Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая матматика том2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.04.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Пример.

−1 +

−1

−1 = t

+ t

)12t

∫

x −1 = t; x

;

∫

=12∫

dt =

−

1)(1

−

)

=12t dt;

tdt

∫ 2

dt +

∫

=12

−

dt +

1−

dt =12

tdt

−12

+12

dt −

t +

t +1

t +

t +1

−12∫

= 6t 2 +12t −6ln(t 2 +1) −12arctgt + C = 66 x −1 +1212 x −1 − 6ln(6 x −1 +1) −

1+ t

−12arctg12 x −1 + C.

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки t = λ x , где λ - общий знаменатель m и n.

2)	Если		m +1		- целое число, то интеграл рационализируется подстановкой
			n

t = s a + bxn , где s – знаменатель числа р.
3)	Если	m +1		+ p - целое число, то используется подстановка		t = s	a +bxn	,	где s –
			n				xn

знаменатель числа р.

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида ∫R(x, ax2 + bx + c )dx .

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

±u 2 ± m2 .

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1)	∫R(u, m2		−u 2 )du;
2)	∫R(u,	m2	+ u 2 )du;
3)	∫R(u,	u 2 − m2 )du;

1 способ. Тригонометрическая подстановка.

Теорема: Интеграл вида ∫R(u, m2 −u 2 )du подстановкой u = msin t или

u = m cost сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:

∫

− x2 dx =

= a sin t;

= ∫

− a2 sin 2 ta costdt = ∫a2 cos

2 tdt

∫(1+ cos 2t)dt =

dx = a costdt

a2t

sin 2t +C

a2t

sin t cost +C

arcsin

− x2

+C.

Теорема:

Интеграл

вида

∫R(u,

+ u 2 )du

подстановкой

u = mtgt

илиu = mctgt сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Пример:

x = atgt;dx =

dt;

∫

cos

∫

a costdt

= ∫

cos

tdt

∫

−sin

t)d sin t

+ x

cos

sin

+ x

;

cost

+ x

)

3 / 2

+ x

= −

+ C

sin t =

1−

= −

+ C.

3a4 sin3 t

sin t

+ x2

3a4 x3

4 x

+ x

Теорема:

Интеграл

вида

∫R(u,

u 2 − m2 )du

подстановкой

u =

или

sin t

u = cosm t сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Пример:

2sin t

∫

x =

; dx =

dt;

= ∫

2sin t costdt

∫ctg

cost

cos

tdt =

x(x

− 4)

5 / 2

cos

t 2

− 4

= 2tgt;

∫ctg

−

1 dt

= −

∫ctg

(ctgt) −

∫ctg

tdt

= −

ctg

t −

∫

−1 dt =

sin

= −

ctg 3t +

ctgt +

+ C =

ctgt =

= −

12(x2

− 4)3 / 2

− 4

arccos

+C.

2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)

1) Если а>0, то интеграл вида ∫R(x, ax2 + bx + c)dx рационализируется подстановкой ax2 + bx + c = t ± x a .

2) Если a<0 и c>0, то интеграл вида ∫R(x, ax2 + bx + c)dx рационализируется подстановкой ax2 +bx + c = tx ± c .

3) Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида ∫R(x, ax2 + bx + c)dx рационализируется

подстановкой ax2 +bx + c = t(x − x1 ) .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования, т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

I.∫	P(x)dx	;	II.∫P(x) ax	2	+bx + cdx;
	ax2 + bx + c

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

III.∫			dx			;
	(x −α)	n	ax	2
					+bx + c

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

		Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”
∫	P(x)dx		=Q(x) ax2 +bx + c + λ∫			dx	;
	2			ax	2	+bx + c
	ax	+bx + c

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а λ - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного

выражения, затем умножают	на ax2 + bx + c	и, сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях х, определяют λ и коэффициенты многочлена Q(x).
Данный метод выгодно	применять, если	степень многочлена Р(х) больше

единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример.

∫

3x3 −7x2 +1

dx = (Ax2 + Bx +C) x2 − 2x +5 + λ∫

− 2x + 5

− 2x +5

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на

ax2 + bx + c и

сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

3x3 −7x2 +1

= (2Ax + B) x2 − 2x +5 +

Ax2 + Bx +C

(x −1) +

x2 − 2x + 5

x2 − 2x +5

(2Ax + B)(x2 − 2x + 5) + (Ax2 + Bx +C)(x −1) + λ= 3x3 −7x2 +1

2Ax3 − 4Ax2 +10Ax + Bx2 − 2Bx +5B + Ax3 + Bx2 +Cx − Ax2 − Bx −C + λ = 3x3 −7x2 +1

3Ax3 −(5A − 2B)x2 + (10A −3B +C)x +5B −C + λ = 3x3 −7x2

A =1

5A − 2B = 7

B = −1

+ C

= 0

= −13

10A −3B

5B −C + λ =1

λ = −7

Итого ∫

3x3

− 7x2 +1

dx = (x2 − x −13)

− 2x + 5 − 7∫

+ 4

− 2x + 5

(x −1)

= (x2

− x −13) x2 − 2x + 5 −7 ln(x −1+

− 2x + 5) +C.

Пример.

∫(4x

− 6x) x

+ 3dx = ∫

(4x2 − 6x)(x2

+ 3)

dx = (Ax

+ Bx

+Cx + D) x

+ 3

+ λ∫

+ 3

4x4 − 6x3 +12x2 −18x

= (3Ax

+ 2Bx +C) x

+ 3 +

(Ax3

+ Bx2 +Cx + D)x

x2 + 3

4x4 − 6x3 +12x2 −18x = (3Ax2 + 2Bx +C)(x2 +3) + Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx + λ

4x4 −6x3 +12x2 −18x = 3Ax4 + 2Bx3 +Cx2 +9Ax2 + 6Bx +3C + Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx + λ

4x4 −6x3 +12x2 −18x = 4Ax4

+3Bx3 + (2C +9A)x2 + (6B + D)x +3C + λ

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

A =1; B = −2; C = 3/ 2; D = −6; λ = −9 / 2;

∫(4x2 −6x) x2 + 3dx = x3

− 2x2

x − 6

x2 + 3 −

+ C.

x + x2

Пример.

x =

;

v3dv

v2 dv

∫

= −∫

(Av + B) 1−v2 + λ∫

−v

−1

dx = −

−

= A 1− v2 −

(Av + B)v

1− v2

1−v2

− v2 = A − Av2 − Av2 − Bv + λ

−v2 = −2Av2 − Bv + A + λ

A =1/ 2;

B = 0;

λ = −1/ 2;

v 1− v

−1

− ∫

−

arcsin v

− arcsin

+ C

1−v

Второй способ решения того же самого примера.

tgt

sin t

∫

x =

;dx =

dt;

= ∫

cos

dt = ∫

sin t cos4 t

dt = ∫cos

cost

tdt =

−1

−1 = tgt;

tgt

cos

t sin t

cos

−1

(1+ cos 2t)dt =

t +

sin 2t =

sin 2t = 2sin t cost = 2

∫2

−1

arccos

+C.

учетом

того,

что

функции

arcsin

arccos

связаны соотношением

arcsin

= π

− arccos

, а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы,

полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Пример.

x = sin t;

costdt

∫

= ∫

= dx = costdt;

= tgt +C =

+C.

− x

)

3 / 2

cos

1− x

cost = 1

− x2

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

К таким интегралам относится интеграл вида ∫R(x, P(x))dx , где Р(х)-

многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется

ультраэллиптическим.

Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции,

то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

1)	∫e−x2 dx -	интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик
	(1781-1840))
2)	∫sin x2 dx;	∫cos x2 dx - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский
	ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

3)∫lndxx - интегральный логарифм

4)∫exx dx - приводится к интегральному логарифму

5)∫sinx x dx - интегральный синус

6)∫cosx xdx - интегральный косинус

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y M

m
0	a	xi	b	x

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b] Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x0, x1] → m1, M1; [x1, x2] → m2, M2; … [xn-1, xn] → mn, Mn.

Составим суммы:

						n
		S n = m1 x1 + m2 x2 + … +mn xn = ∑mi					xi
						i=1
						n
				n = M1 x1 + M2 x2 + … + Mn xn = ∑M i			xi
		S		n = M1 x1 + M2 x2 + … + Mn xn = ∑M i			xi
						i=1
Сумма S называется нижней интегральной суммой,							а сумма		– верхней
Сумма S называется нижней интегральной суммой,							а сумма	S	– верхней
интегральной суммой.
Т.к. mi ≤ Mi, то S n ≤			n, а m(b – a) ≤ S n ≤			n ≤ M(b – a)
Т.к. mi ≤ Mi, то S n ≤	S		n, а m(b – a) ≤ S n ≤		S	n ≤ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку ε.

x0 < ε1 < x1, x1 < ε < x2, … , xn-1 < ε < xn.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(ε1) x1 + f(ε2) x2 + … + f(εn) xn = ∑ f (εi ) xi

i=1

Тогда можно записать: mi xi ≤ f(εi) xi ≤ Mi		xi
n	n	n
Следовательно, ∑mi	xi ≤ ∑ f (εi )	xi ≤ ∑M i xi
i=1	i=1	i=1

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Sn ≤ Sn ≤ Sn

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим max xi – наибольший отрезок разбиения, а min xi – наименьший. Если max xi→ 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

n		n
Если Sn = ∑ f (εi ) xi , то lim		∑ f (εi ) xi = S.
i=1	max xi →0	i=1
i=1		i=1
Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что max xi→ 0 и
		n
произвольном выборе	точек εi	интегральная сумма Sn = ∑ f (εi ) xi стремится к
		i=1
пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
Обозначение : ∫b	f (x)dx.
a

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

	Определение:		Если	для	функции	f(x)	существует	предел
	n	b
maxlimxi →0	∑ f (εi )	xi = ∫ f (x)dx, то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].
	i=1	a
				n	b
Также верны утверждения: maxlimxi →0				∑mi	xi = ∫ f (x)dx
				i=1	a
				n	b
			maxlimxi →0	∑M i	xi = ∫ f (x)dx
				i=1	a

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1)	∫b Af (x)dx = A∫b		f (x)dx;
	a	a
2)	∫b ( f1 (x) ± f2 (x))dx = ∫b			f1 (x)dx ± ∫b	f2 (x)dx
	a		a	a
3)	∫a	f (x)dx = 0
	a
4)	Если f(x) ≤ ϕ(x) на отрезке [a, b]				a < b, то∫b	f (x)dx ≤ ∫b ϕ(x)dx
					a	a

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

5)Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

m(b − a) ≤ ∫b f (x)dx ≤ M (b − a)

6)Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка ε такая, что

∫b f (x)dx = (b − a) f (ε)

Доказательство: В соответствии со свойством 5:

m ≤	1	∫b	f (x)dx ≤ M

	b − a a

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число ε [a, b], что если

1	∫b	f (x)dx = μ и μ = f(ε), а	a ≤ ε ≤ b, тогда ∫b	f (x)dx = (b − a) f (ε) . Теорема

b − a a			a

доказана.

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

∫b	f (x)dx = ∫c	f (x)dx + ∫b	f (x)dx
a	a	c

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8) ∫b	f (x)dx = −∫a	f (x)dx
a	b

Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и ϕ(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция ϕ(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка ε, такая, что

	∫b	f (x)ϕ(x)dx = f (ε)∫b ϕ(x)dx
	a		a
Вычисление определенного интеграла.
Пусть в интеграле ∫b	f (x)dx		нижний предел а = const, а верхний предел b
a

изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим ∫x	f (t)dt = Ф(х).	Найдем производную функции Ф(х) по
a

переменному верхнему пределу х.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

d ∫x f (t)dt = f (x) dx a

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какаялибо первообразная от непрерывной функции f(x), то

∫b f (x)dx = F(b) − F(a)

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в

соответствии с приведенной выше теоремой, функция ∫x f (t)dt - первообразная

функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

∫x f (t)dt = F(x) +C

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

∫a f (t)dt = F(a) + C

0 = F(a) +C

C = −F(a)

Тогда ∫x f (t)dt = F(x) − F(a) .

А при х = b: ∫b f (t)dt = F(b) − F(a)

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

∫b f (x)dx = F(b) − F(a)

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.04.2015136.6 Кб12бу.docx
#
11.04.2015254.98 Кб137ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНУЮ ГРАФИКУ Лекция 1.doc
#
11.04.2015158.93 Кб30ведущий курсяк.docx
#
11.04.201580.1 Кб5вот как бывает.docx
#
11.04.2015529.91 Кб11вто моеWord.docx
#
11.04.20151.31 Mб14Высшая матматика том2.pdf
#
11.04.2015334.96 Кб21геоморф.docx
#
11.04.2015580.61 Кб96ГОТОВЫЙ КУРСЯК.doc
#
11.04.201548.6 Кб12давно на палочке.docx
#
11.04.2015978.85 Кб222Декоративная дендрология -ЛА(ФЗО).pdf
#
11.04.201532.62 Кб33дендрология.docx