- •Биномиальные таблицы вероятностей
- •2 Вопрос. Распределение Пуассона
- •Таблицы вероятностей Пуассона
- •Связь с другими распределениями
- •3 Вопрос. Производящая функция.
- •4 Вопрос. Гипергеометрическое распределение
- •Таблицы гипергеометрических вероятностей
- •Связь с другими распределениями
- •6 Вопрос. Нормальное распределение
- •Правило трёх сигм
ТЕМА 4. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
1 вопрос. Биномиальное распределение.
2 вопрос. Распределение Пуассона.
3 вопрос. Производящая функция.
4 вопрос. Гипергеометрическое распределение.
5 вопрос. Равномерное распределение.
6вопрос. Нормальное распределение.
7 вопрос. Распределение Пирсона (χ2-распределение). На самостоятельное изучение
8 вопрос. Распределение Стьюдента (t распределение). (конспект представить на
9 вопрос. Распределение Фишера-Снедекора (F -распределение). практических занятиях)
Литература по теме:
Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. – 608 с.
Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 118 – 150
Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 151 – 176
Ответы и решения
Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 359 – 400
Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 401 – 427
Приложения. – С. 550 – 587
Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446 с.
Глава 5. Законы распределения дискретных случайных величин. – С. 90 – 128
Глава 7. Законы распределения непрерывных случайных величин. – С. 139 – 179
Приложения. – С. 427 – 435
Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика в определениях, формулах и таблицах: справочное пособие. – Ростов-н/Д: Феникс, 2007. – 192с.
Глава 4. Дискретные случайные величины. – С. 21 – 30
Глава 5. Непрерывные случайные величины. – С. 31 – 43
Приложения. – С. 127 – 171
Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.
Глава 2. Повторные независимые испытания. – С. 67 – 85.
Глава 4. Основные законы распределения. – С. 140 – 174.
Приложения. Математико-статистические таблицы. – С. 526 – 534.
1 вопрос. Биномиальное распределение.
p, 0<p<1
СВ Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями:
- число сочетаний
Следующая таблица показывает как, в соответствии с формулой Бернулли, получаются биномиальные вероятности для всех значений случайной величины.
Число успехов, X=m (xi) |
Вероятности, Рn, m (pi) |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
… |
… |
m |
|
… |
… |
n-1 |
|
n |
|
Сумма |
1 |
Функция распределения F(x):
Математическое ожидание М(Х)=nр
Дисперсия σ2=D(X)=npq
Среднее квадратическое отклонение .
Пример 1.
Рассмотрим результаты проверки качества, проведённой компанией Nestle на линии по выпуску шоколадных батончиков «Mars». Известно, что из каждых двадцати батончиков один бракованный. Таким образом, 5% (1/20) продукции выбрасывается и не идёт в продажу. Полностью проверить всю произведённую партию не представляется возможным. Случайным образом из партии отобрали 4 батончика.
Составить биномиальный закон распределения числа батончиков, не соответствующих стандарту, и построить его график.
Найти числовые характеристики этого распределения.
Записать функцию распределения числа бракованных батончиков и построить её график.
Чему равна вероятность, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных?
Решение. В качестве случайной величины Х здесь выступает число батончиков «Mars» в выборке, которые не соответствуют стандарту.
Возможные значения СВ Х: 0, 1, 2, 3, 4.
Вероятность того, что каждый из отобранных батончиков бракованный, постоянна и равна 0,05 (p = 1/20=0,05). Вероятность противоположного события, т.е. того, что изделие соответствует стандарту, также постоянна и составляет 0,95 (q = 1 - p = 1 – 0,05 = 0,95).
Все 4 испытания – независимы, т.е. вероятность появления бракованного батончика не зависит от того, бракованными или стандартными будут другие батончики.
Таким образом, СВ Х подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4 и p=0,05.
Итак, по условию задачи: n = 4;
p = 0,05;
q = 0,95;
X = m-0, 1, 2, 3, 4.
Рассчитаем вероятности того, что СВ примет каждое из своих возможных значений по формуле Бернулли.
Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли.
Получим ряд распределения числа бракованных шоколадных батончиков в выборке:
Хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Рi |
0,8145 |
0,1715 |
0,0135 |
0,0005 |
0,0000 |
0,8145+0,1715+0,0135+0,0005+0=1
СВ можно задать графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 1).
Рисунок 1. Полигон распределения вероятностей.
Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .
Математическое ожидание определим 2-мя способами:
- как М(Х) ДСВ
шт.
- как М(Х) ДСВ, распределённой по биномиальному закону
шт.
Итак, среди случайно выбранных 4-х шоколадных батончиков можно ожидать появление в среднем 0,2 бракованных (точнее, менее одного).
Дисперсию определим:
- как D(X) ДСВ
- как D(X) ДСВ, распределённой по биномиальному закону
Среднее квадратическое отклонение шт.
Запишем биномиальный закон распределения в форме функции распределения
Рассчитаем значения F(х):
Эти данные можно представить и в виде таблицы:
Х |
x 0 |
0 < x 1 |
1 < x 2 |
2 < x 3 |
3 < x 4 |
x > 4 |
F(x) |
0 |
0,8145 |
0,986 |
0,9995 |
1 |
1 |
График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 2).
Рисунок 2. Функция распределения вероятностей.
Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных (т.е. «или ноль, или один, или два»), найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
P(X 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,8145 + 0,1715 + 0,0135 = 0,9995.
Биномиальные таблицы вероятностей
Отрывок из Приложения 4 (Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005). В таблице подчёркнуты вероятности, имеющие отношение к нашему примеру.
n x |
.01 |
.05 |
.10 |
.20 |
.30 |
.40 |
.50 |
.60 |
.70 |
.80 |
.90 |
.95 |
.99 |
х |
4 0 |
961 |
815 |
656 |
410 |
240 |
130 |
062 |
026 |
008 |
002 |
0+ |
0+ |
0+ |
0 |
1 |
039 |
171 |
292 |
410 |
412 |
346 |
250 |
154 |
076 |
026 |
004 |
0+ |
0+ |
1 |
2 |
001 |
014 |
049 |
154 |
265 |
346 |
375 |
346 |
265 |
154 |
049 |
014 |
001 |
2 |
3 |
0+ |
0+ |
004 |
026 |
076 |
154 |
250 |
346 |
412 |
410 |
293 |
171 |
039 |
3 |
4 |
0+ |
0+ |
0+ |
002 |
008 |
026 |
062 |
130 |
240 |
410 |
656 |
815 |
961 |
4 |
0+ означает, что соответствующая вероятность расположена между 0 и 0,0005.
Использование EXCEL для вычисления биномиальных вероятностей.
Удобно рассчитывать биномиальные вероятности с помощью встроенной в EXCEL функции БИНОМРАСП со следующими характеристиками:
БИНОМРАСП (m; n; p; интегральная), где
интегральная = ЛОЖЬ, если вы хотите, чтобы число успехов в точности равнялось m;
интегральная = ИСТИНА, если вы хотите, чтобы число успехов не превышало m.
Например, на рисунке 3 показана функция БИНОМРАСП для вычисления вероятности того, что среди отобранных 4-х шоколадных батончиков не будет ни одного бракованного, т.е. Х=0. В ячейке А1 содержится формула =БИНОМРАСП(0;4;0,05;ЛОЖЬ) с результатом 0,81450625
Рисунок 3.
На рисунках 4 – 7 показаны функции БИНОМРАСП для вычисления вероятностей того, что среди 4-х батончиков будут ровно 1 (рис. 4), 2 (рис. 5), 3 (рис. 6) и 4 (рис. 7) бракованных
Рисунок 4.
Рисунок 5.
Рисунок 6.
Рисунок 7.
С помощью EXCEL мы можем также вычислить вероятность того, что среди 4-х батончиков окажется не более 2-х бракованных (рис. 8).
В ячейке А1 содержится формула = БИНОМРАСП(2;4;0,05;ИСТИНА) с результатом 0,99951875.
Рисунок 8.
2 Вопрос. Распределение Пуассона
Дискретная СВ Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает только целые неотрицательные значения 0, 1, 2, …, m, … с вероятностями, вычисленными по формуле Пуассона:
,е – основание натуральных логарифмов (е = 2,71828)
Придавая m целые неотрицательные значения m=0,1,2,3,… можно записать ряд распределения вероятностей, вычисленных по формуле Пуассона.
X=m (xi) |
Вероятности, Р(X=m) (pi) |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
… |
… |
m |
|
… |
… |
n |
|
Сумма |
1 |
++++ … ++ … +=
Функция распределения F(x):
,
Математическое ожидание и дисперсия М(Х) = D(X) = λ
Пример 2.
Начальнику отдела охраны труда и здоровья крупного предприятия обрабатывающей отрасли промышленности поставлена задача проанализировать уровень травматизма работников в производственных коллективах. На этом предприятии в среднем каждые три года имеет место 2 серьёзных несчастных случая. Они происходят случайным образом, и поэтому их нельзя спрогнозировать.
Составить закон распределения числа несчастных случаев, случившихся за три года, и построить его график.
Найти числовые характеристики этого распределения.
Записать функцию распределения числа несчастных случаев и построить её график.
Чему равна вероятность, что за три года произойдёт менее 3-х несчастных случаев?
Решение: Пусть случайная величина Х - число несчастных случаев на предприятии. Все возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
По условию несчастные случай происходят случайно и независимо друг от друга. Следовательно, мы имеем дело с независимыми испытаниями.
Если мы предположим, что вероятность наступления несчастного случая одинакова в любые два периода времени равной длины, и что наступление или ненаступление несчастного случая в любой период времени не зависит от его наступление или ненаступление в любой другой период времени, то последовательность наступлений несчастных случаев может быть описана распределением Пуассона с параметром = 2.
Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений по формуле Пуассона.:
,
Значение экспоненциальной функции найдём из экспоненциальных таблиц по значению λ. При λ = 2 получаем. Или с помощью встроенной вEXCEL экспоненциальной функции (рис. 9):
Рисунок 9.
Найдем вероятность того, что за три года не произойдёт ни одного несчастного случая:
Аналогично находим и другие вероятности
При вероятности, рассчитанные по формуле Пуассона, стремятся к 0.
Получим ряд распределения числа несчастных случаев, случившихся за три года.
Xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Рi |
0,1353 |
0,2707 |
0,2707 |
0,1804 |
0,0902 |
0,0361 |
0,0120 |
0,0034 |
0,0009 |
0,0002 |
0,0000 |
0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 + 0,0361 + 0,0120 + + 0,0034 + 0,0009 + 0,0002 = 0,9999 1.
СВ можно задать графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 10).
Рисунок 10.
Найдем числовые характеристики полученного распределения случайной величины Х.
Можно рассчитать М(Х), D(Х) и СКО по общим для любой ДСВ формулам.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, равны
М(Х) = D(X) = λ = 2
Среднее квадратическое отклонение числа несчастных случаев:
Зададим теперь дискретную случайную величину в виде функции распределения:
Рассчитаем значения F(x):
Эти данные можно представить и в виде таблицы:
X |
x 0 |
0<x1 |
1<x2 |
2<x3 |
3<x4 |
4<x5 |
5<x6 |
6<x7 |
7<x8 |
8<x9 |
x > 9 |
F(х) |
0 |
0,1353 |
0,4060 |
0,6767 |
0,8571 |
0,9473 |
0,9834 |
0,9954 |
0,9988 |
0,9997 |
1 |
График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 11).
Рисунок 11.
Вероятность того, что за три года произойдёт менее 3-х несчастных случаев (т. е. не более 2-х - «или ноль, или один, или два»), найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
Р(Х<3) = P(X 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767.