. Контрольные вопросы

Как называется решение модели симплекс-методом, если:

1.При решении математической модели симплекс-методом проверка условия допустимости приводит к неоднозначному выбору исключаемой переменной?

2.При решении математической модели прямая представляющая целевую функцию параллельна прямой соответствующей связывающему неравенству и целевая функция принимает одно и тоже оптимальное значение на некотором множестве точек границ пространства решений?

3.Пространство допустимых решений является не ограниченным?

4.Невозможно одновременно выполнить ограничения модели?

82

14. ОПТИМИЗАЦИЯВЫПУСКАПРОДУКЦИИМЕБЕЛЬНОГОЦЕХА

14.1. Основные положения и методические указания

Намечается выпуск продукции двух видов – шкаф, офисный стол. Для производства шкафа требуется 1м3 МДФ, 2м3 ДСП и 1 чел.-день. трудозотрат; для офисного стола – 3,5м3 МДФ, и 0.5м3 ДСП и тоже 1 чел.-день. трудозатрат. Для производства мебели имеется 350м3 МДФ, 240 м3 ДСП и 150 чел.-дней трудозатрат. По плану мебели не должно быть менее 110 штук и необходимо обеспечить прибыль не менее 1400 у.е. Требуется определить оптимальное число мебели каждого вида, обеспечивающее максимальную прибыль, если прибыль от реализации шкафа составляет 10 у.е., а от офисного стола 20 у.е. [5]

14.2. Решим задачу методом динамического программирования.

Пусть х1 – число шкафов, а х2 – число офисных столов. Прибыль от шкафов составляет 10х1 у.е., а от столов 20х2 у.е., т.е. необходимо максимизировать целевую функцию f ( x ) =10x1 + 20x2 .

Расход МДФ составляет x1 + 3,5x2 , ДСП 2x1 + 0,5x2 , трудовых ресурсов х1+х2. Поэтому ограничения задачи имеют вид:

x1 + 3,5x2 ≤ 350; 2x1 + 0,5x2 ≤ 240; x1 + x2 ≤150;

10x1 + 20x2 ≥1400; x1 ≥ 0;x2 ≥ 0.

Первые три неравенства описывают ограничения по ресурсам, четвёртое и пятое – соответственно плановое задание по общему числу мебели и ограничение по прибыли.

Для решения задачи симплекс-методом сведем систему ограничений к равенствам путем введения неотрицательных слабых переменных х3,х4,х5,х6,х7

83

(в первом и втором ограничениях проведём умножение на 2, а в пятом сократим

хj≥0, j =1,7.

Первым этапом в симплекс-методе является отыскание опорного решения

– допустимого базисного решения, с которого начинается поиск оптимального решения. Чтобы решение было опорным, базисные переменные должны быть неотрицательны, т.е. элементы bi(i =1,5 ) столбца свободных членов должны быть неотрицательны. Для поиска опорного решения надо сформулировать дополнительную фиктивную целевую функцию ϕ(х), элементы которой равны сумме элементов строк, отражающих те ограничения, где bi <0. С помощью симплекс-метода фиктивная целевая функция максимизируется. Если ϕ(х)=0 и при этом все коэффициенты в строке для ϕ(х) нулевые, то базисное решение будет опорным. Тогда, исключая строку для ϕ(х), переходим к отысканию оптимального решения исходной задачи. Исходная таблица симплекс-метода для нашей задачи имеет вид табл. 2.1

84

Согласно табл. 2.1. f(x)=-10(-xi)+(-20)(-x2)=10x1+20x2. Проведём максими-

зацию функции ϕ(х). Берём меньший отрицательный коэффициент, равный -3; он указывает, что переменную х2 надо перевести в базисные. Чтобы определить какую переменную из базисных надо перевести в свободные, рассмотрим по-

- 140/(-2)=70. Минимальное значение, равное 70, указывает, что х7 надо перевести в свободные, а генеральным (разрешающим) элементом является (-2).Для получения следующей симплекс таблицы применим метод полного исключения Жордана (табл. 2.2).

Разрешающую строку (для х7) делим на (-2) и заносим в табл. 2.2; столбец х2 заполняем нулями. Столбцы для х3,х4,х5,х6 переносим без изменения, так как они пересекают нулевые элементы разрешающей строки. Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника. Проверяем, совпадает ли сумма чисел в строке с числом в контрольном (последнем) столбце. Если сов-

падения нет, произошла ошибка в расчёте. Вместе с функцией ϕ(х) пересчитываю и целевую функцию f(х).

85

Продолжаем максимизировать ϕ(х). В базисные переменные можно пере-

вести х1 и х7, так как для них есть отрицательные коэффициенты в строке ϕ(х). Переводим х1 в базисные переменные. По минимуму положительных отношений bi к элементам столбца (-x1) выбираем элемент х6, который надо перевести в свободные, генеральный элемент – (-1/2), разрешающую строку для х6 и разрешающий столбец для х1. Получим табл. 2.3.

Из табл. 2.3. видно, что достигнет максимум фиктивной целевой функции

(ϕ(х)=0), и все коэффициенты в строке ϕ(х) равны нулю, т.е. получено опорное решение х6+х7=0, х1=80, х2=20, х3=330, х4=130, х5=40. Это решение не является оптимальным, так как в строке f(x) имеется отрицательный коэффициент.

Продолжаем улучшать решение симплекс-методом. Строку ϕ(х) исключаем. Генеральным будет элемент (1,7), равный 5; х7 переводим в базис (вместо х3). Получим табл. 2.4, затем табл. 2.5. В табл. 2.4. отмечен генеральный элемент.

86

В табл. 2.5. все коэффициенты строки f(x) неотрицательны, значит максимум достигнут и получено соответствующее ему решение: х1=70, х2=80, fmax(x)=2300. Таким образом, максимальная прибыль составит 2300 у.е. при производстве 70 шкафов и 80 офисных столов. Слабые переменные остались равными х3=0, х4=120, х5=0, х6=40, х7=90. Значения х3,х4,х5 показывают остатки ресурсов: МДФ и трудовые ресурсы израсходованы полностью, ДСП осталось 120м3; х6 и х7 показывают, на сколько перевыполнены плановые задания по числу мебели и по прибыли.

14.3.Контрольные вопросы

1.Каким образом составляются ограничения по ресурсам, прибыли общему числу продукции?

2.Чтоназываетсяопорным, базиснымрешением, фиктивнойцелевойфункцией?

3.Как проводятся первая, вторая и третья итерации?

4.Что показывают переменные х1,х2,х3,х4,х5,х6,х7?

87

15. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДСТВ СРЕДИ ДВУХ ПРЕДПРИЯТИЙ С ЦЕЛЬЮ МАКСИМИЗАЦИИ ДОХОДА

15.1. Основные положения и методические указания

Для двух предприятий выделено 1400 единиц денежных средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если

f2 ( y) = 4y ? Остаток средств к концу года составляет g1 (x) = 0,5x - для первого предприятия, - для второго предприятия [6].

15.2. Решим задачу методом динамического программирования.

Процесс распределения средств разобьем на 4 этапа – по соответствующим годам.

Обозначим ak = xk + yk - средства, которые распределяются на k–ом шаге как сумма средств по предприятиям.

Суммарный доход от обоих предприятий на к–ом шаге:

Обозначим zk (ak ) - максимальный доход, полученный от распределения средств ak между двумя предприятиями с k-го шага до конца рассматриваемого периода.

Рекуррентные соотношения Беллмана для этих функций

89

При таком распределении средств за 4 года будет получен доход, равный

15.3.Контрольные вопросы

1.Этапы динамического программирования.

2.Оптимизация распределения средств по годам на базе динамического программирования.

3.Какие факторы влияют на максимизацию прибыли предприятия с точки зрения динамического программирования?

90

16. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ НА ПРИМЕРЕ ДЕРЕВООБРАБАТЫВАЮЩЕГО ЦЕХА

16.1. Основные положения и методические указания

Деревообрабатывающий цех имеет 5 станков. Поток заявок на обработку древесины простейший. Среднее число заявок, поступающих в цех за сутки, равно 140. Время обработки одной заявки на одном станке распределено по показательному закону и составляет в среднем 40 минут. Определить, существует ли стационарный режим работы цеха; вероятность того, что заявка застанет все станки занятыми; среднее число заявок в цеху; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания свободного станка; среднее время пребывания заявки в цеху.

Для решения задач такого типа следует изучить раздел «Марковские системы массового обслуживания», познакомиться с классификацией СМО, показателями эффективности, параметрами и характеристиками СМО. Изучить решение задачи Эрланга, расчет показателей эффективности для различных типов СМО [6].

16.2. Определение режима работы деревообрабатывающего цеха

Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью [9]. Число каналов k =5. Найдем λ-

интенсивность потока заявок:λ = М1[Т] , где М[T ] = 14024 ≈ 0,17 (час.) - среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока пользова-