1. Постановка задач оптимизации. Поиск оптимального решения

Для ситуаций, в которых происходит выбор решений, характерны:

1) Наличие цели (целей). Необходимость принятия решения диктуется только наличием некоторой цели, которую следует достичь. Если цель отсутствует, то не возникает и необходимость принимать какое-либо решение.

2) Наличие альтернативных линий поведения. Решения принимаются в условиях, когда существует более одного способа достижения поставленной цели. Каждый из способов может характеризоваться различными степенями и различными вероятностями достижения цели, требовать различных затрат.

3) Наличие ограничивающих факторов. Естественно, что лицо, принимающее решение, не обладает бесконечными возможностями. Все множества ограничивающих факторов можно разбить на три группы:

а) экономические факторы – денежные средства, трудовые и производственные ресурсы, время и т.п.

б) технические факторы – габариты, вес, энергопотребление, надёжность,

точность и т.п.

в) социальные факторы, учитывающие требования человеческой этики и

морали.

Количественные методы разделяют в зависимости от того, при каких условиях принимаются решения и потому различают:

• Условия определенности, когда заранее известны объемы ресурсов (сырья, оборудования, финансов, товаров, персонала), нормы их расходования, ограничения (производственные площади, размер заказов, площади складов, график работы и т.п.), а цель решения состоит в определении наиболее эффективного распределения ресурсов, которое оптимизирует некоторый результат функционирования системы. Примерами таких проблем могут служить минимизация риска или в максимизации темпов роста капитала при инвестировании капитала в различные проекты; максимизация выпуска продукции или времени работы оборудования, минимизация затрат труда при формировании производственной программы и др.

• Условия неопределенности или риска, когда в качестве исходных данных используются ретроспективные данные или результаты исследования рынка, возможно с вероятностными оценками исходов решений, выданными специалистами фирмы. Это проблемы определения оптимальной цены товара, объемов закупок и производства нового товара, риска выдачи кредита банком и т.д.

Инструментом моделирования задач в условиях определенностидля достижения цели чаще всего являются методы линейного программирования.

Примеры типовых оптимизационных задач управления производством:

• Оптимальный раскрой материалов (целевая функция – максимум деталей определенной комплектности или минимум остатков),

• Оптимальное распределение транспорта по маршрутам (целевая функция – минимум общих затрат на эксплуатацию машин),

• Оптимальная загрузка производственных мощностей (целевая функция – минимум общих затрат на выполнение плановых работ),

• Оптимизация ритмичных и неритмичных потоков с непрерывным использованием ресурсов или непрерывным освоением фронта работ (определить временные параметры потока с выделением критического пути),

• Назначение по объектам работников различных специальностей для достижения максимальной производительности всех работ,

• Оптимальное распределение капитальных вложений между объектами (проектами, группами и т.п.).

Задача линейного программирования является частным случаем задачи оптимизациии записывается в следующем виде:

Задачу линейного программирования можно решать графическими и аналитическими методами. Одним из самых известных аналитических методов по праву считается симплекс-метод, который реализован в Excel.

Рассмотрим метод на примере, приведенном в книге¹задачи распределения ресурсов.

Задача. Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4 с целью получения наибольшей прибыли. Известно, что для изготовления требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество каждого ресурса на момент решения задачи, норма расхода каждого вида ресурса на единицу продукции каждого типа и прибыль от реализации единицы продукции известны и приведены в таблице на рис. 2.

Рис.2

Введем обозначения:

x_j – количество выпускаемой продукции j-го типа (j= 1…4);

b_i – количество наличного ресурса i-го вида (i= 1…3);

a_ij – норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;

c_j – прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

Математическая модельзадачи имеет вид:

F == 60x₁ +70x₂ + 120x₃ +130x₄ Þ max

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ <= 16

6x₁ +5x₂ +4x₃ + 3x₄ <= 110

4x₁ + 6x₂ +10x₃ + 13x₄ <= 100

x_ij >=0, j = 1…4

В ходе хозяйственной деятельности естественным образом изменяются исходные данные, для которых находились оптимальные решения: меняется цена, а значит, и прибыль; изменяются запасы ресурсов – получен кредит, уволены/приняты работники и т.п. Возникает вопрос: изменится ли при этом оптимальное решение?

Методы анализа результатов симплекс-метода позволяют оценить влияние изменения как коэффициентов целевой функции c_i (т.е. прибыли), так и ограничений ресурсов b_j. Для каждого из них определяютсянижняя и верхняя границы допустимого изменения, при которых сохраняется структура оптимального плана, и значит, нет нужды в пересчете задачи – достаточно только определить, насколько изменится значение целевой функции и сам план выпуска отдельных изделий.

Вычисление всех перечисленных значений обеспечивает Excel с помощью надстройки Сервис–Поиск решения.

Примечание. Решение задачи поиска оптимального решения рассматривается на практических занятиях