59

ТЕМА 5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ (ЗБЧ).

1 вопрос. Понятие закона больших чисел.

2 вопрос. Неравенства Маркова и Чебышева.

3 вопрос. Теорема Чебышева (частный и общий случаи).

4 вопрос. Теоремы Бернулли и Пуассона.

5 вопрос. Понятие теоремы Ляпунова.

2 вопрос. Неравенства Маркова и Чебышева.

P(x≥α)≤M(x)/α

События X < α. и X ≥α - противоположные, поэтому имеем:

Р(х < α) = 1 - Р(х ≥ α) ≥ 1 – M(x)/α

Пример: Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л. в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не превысит 120000 л. В день.

Решение : Пусть СВ Х - расход воды в день . М(Х) = 50000

Применим неравенство Маркова : P(x<α) ≥1- M(x)/α

P(x<120000)≥1-50000/120000≈1-0,417≈0,583

Ответ: Р(х < 120000) ≥ 0,583

Неравенство Чебышева

, т.е.

или

Пример: В результате анализа торговой деятельности некоторого магазина установлено, что среднемесячные издержки обращения составляет 300т.р. Оценить вероятность того, что в очередном месяце издержки не выйдут за пределы 280-320 т.р. Известно, что дисперсия издержек составляет 16 ед².

Решение: по условию М(Х) =300 т.р., = 20т.р;D(x) = 16. Требуется оценить вероятность того, что издержки магазина отклонятся от 300 т.р. не более чем на 20 т.р. Применив неравенство Чебышева, найдем: Р(|х-300|<20)≥1-16/20²=0,96. Т.е. практически достоверно (Р ≥ 0,96), что издержки не выйдут за пределы280-320 т.р.

З вопрос. Теорема Чебышева (частный и общий случаи).

Теорема Чебышева вытекает из неравенства:

где - любое положительное число.

Теорема Чебышева (общий случай): Если Х₁,Х₂,...,Х_n - независимые СВ с математическими ожиданиями а₁, а₂, …, а_n и дисперсиями D₁, D₂,..., D_n , причем все дисперсии не превышают постоянной величины с, то при возрастании n средняя арифметическая наблюдаемых значений величин X₁,X₂,...,X_n сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий, т.е.

,

Это теорема вытекает из неравенства:

,

4 Вопрос. Теоремы Бернулли и Пуассона.

, где- сколь угодно малое положительное число.

Доказательство этой теоремы вытекает из следующего неравенства:

Доказательство этой теоремы вытекает из следующего неравенства:

5 вопрос. Центральная предельная теорема. Понятие о теореме Ляпунова.

РАЗДЕЛ II: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕМА 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ

1 вопрос. Понятие математической статистики

2 вопрос. Вариационные ряды. Дискретные и интервальные вариационные ряды.

3 вопрос. Графическое изображение вариационных рядов.

4 вопрос. Числовые характеристики вариационного ряда.

5 вопрос. Моменты

2 вопрос. Вариационные ряды. Дискретные и интервальные вариационные ряды.

5, 1, 4, 3, 5, 2, 5, и т.д.

1, 1, …,1	2, 2, …,2	3, 3, …,3	4, 4, …,4	5, 5, …,5	6, 6, …6
4 раза	6 раз	12 раз	16 раз	44 раза	18 раз

Ранжированный ряд можно представить в виде таблицы следующего вида:

Варианты хi	Частоты mi
Тарифный разряд	Количество рабочих
1	4
2	6
3	12
4	16
5	44
6	18
Итого	100

Накопленная частота m^нак.

Частость

.

Тарифный разряд	Количество рабочих (частота)	Накопленная частота	Относительная частота (частость)	Накопленная частость
хi	mi	тнак	wi	Wнак
1	4	4	4/100=0,04	0,04
2	6	4+6=10	6/100=0,06	0,04+0,06=0,1
3	12	10+12=22	12/100=0,12	0,1+0,12=0,22
4	16	22+16=38	16/100=0,16	0,22+0,16=0,38
5	44	38+44=82	44/100=0,44	0,38+0,44=0,82
6	18	82+18=100	18/100=0,18	0,82+0,18=1
Итого	100	--	1

Стажработы (в годах)	1-3	3-5	5-7	7-9
Число рабочих (частоты)	160	210	100	30

Для построения интервального вариационного ряда необходимо определить величину интервала.

,

Формула Стэрджесса