Связь с другими распределениями

1. Вообще при достаточно большой величине N () и малом объёме выборки n (когда ) можно показать, что функция вероятностей гипергеометрического распределения стремится к соответствующей функции биномиального закона .

5 Вопрос. Равномерное распределение.

НСВ имеет равномерное распределение вероятностей в промежутке [a; b], если в этом промежутке плотность распределения СВ постоянна, а вне его равна 0, т.е.

Функция распределения

Графики f(x) и F(x):

f(x) c 0 a b x

F(x) 1 0 a b x

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

6 Вопрос. Нормальное распределение

НСВ X имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятностей f(x) имеет вид:

М(х)=а

D(х) = σ²

4° Функция f(x) имеет в точке х=а максимум, равный

5° График функции f(x) симметричен относительно прямой х=а:

f(x) а х

6° Нормальная кривая в точках имеет перегиб. Координаты точек перегиба:

f(x) а - σ а а + σ х

Влияние параметров а и а на форму нормальной кривой:

σ₃ > σ₂ > σ₁; σ₁ = 1; σ₂ = 2; σ₃ =3

Нормированная кривая нормального распределения φ₀(x)

Если в выражение, которым задается f(x) подставить а=0 и σ=1, то вместо имеем:

График функции φ_о(х) и ее свойства:

φо(х) 0,3989 0 х

1° φ₀ (- х)= φ_о (х).

2° При х→ ± ∞ значение функции стремится к нулю.

3° При всех |Х|>5 можно считать, что функция φ_о(х)=0.

4° При х=0 функция φ_о (х) принимает максимальное значение, равное 0,3989.

5° Функция φ₀(х) табулирована.

Интегральная функция нормального распределения F_H(x)

Если СВ Х N(а; σ), то F_H(x) определяется несобственным интегралом вида:

График этой функции имеет вид:

F_H(x)

1

0,5

а х

Функция Лапласа (интеграл вероятности) Ф_о(х)

1° Ф₀(-х)= - Фо(х).

2° При х=0 функция принимает нулевое значение.

3° Максимальное значение функции Фо(х) стремится к 0,5, а минимальное к –0,5.

4° Функция Фо(х) табулирована.

Взаимосвязь F_h(х) и Ф₀(х):

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

P(α<X_H<β)=F_H(β)-F_H(α)

P(α<X_H<β)=0,5+Ф₀-0,5-Ф₀ = Ф₀ - Ф₀

Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от её математического ожидания