2 Вопрос. Распределение Пуассона
Дискретная СВ Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает только целые неотрицательные значения 0, 1, 2, …, m, … с вероятностями, вычисленными по формуле Пуассона:
,
е
– основание натуральных логарифмов (е
= 2,71828)
Придавая m целые неотрицательные значения m=0,1,2,3,… можно записать ряд распределения вероятностей, вычисленных по формуле Пуассона.
|
X=m (xi) |
Вероятности, Р(X=m) (pi) |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
… |
… |
|
m |
|
|
… |
… |
|
n |
|
|
Сумма |
1 |
+
+
+
+
… +
+
… +
=
Функция распределения F(x):
,
Математическое ожидание и дисперсия М(Х) = D(X) = λ
Пример 2.
Начальнику отдела охраны труда и здоровья крупного предприятия обрабатывающей отрасли промышленности поставлена задача проанализировать уровень травматизма работников в производственных коллективах. На этом предприятии в среднем каждые три года имеет место 2 серьёзных несчастных случая. Они происходят случайным образом, и поэтому их нельзя спрогнозировать.
Составить закон распределения числа несчастных случаев, случившихся за три года, и построить его график.
Найти числовые характеристики этого распределения.
Записать функцию распределения числа несчастных случаев и построить её график.
Чему равна вероятность, что за три года произойдёт менее 3-х несчастных случаев?
Решение: Пусть случайная величина Х - число несчастных случаев на предприятии. Все возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
По условию несчастные случай происходят случайно и независимо друг от друга. Следовательно, мы имеем дело с независимыми испытаниями.
Если мы предположим, что вероятность наступления несчастного случая одинакова в любые два периода времени равной длины, и что наступление или ненаступление несчастного случая в любой период времени не зависит от его наступления или ненаступления в любой другой период времени, то последовательность наступлений несчастных случаев может быть описана распределением Пуассона с параметром = 2.
Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений по формуле Пуассона.:
,
Значение экспоненциальной функции
найдём
из экспоненциальных таблиц по значению
λ. При λ = 2 получаем
.
Или с помощью встроенной в EXCEL
экспоненциальной функции (рис. 9):
Рисунок 9.
Найдем вероятность того, что за три года не произойдёт ни одного несчастного случая:
Аналогично находим и другие вероятности
При
вероятности, рассчитанные по формуле
Пуассона, стремятся к 0.
Получим ряд распределения числа несчастных случаев, случившихся за три года.
|
Xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Рi |
0,1353 |
0,2707 |
0,2707 |
0,1804 |
0,0902 |
0,0361 |
0,0120 |
0,0034 |
0,0009 |
0,0002 |
0,0000 |
0,1353
+ 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 + 0,0361 + 0,0120 + + 0,0034 +
0,0009 + 0,0002 = 0,9999
1.
СВ можно задать графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 10).
Рисунок 10.
Найдем числовые характеристики полученного распределения случайной величины Х.
-
Можно рассчитать М(Х), D(Х) и СКО по общим для любой ДСВ формулам.
-
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, равны
М(Х) = D(X) = λ = 2
Среднее квадратическое отклонение
числа несчастных случаев:
Зададим теперь дискретную случайную величину в виде функции распределения:
Рассчитаем значения F(x):
Эти данные можно представить и в виде таблицы:
|
X |
x 0 |
0<x1 |
1<x2 |
2<x3 |
3<x4 |
4<x5 |
5<x6 |
6<x7 |
7<x8 |
8<x9 |
x > 9 |
|
F(х) |
0 |
0,1353 |
0,4060 |
0,6767 |
0,8571 |
0,9473 |
0,9834 |
0,9954 |
0,9988 |
0,9997 |
1 |
График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 11).
Рисунок 11.
Вероятность того, что за три года произойдёт менее 3-х несчастных случаев (т. е. не более 2-х - «или ноль, или один, или два»), найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий:
Р(Х<3) = P(X 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767.
Таблицы вероятностей Пуассона
Значения
функции Пуассона:
.
|
m |
|
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
8,0 |
9,0 |
|
0 |
0,3679 |
0,1353 |
0,0498 |
0,0183 |
0,0067 |
0,0025 |
0,0009 |
0,0003 |
0,0001 |
|
|
1 |
0,3679 |
0,2707 |
0,1494 |
0,0733 |
0,0337 |
0,0149 |
0,0064 |
0,0027 |
0,0011 |
|
|
2 |
0,1839 |
0,2707 |
0,2240 |
0,1465 |
0,0842 |
0,0446 |
0,0223 |
0,0107 |
0,0050 |
|
|
3 |
0,0613 |
0,1805 |
0,2240 |
0,1954 |
0,1404 |
0,0892 |
0,0521 |
0,0286 |
0,0150 |
|
|
4 |
0,0153 |
0,0902 |
0,1680 |
0,1954 |
0,1755 |
0,1339 |
0,0912 |
0,0572 |
0,0337 |
|
|
5 |
0,0031 |
0,0361 |
0,1008 |
0,1563 |
0,1755 |
0,1606 |
0,1277 |
0,0916 |
0,0607 |
|
|
6 |
0,0005 |
0,0120 |
0,0504 |
0,1042 |
0,1462 |
0,1606 |
0,1490 |
0,1221 |
0,0911 |
|
|
7 |
0,0001 |
0,0034 |
0,0216 |
0,0595 |
0,1045 |
0,1377 |
0,1490 |
0,1396 |
0,1171 |
|
|
8 |
- |
0,0009 |
0,0081 |
0,0298 |
0,0655 |
0,1033 |
0,1304 |
0,1396 |
0,1318 |
|
|
9 |
- |
0,0002 |
0,0027 |
0,0132 |
0,0363 |
0,0689 |
0,1014 |
0,1241 |
0,1318 |
|
|
10 |
- |
- |
0,0008 |
0,0053 |
0,0181 |
0,0413 |
0,0710 |
0,0993 |
0,1186 |
|
|
11 |
- |
- |
0,0002 |
0,0019 |
0,0082 |
0,0225 |
0,0452 |
0,0722 |
0,0970 |
|
|
12 |
- |
- |
0,0001 |
0,0006 |
0,0034 |
0,0113 |
0,0264 |
0,0481 |
0,0728 |
|
|
13 |
- |
- |
- |
0,0002 |
0,0013 |
0,0052 |
0,0142 |
0,0296 |
0,0504 |
|
|
14 |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0005 |
0,0022 |
0,0071 |
0,0169 |
0,0324 |
|
|
15 |
- |
- |
- |
- |
0,0002 |
0,0009 |
0,0033 |
0,0090 |
0,0194 |
|
|
16 |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0003 |
0,0015 |
0,0045 |
0,0109 |
|
|
17 |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0006 |
0,0021 |
0,0058 |
|
|
18 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0002 |
0,0009 |
0,0029 |
|
|
19 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0004 |
0,0014 |
|
|
20 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0002 |
0,0006 |
|
|
21 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0001 |
0,0003 |
|
|
22 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
0,0001 |
|
Использование EXCEL для вычисления вероятностей Пуассона
Удобно рассчитывать вероятности Пуассона с помощью встроенной в EXCEL функции ПУАССОН со следующими характеристиками:
ПУАССОН (х; λ; интегральная), где
интегральная= ЛОЖЬ, если вы хотите, чтобы число наступлений события в точности равнялось х;
интегральная = ИСТИНА, если вы хотите, чтобы число наступлений события не превышало х.
Например, на рисунке 12 показана функция ПУАССОН для вычисления вероятности того, что за три года на предприятии не произойдёт ни одного несчастного случая, т.е. Х=0.
В ячейке А1 содержится формула =ПУАССОН(0;2;ЛОЖЬ) с результатом 0,135335283.
Рисунок 12.
На рисунках 13 – 22 показаны функции ПУАССОН для вычисления вероятностей того, что за три года на предприятии произойдёт ровно 1 (рис. 13), 2 (рис. 14), 3 (рис. 15), 4 (рис. 16), 5 (рис. 17), 6 (рис. 18), 7 (рис. 19), 8 (рис. 20), 9 (рис.21) и 10 (рис. 22) несчастных случаев.
Рисунок 13.
Рисунок 14.
Рисунок 15.
Рисунок 16.
Рисунок 17.
Рисунок 18.
Рисунок 19.
Рисунок 20.
Рисунок 21.
Рисунок 22.
С помощью EXCEL мы можем также вычислить вероятность того, что за три года произойдёт менее 3-х несчастных случаев (т. е. не более 2-х - «или ноль, или один, или два») (рис. 23).
В ячейке А1 содержится формула = ПУАССОН(2;2;ИСТИНА) с результатом 0,676676416.
Рисунок 23.