Высшая матматика том2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы интегрирования: по оси ОХ: y = − 1− x2

по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1;

∫(3 − x − y)dydx = 3π;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.04.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

y y = ψ(x)

y = ϕ(x)

Пример. Вычислить интеграл ∫∫(x − y)dxdy , если область	ограничена
линиями: y = 0, y = x2, x = 2.
y
4

		0											x

						2
2	x2	2		2		y=x	2	2				4			4			5	2
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx ∫		(x − y)dy = ∫(xy −	y					= ∫(x	3		x		x				x
			y						3		x		x				x
					)					−			)dx =			−				=
			2		)					−	2		)dx =	4		−	10			=
0	0	0	2			y=0		0			2			4			10		0
= 4 −3,2 = 0,8

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области ,

ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = Φ(y), x = Ψ(y) (Φ(y) ≤ Ψ(y)), то

	d	Ψ( y)
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy ∫ f (x, y)dx
	c Φ( y)
Пример. Вычислить интеграл ∫∫(x2		+ y2 )dxdy , если область		ограничена
линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
y
2		y = x


1
1
0			x

111

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

	2		2		2	x		2			2			2	x3					2				y				2	4		3		4			4		2		64		4
∫∫(x	2		2	)dxdy = ∫dy∫(x				2			2	)dx = ∫			x3					2					dy = ∫				4		3		4			4		2		64		4
∫∫(x		+ y		)dxdy = ∫dy∫(x					+ y			)dx = ∫						+ y			x				dy = ∫					y		dy =			y				=		−		= 5
																3													3				12							12 12
					1	0								1										0				1										1
					1	0								1										0				1										1
	Пример.					Вычислить						интеграл								∫∫(3x2						− 2xy + y)dxdy ,											если				область
интегрирования					ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.
												2	y2															2									y2
		∫∫(3x2			− 2xy + y)dxdy = ∫dy ∫(3x2											− 2xy + y)dx = ∫(x3 − yx2																		+ yx)					dy =
																																		+ yx)					dy =
																																					0
												0	0															0									0
						2												y	7			y	6			y	4		2		244
						= ∫( y	6			5			3					y				y				y					244
									− y			+ y		)dy =						−					+					=
									− y			+ y		)dy =			7			−		6			+	4				=		21
						0											7					6				4			0			21
	Пример.				Вычислить							двойной						интеграл										∫∫y ln xdxdy ,									если				область

интегрирования ограничена линиями ху=1, у = x , х = 2.

2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
	0.5	1		1.5	2		2.5
2	x	2	y2	x	2	x ln x
∫∫y ln xdxdy = ∫dx ∫y ln xdy = ∫			2	ln x	dx = ∫		2	−
1	1/ x	1	2	1/ x	1		2

ln x

2x2 dx

u = ln x; dv

= xdx;

x ln xdx =

ln x −

dx =

ln x −

∫

∫2

du =

dx; v =

ln x −

= 2ln 2 −1+

= 2ln 2 −

∫x ln xdx =

ln x

txdt

tdt

u = t;

ln x = t;

x = e

;

−t

dx =

tdt

∫ x2

∫

dx;

dv = e

x2 ; 4

du = dt;		= −te−t +
		= −te−t +
−t dt; v = −e−t ;

112

												Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”
+ ∫e−t dt = −te−t −e−t = −												ln x			−	1		;
+ ∫e−t dt = −te−t −e−t = −															−		x	;
												x					x
2	ln x			ln x				1		2				ln 2					1						ln 2			1
∫			dx = −			−					= −							−			+1 = −						+		;
∫	x	2	dx = −	x		−			x		= −				2			−	2		+1 = −					2	+	2	;
1	x			x					x	1					2				2							2		2
	∫∫y ln xdxdy =				1								3				ln 2					1		1 5ln 2						5		5ln 2		5
3.							2ln 2 −								+					−			=						−		=		−		.
3.					2		2ln 2 −						4		+			2		−			=	2			2		−		=	4	−	8	.
					2								4					2				2		2			2			4		4		8

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая вычисляет двойной интеграл от любой функции.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Замена переменных в двойном интеграле.

Расмотрим двойной интеграл вида ∫∫F(x, y)dydx , где переменная х изменяется в

пределах от a до b, а переменная у – от ϕ1(x) до Положим х = f(u, v); y = ϕ(u, v)

Тогда dx =	∂f	du +	∂f	dv ;	dy =	∂ϕ du +	∂ϕ dv ;
	∂u		∂v			∂u	∂v

∫∫F(x, y)dydx = ∫b dx

ϕ2(х).

ϕ2 ( x)

∫F(x, y)dy

ϕ1 ( x)

т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.

∂∂uf du + ∂∂fv dv = 0 , т.е. du = − ∂∂ff ∂∂uv dv

пожставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:

∂ϕ

∂f ∂v

∂ϕ dv =

∂ϕ

∂f

−

∂ϕ

∂f

dy = −

dv +

∂v

∂u

∂v

∂u

∂f

∂f ∂u

∂v

∂u

113

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

∂ϕ

∂f

∂ϕ

∂f

Выражение

−

∂u

∂v

называется определителем Якоби или

∂v

∂u

∂v

∂ϕ ∂ϕ

∂u

∂v

Якобианом функций f(u, v) и ϕ(u, v).

(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)

Тогда ∫∫F(x, y)dydx = ∫b dx	Ψ ( x)			i

	2∫	F( f (x, y),ϕ(x, y))				dv

			∂f		du
a	Ψ1 ( x)

Т.к. при первом интегрировании приведенное					выше выражение для dx

принимает вид dx =	∂f	du ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то
	∂u
при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:
		V2	Θ2 (v)
	∫∫F(x, y)dydx = ∫dv		∫F( f (u,v),ϕ(u,v))	i	du


		V1	Θ1 (v)

Двойной интеграл в полярных координатах.

Воспользуемся формулой замены переменных:

∫∫F (x, y)dxdy = ∫∫F( f (u,v),ϕ(u,v)) i dudv

x = ρcosθ

При этом известно, что

y = ρsin θ

В этом случае Якобиан имеет вид:

∂x

cos θ

−ρsin θ

∂ρ

∂θ

= ρcos

θ+ρsin θ = ρ

∂y

sin θ

ρcos θ

∂ρ

∂θ

Тогда ∫∫F(x, y)dxdy = ∫∫F(ρcos θ,ρsin θ)ρdρdθ = ∫∫ f (ρ,θ)ρdρdθ

τ	τ
Здесь τ - новая область значений, ρ = x2 + y2 ;	θ = arctg	y	;
Здесь τ - новая область значений, ρ = x2 + y2 ;	θ = arctg	x	;
		x

114

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Тройной интеграл.

При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

∫∫∫f (x, y, z)dxdydz = limx→0		∑∑∑ f (x, y, z) x y z
r	y→0	v
	z→0

Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью ϕ(x, y, z) = 0.

	x2	y2	z2
∫∫∫f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫				f (x, y, z)dzdydx
r	x1	y1	z1

Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.


																1	x2 xy
				Пример.		Вычислить интеграл ∫∫∫x2 yzdzdydx
																0	0	0
1 x2 xy			2				1 x2	2	z 2				xy			1 1 x2				2	2 2	1 1 x2		4 3	1 1		4	y 4	x2
			2					2	z 2				xy			1 1 x2				2	2 2	1 1 x2		4 3	1 1		4	y 4	x2
∫∫∫x yzdzdydx = ∫∫x																	∫∫x				yx y dydx =		∫∫x	y dydx =		∫x

									y				dydx =																dx =
0 0 0							0 0			2			0			2 0 0						2	0 0		2	0		4	0
=	1	∫1	x4 x8		dx =	1	∫1 x12 dx =				1	1		x13	1 =		1		.
	1		x4 x8			1					1	1					1

2		0		4		8	0			8		13			0	104
2		0		4		8	0			8		13			0	104

Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

Можно записать:

∫∫∫F(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫F( f (u,v, w),ϕ(u,v, w),ψ(u,v, w)) i dudvdw

r τ

115

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

		∂x	∂x	∂x
		∂x	∂x	∂x
		∂u	∂v	∂w
i	=	∂y	∂y	∂y
		∂y	∂y	∂y
		∂u	∂v	∂w
		∂u	∂v	∂w
		∂z	∂z	∂z
		∂u	∂v	∂w

Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе. См. Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Рассмотрим эти преобразования подробнее.

Цилиндрическая система координат.

θ x

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

x = ρcos θy = ρsin θ

z = z

ρ =

x2 + y2 ;

θ = arctg

;

z = z;

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах

вычисляем Якобиан:

∂x

∂ρ

∂θ

∂z

cos θ

−ρsin θ

∂y

sin θ

ρcos θ

= ρcos2 θ +ρsin 2 θ = ρ

∂ρ

∂θ

∂z

∂ρ

∂θ

∂z

116

	Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”
Итого: ∫∫∫F(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫F(ρcos θ,ρsin θ, z)ρdθdρdz
r	τ

Сферическая система координат.

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

x = ρsin ϕcos θy = ρsin ϕsin θ

z = ρcos ϕ

ρ =

x2 + y2 + z 2 ; θ = arctg

;

ϕ = arctg

x2 + y2

;

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем

Якобиан:

∂x

∂ρ

∂ϕ

∂θ

sin ϕcos θ

ρcos ϕcos θ

−ρsin ϕsin θ

∂y

sin ϕsin θ

ρcos ϕsin θ

ρsin ϕcos θ

= cos ϕ(ρ2 sin ϕcos ϕcos2 θ+

∂ρ

∂ϕ

∂θ

cos ϕ

−ρsin ϕ

∂z

∂ρ

∂ϕ

∂θ

+ ρ2 sin ϕcos ϕsin 2 θ) +ρsin ϕ(ρsin 2 ϕcos2 θ+ρsin 2 ϕsin 2 θ) = ρ2 cos2 ϕsin ϕ+ρ2 sin3 ϕ =

= ρ2 sin ϕ.

Окончательно получаем:

∫∫∫F(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫f (ρ,ϕ,θ)ρ2 sin ϕdρdϕdθ

r τ

117

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Геометрические и физические приложения кратных интегралов. 1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

		y = ϕ(x)
		S
		S
	a	y = f(x)	b	x


Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного
интеграла по формуле:	ϕ( x)
b	ϕ( x)
S = ∫	∫dydx

a f ( x)

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Построим графики заданных функций:

	6
	4
	2
-2	2	4	6	8
	-2
	-4
	-6

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область

интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от

x =

− 4

до х = 2 – у, а

по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

2−y

− 4

− 4y − y

+ 4

S = ∫ ∫

∫(− y

− 4y +12)dy =

dxdy = ∫ 2 − y −

dy = ∫

−6 y2 −4

−6

118

								Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”
	1		y3		4y2		2		1		8	36 6			4	36		1			8		1
=		−		−		+12y		=		−		−8 + 24 −		−			−12 6 =		88	−		= 21
=		−		−		+12y		=		−		−8 + 24 −		−			−12 6 =		88	−		= 21
	4		3		2				4		3		3			2		4			3		3
	4		3		2	−6			4		3		3			2		4			3		3

2) Вычисление площадей в полярных координатах.

θ2 ϕ(θ)

S = ∫∫ρdρdθ = ∫∫dydx = ∫ ∫ρdρdθ

τθ1 f (θ)

3)Вычисление объемов тел.

Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y), а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

z = f(x, y)

V = limx→0 ∑∑	x2	y2
V = limx→0 ∑∑	z y x = ∫∫zdydx = ∫∫zdydx
	x1	y1

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1; x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

119

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

−1− 1−x2

4) Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

	∂f 2			∂f	2	∂f 2
						+
			+			+
S = ∫∫		∂x		∂y			∂z	dydx
S = ∫∫				∂f				dydx

∂z

Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = ϕ(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

	∫∫		∂z 2			∂z 2
	∫∫
S =		1	+		+		dydx
				∂x		∂y

5)Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область ) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

-относительно оси Ох: I x = ∫∫y 2 dydx

-относительно оси Оу: I y = ∫∫x2 dydx

-относительно начала координат: I0 = I x + I y = ∫∫(x2 + y 2 )dydx - этот момент инерции называют еще полярным моментом инерции.

6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

xC =	∫∫wxdydx		yC =	∫∫wydydx
		;			;
	∫∫wdydx			∫∫wdydx

здесь w – поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади).

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.04.2015136.6 Кб12бу.docx
#
11.04.2015254.98 Кб137ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНУЮ ГРАФИКУ Лекция 1.doc
#
11.04.2015158.93 Кб30ведущий курсяк.docx
#
11.04.201580.1 Кб5вот как бывает.docx
#
11.04.2015529.91 Кб11вто моеWord.docx
#
11.04.20151.31 Mб14Высшая матматика том2.pdf
#
11.04.2015334.96 Кб21геоморф.docx
#
11.04.2015580.61 Кб96ГОТОВЫЙ КУРСЯК.doc
#
11.04.201548.6 Кб12давно на палочке.docx
#
11.04.2015978.85 Кб222Декоративная дендрология -ЛА(ФЗО).pdf
#
11.04.201532.62 Кб33дендрология.docx