Высшая матматика том2
.pdfЛарин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”
7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:
x2 y2 z2
V = ∫∫∫dzdydx
x1 y1 z1
при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.
8) Координаты центра тяжести тела.
|
|
|
∫∫∫wxdv |
|
|
|
∫∫∫wydv |
|
|
∫∫∫wzdv |
|
||||
x |
C |
= |
r |
|
; |
y |
C |
= |
r |
|
; z |
C |
= |
r |
; |
∫∫∫wdv |
|
|
|
∫∫∫wdv |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫∫∫wdv |
|
|
|||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
9) Моменты инерции тела относительно осей координат. |
|
||||||||||||||
I x = ∫∫∫( y 2 |
+ z 2 )wdv; |
I y |
= ∫∫∫(x2 |
+ z 2 )wdv; |
|
I z |
= ∫∫∫(x2 + y2 )wdv; |
||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
10) |
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей. |
||
|
I xy = ∫∫∫z 2 wdv; |
I xz = ∫∫∫y2 wdv; I yz |
= ∫∫∫x2 wdv; |
|
r |
r |
r |
11) |
Момент инерции тела относительно начала координат. |
||
|
I0 = ∫∫∫(x2 + y 2 + z 2 )wdv; |
|
|
|
|
r |
|
В приведенных выше формулах п.п. 8 – 11 r – область вычисления интеграла по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z), dv – элемент объема
-в декартовых координатах: dv = dxdydz;
-в циллиндрических координатах: dv = ρdzdϕdθ;
-в сферических координатах: dv = ρ2sinϕdρdϕdθ.
12) Вычисление массы неоднородного тела.
M = ∫∫∫wdv;
r
Теперь плотность w – величина переменная.
121
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 2.”
122