6 Вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения нсв.

Функция распределения F(x)

F(x) = Р(Х < х)

Свойства F(x)

1. 0 ≤ F(Х) ≤ 1

2. F(x₂)≥ F(x₁) если х₂ > x₁

Следствие 1. P(α<X<β) = F(β) – F(α)

3. F(X)=0 при Х ≤ α и F(X) = 1 при X>β.

График функции распределения для непрерывной случайной величины

F(x) F(x)=1 1 F(x)=0 x

7 вопрос. Дифференциальная функция и ее свойства. Вероятность попадания НСВ в заданный интервал. Связь функции распределения с плотностью распределения.

f(x)=F`(x).

Свойства дифференциальной функции f(x)

1. f(x)≥0

2.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Связь функции распределения с плотностью распределения

8 вопрос. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание НСВ:

Дисперсия НСВ:

Для дисперсии НСВ справедлива формула:

σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]², где

Пример:

Задана интегральная функция распределения F(x) НСВ следующим образом:

Найти плотность распределения f(x), вероятность P(2<X<4), вычислить числовые характеристики распределения этой НСВ и построить графики F(x) и f(x)

Решение:

1. Плотность распределения (дифференциальную функцию) найдём как первую производную от интегральной функции:

2. P(2<X<4) можно найти либо как приращение функции распределения, либо через плотность f(x):

1 способ.

P(α<x<β) = F(β) – F(α)

P(2<x<4) = F(4) – F(2) =

2 способ.

3. По формуле найдём математическое ожидание НСВ

По формуле найдём дисперсию НСВ

Вычислим дисперсию по формуле σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]²,найдя вначале M(X²)

Теперь σ²=D(X)=18 – 4²= 2 кв. ед.

4. Графики интегральной функции F(x) и дифференциальной функции f(x) изображены на рисунках 1 и 2.

F(x) F(x)=1 1 F(x)=0 0 6 x Рисунок 1.

f(x) 1/3 f(x)=x/18 P(2<X<4) f(x)=0 f(x)=0 0 2 4 6 x Рисунок 2.

9 Вопрос. Моменты случайных величин

Начальные моменты k-го порядка

ДСВ	НСВ

Центральные моменты k-го порядка

ДСВ	НСВ