- •Глава 5. Дискретные случайные величины. – с. 359 – 400
- •1 Вопрос. Биномиальное распределение.
- •Биномиальные таблицы вероятностей
- •2 Вопрос. Распределение Пуассона
- •Связь с другими распределениями
- •3 Вопрос. Производящая функция.
- •4 Вопрос. Гипергеометрическое распределение
- •Связь с другими распределениями
- •5 Вопрос. Равномерное распределение.
- •6 Вопрос. Нормальное распределение
- •Правило трёх сигм
ТЕМА 4. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
1 вопрос. Биномиальное распределение.
2 вопрос. Распределение Пуассона.
3 вопрос. Производящая функция.
4 вопрос. Гипергеометрическое распределение.
5 вопрос. Равномерное распределение.
6 вопрос. Нормальное распределение.
7 вопрос. Распределение Пирсона (χ2-распределение). На самостоятельное изучение
8 вопрос. Распределение Стьюдента (t распределение). (конспект представить на
9 вопрос. Распределение Фишера-Снедекора (F -распределение). практических занятиях)
Литература по теме:
-
Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. – 608 с.
Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 118 – 150
Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 151 – 176
Ответы и решения
Глава 5. Дискретные случайные величины. – с. 359 – 400
Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 401 – 427
Приложения. – С. 550 – 587
-
Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446 с.
Глава 5. Законы распределения дискретных случайных величин. – С. 90 – 128
Глава 7. Законы распределения непрерывных случайных величин. – С. 139 – 179
Приложения. – С. 427 – 435
-
Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика в определениях, формулах и таблицах: справочное пособие. – Ростов-н/Д: Феникс, 2007. – 192с.
Глава 4. Дискретные случайные величины. – С. 21 – 30
Глава 5. Непрерывные случайные величины. – С. 31 – 43
Приложения. – С. 127 – 171
-
Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.
Глава 2. Повторные независимые испытания. – С. 67 – 85.
Глава 4. Основные законы распределения. – С. 140 – 174.
Приложения. Математико-статистические таблицы. – С. 526 – 534.
1 Вопрос. Биномиальное распределение.
p, 0<p<1
СВ Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями:
- число сочетаний
Следующая таблица показывает как, в соответствии с формулой Бернулли, получаются биномиальные вероятности для всех значений случайной величины.
Число успехов, X=m (xi) |
Вероятности, Рn, m (pi) |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
… |
… |
m |
|
… |
… |
n-1 |
|
n |
|
Сумма |
1 |
Функция распределения F(x):
Математическое ожидание М(Х)=nр
Дисперсия σ2=D(X)=npq
Среднее квадратическое отклонение .
Пример 1.
Рассмотрим результаты проверки качества, проведённой компанией Nestle на линии по выпуску шоколадных батончиков «Mars». Известно, что из каждых двадцати батончиков один бракованный. Таким образом, 5% (1/20) продукции выбрасывается и не идёт в продажу. Полностью проверить всю произведённую партию не представляется возможным. Случайным образом из партии отобрали 4 батончика.
Составить биномиальный закон распределения числа батончиков, не соответствующих стандарту, и построить его график.
Найти числовые характеристики этого распределения.
Записать функцию распределения числа бракованных батончиков и построить её график.
Чему равна вероятность, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных?
Решение. В качестве случайной величины Х здесь выступает число батончиков «Mars» в выборке, которые не соответствуют стандарту.
Возможные значения СВ Х: 0, 1, 2, 3, 4.
Вероятность того, что каждый из отобранных батончиков бракованный, постоянна и равна 0,05 (p = 1/20=0,05). Вероятность противоположного события, т.е. того, что изделие соответствует стандарту, также постоянна и составляет 0,95 (q = 1 - p = 1 – 0,05 = 0,95).
Все 4 испытания – независимы, т.е. вероятность появления бракованного батончика не зависит от того, бракованными или стандартными будут другие батончики.
Таким образом, СВ Х подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4 и p=0,05.
Итак, по условию задачи: n = 4;
p = 0,05;
q = 0,95;
X = m-0, 1, 2, 3, 4.
Рассчитаем вероятности того, что СВ примет каждое из своих возможных значений по формуле Бернулли.
Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли.
Получим ряд распределения числа бракованных шоколадных батончиков в выборке:
Хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Рi |
0,8145 |
0,1715 |
0,0135 |
0,0005 |
0,0000 |
0,8145+0,1715+0,0135+0,0005+0=1
СВ можно задать графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 1).
Рисунок 1. Полигон распределения вероятностей.
Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .
Математическое ожидание определим 2-мя способами:
- как М(Х) ДСВ
шт.
- как М(Х) ДСВ, распределённой по биномиальному закону
шт.
Итак, среди случайно выбранных 4-х шоколадных батончиков можно ожидать появление в среднем 0,2 бракованных (точнее, менее одного).
Дисперсию определим:
- как D(X) ДСВ
- как D(X) ДСВ, распределённой по биномиальному закону
Среднее квадратическое отклонение шт.
Запишем биномиальный закон распределения в форме функции распределения
Рассчитаем значения F(х):
Эти данные можно представить и в виде таблицы:
Х |
x 0 |
0 < x 1 |
1 < x 2 |
2 < x 3 |
3 < x 4 |
x > 4 |
F(x) |
0 |
0,8145 |
0,986 |
0,9995 |
1 |
1 |
График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 2).
Рисунок 2. Функция распределения вероятностей.
Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных (т.е. «или ноль, или один, или два»), найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
P(X 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,8145 + 0,1715 + 0,0135 = 0,9995.