Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая матматика том2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.04.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Теперь можно найти производную dydx = ψϕ′′((tt)) . Далее находятся значения параметра t,

при которых хотя бы одна из производных ϕ′(t) или ψ′(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и определяем знак производной dydx на каждом из

полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении

ккоторым и х и у стремится к бесконечности.

Востальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме.

Окружность.

Если центр окружности находится в начале координат, то координаты любой ее точки могут быть найдены по формулам:

x = r cost	0 ≤ t ≤ 3600
	0 ≤ t ≤ 3600
y = r sin t

Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2

Эллипс.

Каноническое уравнение:	x2	+	y2	=1.
	a2		b2

M(x, y)

ОN P

Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений

можно записать:	x	= a из ОВР и	y	= b из OCN, где а- большая полуось
	cost		sin t

эллипса, а b- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.

Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:

x = a costy = bsin t

где 0 ≤ t ≤ 2π

Угол t называется эксцентрическим углом.

Циклоида.

		С
М		К	πа	2πа
О	Р	В	πа	2πа	х

Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.

Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических соображений можно записать: OB = МВ= at; PB = MK = asint;

MCB = t; Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – acost = a(1 – cost).

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

x = at – asint = a(t – sint).

Итого: x = a(t −sin t)	при	0 ≤ t ≤ 2π - это параметрическое уравнение циклоиды.
y = a(1−cost)
Если исключить параметр, то получаем:
			a − y			2
x = 2πa − a arccos				−	2ay − y		,	πa ≤ x ≤ 2πa
x = 2πa − a arccos			a	−	2ay − y		,	πa ≤ x ≤ 2πa
			a

x = a arccos	a − y	−	2ay − y2 ,	0 ≤ x ≤ πa
	a

Как видно, параметрическое			уравнение	циклоиды намного удобнее в

использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.

Астроида.

Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса a/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса a.

a/4

Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую,

		3	t
x = a cos			t	,	0 ≤ t ≤ 2π,
				,	0 ≤ t ≤ 2π,
	3
y = a sin	3		t
y = a sin			t

Преобразуя, получим: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t) = a2/3

Производная функции, заданной параметрически.

Пусть x = ϕ(t)	,	t0 ≤ t ≤ T
y = ψ(t)

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Предположим, что эти функции имеют					производные и функция x = ϕ(t) имеет
обратную функцию t = Ф(х).
Тогда функция у = ψ(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = ψ[Ф(х)].
	dy	=	dy	dt	=	dψ(t)	d (x)	Ф
	dx		dt dx			dt	dx

т.к. Ф(х) – обратная функция, то d dx(x) =Фdϕ1(t) dt

	dy		dψ(t)		′
			dt		′
Окончательно получаем:		=	dt	=	ψ (t)
Окончательно получаем:	dx	=	dϕ(t)	=	′
	dx				ϕ (t)

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример. Найти производную функции	x2	+	y2	=1
	a2		b2

Способ 1: Выразим одну переменную через другую y = ± ba a2 − x2 , тогда

dy	= ±	b(−2x)	= ±	bx
dx
		2a a2 − x2		a a2 − x2

x = a cost

Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: y = bsin t .

b cost

− a sin t

− atgt

= a

cos t;

cos

=1+ tg

t = −1

− x2

tgt

= ±

− x2

;

= ±

cos2

a2 − x2

Кривизна плоской кривой.

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Определение: Угол α поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.

Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине больше угол смежности.

Определение: Средней кривизной Кср дуги AB называется отношение

соответствующего угла смежности α к длине дуги AB .

Kср = α

Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый ее участок.

Определение: Кривизной дуги в точке КА называется предел средней

кривизны при стремлении длины дуги AB → 0.

KA = lim Kср = lim α
A→B	AB→0 AB

Легко видеть, что если обозначить AB = S, то при условии, что угол α - функция, которая зависит от S и дифференцируема, то

K A = ddSα

Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина R =	1	.
	K A	.
	K A
Пусть кривая задана уравнением y = f(x).
y

Δϕ

A ϕ ϕ+Δϕ

Kcp =	ϕ	;	lim Kcp =	dϕ	;
	S			dS
			S →0

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

dϕ

Если ϕ = ϕ(x) и S = S(x), то

d 2 y

ϕ = arctg dy

dϕ

В то же время

= tgϕ;

dx2

dy 2

Для дифференциала дуги:

, тогда

dϕ

d 2 y / dx2

dϕ

1+ (dy

/ dx)2

d 2 y / dx2

(dy / dx)2

dy 2

3 / 2

d 2 y

Т.к.

K A

dϕ

dx2

В других обозначениях:

dy 2

3 / 2

K A	=		y′′			.

		[1	′	2	3 / 2

			+ ( y )		]

Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).

C(a, b)

Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости, то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.

Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.

Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.

Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по формулам:

	′	+ y	′2	)
a = x −	y (1	+ y		)	;
a = x −		y′′			;
		y′′

b = y + 1+yy′′′2 ;

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.

Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны кривой определяют уравнение эволюты.

Свойства эволюты.

Теорема 1: Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

Теорема 2: Модуль разности радиусов кривизны в любых точках кривой равен модулю длины соответствующей эволюты.

		С3

	С2		R2 − R1	= C1C2

R1	С1		R3 − R2	= C2C3
R1	R2	R3
M1
M’1	M2	M3

M’2

M’3

Надо отметить, что какой – либо эволюте соответствует бесконечное число эвольвент. Указанные выше свойства можно проиллюстрировать следующим образом: если на эволюту натянута нить, то эвольвента получается как траекторная линия конца нити при ее сматывании или разматывании при условии, что нить находится в натянутом состоянии.

Пример: Найти уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:

x = a(cost +t sin t)y = a(sin t −t cost)

x = a(−sin t + sin t +t cost) = at costy = a(cost − cost +t sin t) = at sin t

′

= tgt;

′ 2

= sec

1+ ( y )

′′

d(tgt)

sec3 t

= sec

t x

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

			at sec		2	t
	p = a(cost +t sin t) −		at sec			t	tgt = a cost
	p = a(cost +t sin t) −		3		t		tgt = a cost
Уравнения эволюты:			sec		t
Уравнения эволюты:		at sec2 t
		at sec2 t
	q = a(sin t −t cost) +						= a sin t
	q = a(sin t −t cost) +		sec	3	t		= a sin t
			sec		t

Окончательно:	p = a cost	- это уравнения окружности с центром в начале координат
Окончательно:		- это уравнения окружности с центром в начале координат
	q = a sin t

радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности. Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.

		15
		10
		5
-10	-5	5	10
		-5
		-10
		-15

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Кривизна пространственной кривой.

z
	A(x, y, z)
B	r
r + r	r
0	y

Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой, координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.

x = ϕ(S); y = ψ(S); z = f(S); rG = rG(S) = ϕ(S)i + ψ(S) j + f (S)k;

Приведенное выше уравнение называют векторным уравнением линии в

пространстве.

Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор r (S) при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

rG = AB

, тогда

S AB

А(x, y, z).

Но т.к.

касательной.

dr	= lim	r	- вектор, направленный по касательной к кривой в точке
dS		S
	S →0

lim	AB	=1,	то aG =	dr	- единичный вектор, направленный по


				dS
A→B
	AB

Если принять r

= xi + yj

+ zk , то a

k .

dx 2

dy 2

Причем

=1 .

d 2 rG

drG

daG

Рассмотрим вторую производную

;

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”

Определение: Прямая, имеющая направление вектора								da	называется главной
Определение: Прямая, имеющая направление вектора								dS	называется главной
нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается n .								dS
нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается n .
	da	G
		= K n	, где К – кривизна кривой.
	dS	= K n	, где К – кривизна кривой.
				d 2 rG	=	nG	;
				dS 2	=		;
				dS 2		R

Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле:

K = (rG′×rG′′)2

[(rG′)2 ]3

Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она получается из приведенной выше формулы):

2 G

K =

Определение: Вектор

d 2 rG

называется вектором кривизны. Величина ρ =

dS 2

называется радиусом кривизны.

О формулах Френе.

Формулами Френе называются соотношения:

daG

;

dnG

= −

−

;

nG = b ×aG;

Последняя формула получена из двух первых.

В этих формулах:

n - единичный вектор главной нормали к кривой,

b - единичный вектор бинормали,

R – радиус кривизны кривой R =

Т – радиус кручения кривой.

Определение: Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль к кривой в точке А называется соприкасающейся плоскостью.

Определение: Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор- b .

db		1		db		1	G
	=		;		=		n;
dS	=	T	;	dS	=	T	n;

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.04.2015137 Кб32бу.docx
#
11.04.2015255 Кб198ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНУЮ ГРАФИКУ Лекция 1.doc
#
11.04.2015159 Кб42ведущий курсяк.docx
#
11.04.201580 Кб16вот как бывает.docx
#
11.04.2015530 Кб22вто моеWord.docx
#
11.04.20151 Мб21Высшая матматика том2.pdf
#
11.04.2015335 Кб33геоморф.docx
#
11.04.2015581 Кб108ГОТОВЫЙ КУРСЯК.doc
#
11.04.201549 Кб23давно на палочке.docx
#
11.04.2015979 Кб247Декоративная дендрология -ЛА(ФЗО).pdf
#
11.04.201533 Кб44дендрология.docx