- •Раздел 1: теория вероятностей
- •Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей
- •4 Вопрос. Классическое определение вероятности события
- •5 Вопрос. Свойства вероятностей.
- •6 Вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.
- •Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2 Вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события
- •3 Вопрос. Формула полной вероятности
- •4 Вопрос. Вычисление вероятностей гипотез . Формула Байеса.
- •5 Вопрос. Формула Бернулли . Повторные испытания
- •6 Вопрос. Вероятнейшее (наивероятнейшее) число появлений события
- •Тема 3. Случайные величины
- •2 Вопрос. Дискретные случайные величины. Интегральная функция распределения дсв, ее свойства.
- •Интегральная функция распределения
- •3 Вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.
- •4 Вопрос. Числовые характеристики дсв. Ожидаемое значение дискретной случайной величины.
- •5 Вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дсв. Свойства дисперсии.
- •6 Вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения нсв.
- •График функции распределения для непрерывной случайной величины
- •7 Вопрос. Дифференциальная функция и ее свойства. Вероятность попадания нсв в заданный интервал. Связь функции распределения с плотностью распределения.
- •Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Связь функции распределения с плотностью распределения
- •8 Вопрос. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •9 Вопрос. Моменты случайных величин
Раздел 1: теория вероятностей
Литература:
-
Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. – 608 с.
-
Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446 с.
-
Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика в определениях, формулах и таблицах: справочное пособие. – Ростов-н/Д: Феникс, 2007. – 192 с.
-
Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.
-
Гмурман. В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей
1 вопрос. Предмет теории вероятностей.
2 вопрос. Основные понятия и определения теории вероятностей.
3вопрос. Классификация событий.
4вопрос. Классическое определение вероятности события.
5вопрос. Свойства вероятностей.
6 вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.
Событие обозначаются заглавными буквами начала латинского алфавита: А, В, С, D, E и т.д.
- достоверное событие
Ø – невозможное событие
Ā – событие, противоположное событию А
4 Вопрос. Классическое определение вероятности события
Вероятностью появления случайного события А называется отношение числа исходов (шансов), благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех благоприятствующих и не благоприятствующих исходов (шансов) (или к общему числу всех равновозможных, единственно возможных и несовместных элементарных исходов).
Классическое определение было сформулировано Лапласом в XV11 веке .
5 Вопрос. Свойства вероятностей.
1 .0 ≤ Р(А) ≤ 1
2. P(Ω)=1
3. P(Ø)=0
6 Вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.
Относительная частота появления события А определяется формулой:
Статистическая вероятность определяется эмпирически по результатам опытов следующим образом:
P*(A) ≈ P(A)
Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей
1 вопрос. Алгебра событий. Вероятность суммы и произведения событий.
2 вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события.
3 вопрос. Формула полной вероятности.
4 вопрос. Вычисление вероятностей гипотез. Формула Байеса.
5 вопрос. Формула Бернулли. Повторные испытания.
6 вопрос. Вероятнейшее (наивероятнейшее) число появлений событий.
1 вопрос. Алгебра событий. Вероятность суммы и произведения событий.
Произведением нескольких событий A1,A2,…,An называется событие Е, состоящее в их совместном наступлении: Е=А1*А2*А3*...*Аn
Если речь идет о 2-х событиях А и В, то А и В=и А и В =А*В=Е. (АВ)
Принцип Лапласа: А+В= или А или В или А*В (АВ).
Если А и В - несовместные события, то А и В = А*В=Ø.
Разность - А\В
Дадим геометрическую интерпретацию основных действий над событиями с помощью диаграмм Вена.
|
|
|
||||
1. А |
|
2. В |
|
3. А+В |
|
АВ |
|
|
|
||||
5. |
|
6. |
|
7. А-В=А |
|
8. В-А=В |
|
|
|
|
|
||
9. |
|
10. |
|
|
|
|
Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:
-
А+В=В+А – коммутативность сложения
-
А+(В+С)=(А+В)+С – ассоциативность сложения
-
АВ=ВА – коммутативность умножения
-
А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность умножения
Вероятность суммы несовместных событий - Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Вероятность суммы совместных событий - Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В).
Сумма вероятностей событий, образующую полную группу, всегда равна 1. Если события А1,А2,…,Аn образуют полную группу, то Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn)=1 или
Сумма вероятностей противоположных событий Р(А)+Р(Ā)=1
Вероятность произведения 2-х независимых событий А и В - Р(А*В)=Р(А)*Р(В).
Вероятность произведения 2-х зависимых событий А и В - Р(А*В)=Р(А)*РА(В)=Р(В)*РВ(А)
Вероятность произведения нескольких зависимых событий -
P(A1*A2*A3….An)= P(A1)*PA1(A2)*PА1А2(A3)…