Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая матматика том2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.04.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

7x − 2

84x − 24

u =

6x −5; du = 6dx;

dx =

u +

∫

3x2 −5x + 4

∫36x2 −60x + 48

∫(6x −5)2 +

x =

;

∫

14u + 70 − 24

du =

∫

udu

∫

ln(u

+ 23) +

arctg

+ C =

+ 23

3 23

36x2

− 60x + 48

arctg

6x −5

+ C.

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

∫

5x −3

dx = ∫

5x −3

u = x + 3;

du = dx;

= ∫

5u −15 −3

du = 5∫

udu

dx =

−

+ 6x − 40

(x + 3)

− 49

x = u −3;

−18∫

u 2

− 49

−

u − 7

+ C =

x2 + 6x − 40

−

x − 4

+ C.

u + 7

x +10

− 49

Пример.

∫

3x + 4

dx = ∫

3x + 4

dx =

u = x −3;

du = dx;

= ∫

3u +9 + 4

du = 3∫

udu

+3;

− x

16 −

(x −3)

16 −u

−u

+ 6x

x = u

+13∫

= −3

16 −u 2

+13arcsin

+C = −3

7 − x2

−6x +13arcsin

x −3

+C.

16 −u

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида ∫

можно путем выделения в знаменателе полного

(ax

+ bx + c)

квадрата представить в виде ∫

. Сделаем следующее преобразование:

+ s)

∫

s +u 2 −u

du =

∫

−

∫

u 2 du

+ s)

n−1

+ s)

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

udu

; u

= u;

= du;

+ s)

Обозначим:

udu

v1 = ∫

= −

;

+ s)

2(n −1)(u

+ s)

n−1

∫

u 2 du

= −

∫

;

+ s)

(2n − 2)(u

+ s)

n−1

− 2

+ s)

n−1

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Для исходного интеграла получаем:

∫

−

∫

+ s)

n−1

s(2n

− 2)(u

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

+ s)

∫

2n −3

∫

s(2n − 2)(u

+ s)

n−1

s(2n − 2)

+ s)

n−1

+ s)

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то

получится табличный интеграл ∫

+ s

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

Mx + N

u =

2ax + b;

du = 2adx;

dx = (4a)

dx =

u −b

∫(ax2 + bx + c)n

∫[(2ax +b)2 + (4ac −b

2 )]n

s = 4ac −b2

x =

;

(4a)n

M (u −b)

+ N

(4a)n M

udu

2aN − Mb

∫

+ s)

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s

приводится к табличному ∫tdtn , а ко второму интегралу применяется рассмотренная

выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример:

∫

3x +5

dx = ∫

3x +5

dx =

= x − 2;

du = dx;

= ∫

3u + 6 +5

du =

= u + 2;

−

4x + 7)

((x −

+3)

= 3∫

udu

+11∫

= u 2

+3;

∫

+11

+3)

3 2(u

+ 3)

3 2

= 2udu;

= −

11u

arctg

+ C

= −

11(x − 2)

arctg

x − 2

+C.

6(u 2 +

2(x2 − 4x + 7)

6(x2 − 4x + 7)

6 3

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Теорема: Если R(x) = QP((xx)) - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x)

которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

Q(x)

+... +

Bβ

x + N

P(x)

x − a

(x − a)2

(x − a)α

(x −b)

−b)2

(x −b)β

+ px + q

x + N

+...

x + N

+... +

R x + S

x + S

+... +

Rμ x + Sμ

(x2

+ px + q)2

(x2 + px + q)λ

+ rx + s

(x2 + rx + s)2

(x2 + rx + s)μ

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

9x3 −30x2 + 28x −88

∫ (x2 −6x +8)(x2 + 4) dx

Т.к. ( x2 −6x +8)(x2 + 4) = (x − 2)(x − 4)(x2 + 4) , то

9x3 −30x2 + 28x −88	=	A	+	B	+	Cx + D
(x − 2)(x − 4)(x2 + 4)		x − 2		x − 4		x2	+ 4

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

A(x − 4)(x2 + 4) + B(x − 2)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 −6x +8) = 9x3 −30x2 + 28x −88

(A + B +C)x3 + (−4A − 2B − 6C + = 9x3 −30x2 + 28x −88.

A + B +C = 9

− 4A − 2B −6C + D = −30

4A + 4B +8C −6D = 28

−16A −8B +8D = −88

D)x2 + (4A + 4B +8C − 6D)x + (−16A −8B +8D) =

C = 9 − A − B

D = −30 + 4A + 2B + 54 − 6A − 6B2A + 2B + 4C −3D =14

2A + B − D =11

C = 9 − A − B

D = 24 − 2A − 4B

2A + 2B + 36 − 4A − 4B − 72 + 6A +12B =14

2A + B − 24 + 2A + 4B =11

C = 9 − A − BD = 24 − 2A − 4B

4A +10B = 50

4A + 5B = 35

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

C = 9 − A − B

A = 5

= 24

− 2A − 4B

= 24 − 2A − 4B

= 3

4A +10B = 50

50 −10B + 5B = 35

B = 3

D = 2

Итого:

+ 2

∫

dx + ∫

dx = 5ln

x − 2

+3ln

x − 4

+ ∫

dx + ∫

−

− 4

+ 4

= 5ln

x − 2

+3ln

x −

ln(x2

+ 4) + arctg

+C.

Пример.

∫

6x5 −8x4 − 25x3 +

20x2 − 76x − 7

3x3 − 4x2 −

17x + 6

часть:

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7

3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2

2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

20x2 − 25x − 25

4x2 −5x −5

3 +

dx +

3dx + 5

dx =

+3x +

∫

3 − 4x

2 −17x + 6

∫

∫3x3 − 4x2 −17x +

+5∫

4x2 −5x −5

− 4x

−17x

+ 6

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3

знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x3

– 4x2

– 17x + 6

x - 3

3x3

– 9x2

– 17x

3x2 + 5x - 2

5x2

– 15x

- 2x

+ 6

-2x

+ 6

Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:

4x2 −5x −5	=	A	+	B	+	C
(x −3)(x + 2)(3x −1)		x −3		x + 2		3x −1

A(x + 2)(3x −1) + B(x −3)(3x −1) +C(x −3)(x + 2) = 4x2 −5x −5

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

40A =16	A = 2 / 5

35B = 21	B = 3/ 5

C =1	C =1

Окончательно получаем:

∫

6x5

−8x4 − 25x3 + 20x2 − 76x − 7

dx =

3x + 3∫

2∫

+ 5∫

3x3 − 4x2 −17x + 6

x + 2

x −3

3x −1

x3 + 3x + 3ln

x + 2

+ 2ln

x −3

3x −1

+ C.

Пример.

∫

3x4

+14x2 + 7x +15

dx = ∫

dx + ∫

Bx + C

dx + ∫

Dx + E

(x + 3)(x

x +

+ 2)

+ 2

Найдем неопределенные коэффициенты:

A(x2

+ 2)2 + (Bx +C)(x +3) + (Dx + E)(x + 3)(x2

+ 2) = 3x4

+14x2 + 7x +15

Ax4 + 4Ax2 + 4A + Bx2 +3Bx +Cx +3C + Dx4 + 2Dx2 +3Dx3 + 6Dx + Ex3 + 2Ex +3Ex2 + 6E =

= (D + A)x4 + (3D + E)x3 + (A + B + 2D + 3E + 4A)x2 + (3B +C + 6D + 2E)x + (2A + 3C + 6E + 4A)

D + A = 3				D = 3 − A
	0				3A
3D + E =	0			E = −9 +	3A
			=14
B + 2D + 3E + 4A			=14	B + 6 − 2A − 27 + 9A + 4A =14
3B +C + 6D + 2E = 7				3B + C +	18 − 6A −18 + 6A = 7
		4A =15
3C + 6E +		4A =15		3C −54 +18A + 4A =15

D = 3 − A		D = 3 − A		A = 3
			3A
E = −9 + 3A		E = −9 +	3A	B = 2
			− B
B +11A = 35		11A = 35	− B	C =1
3B +C = 7		C = 7 −3B		D = 0
	= 69
3C + 22A	= 69	21−9B + 70 − 2B = 69		E = 0

Тогда значение заданного интеграла:

3∫

+ ∫

2x +1

= 3∫

+ 2∫

dx + ∫

x +3

= 3ln

−

x + 3

(x2 + 2)2

x + 3

(x2

+ 2)2

(x2 + 2)2

x2 + 2

arctg

+C.

4(x2 + 2)

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида ∫R(sin x,cos x)dx .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и

cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки

t = tg

. Эта подстановка

позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

2tg

1−tg

1−t 2

sin x =

cos x =

;

2 x

+t 2

2 x

1+ tg

1+t 2

Тогда x = 2arctgt;

dx =

2dt

;

1+t 2

1−t

2 dt = ∫r(t)dt.

Таким образом: ∫R(sin x,cos x)dx = ∫R

+ t

1+ t

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической

подстановкой.

Пример.

2dt

∫

= ∫

1+t 2

= 2∫

4sin x +3cos x +5

1−t

8t + 3 −3t

+5 + 5t

+8t +8

1+t 2

= ∫

∫

= −

+ C

= −

+ C.

+ 4t + 4

+ 2)

+ 2

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

∫

= ∫

2dt

= 2∫

9 +8cos x + sin x

+ t 2 ) 9 +

8(1−t

)

+ 2t

+17

(t +1)

+16

1+ t

t +1

arctg

+ C.

arctg

+ C

Интеграл вида ∫R(sin x,cos x)dx если функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

∫R(sin x,cos x)dx = ∫R(sin x,cos x) cos xdx cos x

Функция R(sin x,cos x) может содержать cosx только в четных степенях, а cos x

следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

∫R(sin x,cos x)dx = ∫r(sin x) cos xdx = ∫r(t)dt.

Пример.

cos7

xdx

(1−t 2 )3

1−3t 2 + 3t 4 −t 6

∫

sin x = t

= ∫

∫

dt = ∫

−3∫

= dt = cos xdx

dt =

sin

x =1

−sin

cos

+ 3∫dt − ∫t 2 dt = −

+ 3t −

t 3

= −

+ 3sin x −

sin3 x

+ C.

3sin

sin x

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида ∫R(sin x,cos x)dx если функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда ∫R(sin x,cos x)dx = ∫r(cos x)sin xdx = −∫r(t)dt.

Пример.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

sin

cos x = t

∫

dx =

= −∫

+ cos x

dt = −sin xdx

= ∫ t + 2

−

dt = ∫tdt + ∫

t +

1−t

∫

+ 4t + 4

− 4t

−5

dt =

∫

(t + 2)

− 4t −5

dt =

2 + t

t + 2

2dt − 4∫

tdt

−5∫

t 2

+ 2t −5ln

t + 2

− 4∫

dt =

t + 2

+ 2

+ B

t + 2

t +

A + Bt

+ 2 = t

t 2

+ 2t −5ln

t + 2

− 4

dt =

t 2

+ 2t −5ln

t + 2

+8ln

t + 2

− 4t =

∫t + 2

∫

B =1,

A = −2

− 2

t +

t + 2

t 2

− 2t +3ln

t + 2

+C =

cos2 x

− 2cos x +3ln(cos x + 2) +C.

Интеграл вида ∫R(sin x,cos x)dx функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда ∫R(sin x,cos x)dx = ∫r(t)dt

Пример.

tgx = t;

cos2

∫sin 2 x + 6sin x cos x −16cos2 x

∫tg 2 x + 6tgx −16

dx =

cos

= ∫

=∫

tgx + 3

−5

+ C =

tgx − 2

+ 6t

−16

(t + 3)

tgx + 3

tgx +8

− 25

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

= d(tgx) = dt

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

∫cos mx cos nxdx = ∫	1	[cos(m + n)x + cos(m − n)x]dx =	1	sin(m + n)x		+	sin(m − n)x

	2		2		m + n		m − n

∫sin mx cos nxdx = ∫

[sin(m + n)x +sin(m − n)x]dx =

cos(m + n)x

cos(m − n)x

−

m + n

m − n

∫sin mx sin nxdx = ∫

[−cos(m + n)x + cos(m − n)x]dx =

sin(m + n)

sin(m − n)

−

m + n

m − n

Пример.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

∫sin 7x sin 2xdx = 12 ∫cos5xdx − 12 ∫cos9xdx = 101 sin 5x −181 sin 9x +C.

Пример.

∫sin10x cos 7x cos 4xdx = ∫sin10x[cos7x cos 4x]dx = 12 ∫sin10x cos11xdx + 12 ∫sin10x cos3xdx =

=14 ∫sin 21xdx − 14 ∫sin xdx + 14 ∫sin13xdx + 14 ∫sin 7xdx = −841 cos 21x − 14 cos x − 521 cos13x −

−281 cos 7x +C.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

∫

4dx

dctg2x

− 2

= −2ctg2x +C

sin

x cos

sin

Пример.

∫sin

xdx

= ∫

−

cos 2x dx

∫

(1−cos 2x)

dx =

∫(1−

2cos 2x + cos

2x)dx =

∫dx −

∫cos 2xdx

∫cos2 2xdx =

−

sin 2x +

∫

(1+ cos 4x)dx =

−

sin 2x

[

dx +

∫

cos 4xdx]=

−

sin 2x

sin 4x

1 3x

−sin 2x +

sin 4x

+C.

∫

4 2

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример.

u = ln x;

du =

dx;

= e du;

p = cosu;

∫cos(ln x)dx =

= ∫eu cosudu =

= eu cosu +

q = e

;

dx = e

dp = −sin udu;

;

x = e

du;

= e

p = sin u; dq

du;

= eu cosu + eu sin u − ∫eu cosudu;

+ ∫eu sin udu =

q = e

dp = cosudu;

;

Итого ∫eu cosudu = eu (cosu +sin u) − ∫eu cosudu

		Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”
∫eu cosudu =			eu		(cosu + sin u) + C
∫eu cosudu =					(cosu + sin u) + C
	2						x
∫x cos(ln x)	1	dx =					x	(cos(ln x) + sin(ln x)) + C
∫x cos(ln x)		dx =						(cos(ln x) + sin(ln x)) + C
	x					2
∫cos(ln x)dx =				x				π
						cos			− ln x + C;
				2		cos			− ln x + C;
				2				4

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

ax +b

Интеграл вида ∫R x,

cx + d

dx где n- натуральное число.

С помощью подстановки n

ax + b

= t

функция рационализируется.

cx + d

′

ax + b

−b

= t

;

x =

;

dx =

dt;

cx + d

a − ct

− ct

′

ax +b

t n

−b

t n

−b

dt = ∫r(t)dt.

Тогда ∫R x,

= ∫R

cx + d

a − ct

Пример.

−

2dx

− dx

−

∫

− 2x = t; dt

= ∫

= −2∫

= 4 1

;

− 2x −

− 2x

−t

t −1

− 2x )

= −2∫

t +

dt = −2∫tdt − 2∫

= −t

− 2∫

dt = −t

− 2t − 2ln

t −1

+C =

−1

t −

t −1

= − 1− 2x − 24 1− 2x − 2ln 4 1− 2x −1 +C.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.04.2015136.6 Кб12бу.docx
#
11.04.2015254.98 Кб137ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНУЮ ГРАФИКУ Лекция 1.doc
#
11.04.2015158.93 Кб30ведущий курсяк.docx
#
11.04.201580.1 Кб5вот как бывает.docx
#
11.04.2015529.91 Кб11вто моеWord.docx
#
11.04.20151.31 Mб14Высшая матматика том2.pdf
#
11.04.2015334.96 Кб21геоморф.docx
#
11.04.2015580.61 Кб96ГОТОВЫЙ КУРСЯК.doc
#
11.04.201548.6 Кб12давно на палочке.docx
#
11.04.2015978.85 Кб222Декоративная дендрология -ЛА(ФЗО).pdf
#
11.04.201532.62 Кб33дендрология.docx