4 Вопрос. Гипергеометрическое распределение

ДСВ Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, 3,…, min(n,M) с вероятностями

,

Вспомните уже знакомую вам схему невозвращённого шара:

N

М N-M

n

m n-m

Если по формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения, называемый гипергеометрическим законом распределения.

X=m (xi)	Вероятности, Р(X=m) (pi)
0
1
2
3
…	…
m
…	…
n
Сумма	1

Функция распределения F(x):

Математическое ожидание

Дисперсия:

- поправка на бесповторность выборки.

Пример 5.

Менеджер по персоналу рассматривает кандидатуры 12 человек, из которых 4 женщины, подавших заявление о приёме на работу в крупную фирму. Будут приняты только 5 человек.

Составьте ряд распределения числа женщин, среди лиц, занявших вакантные должности, и постройте его график.

Найдите числовые характеристики этого распределения.

Запишите функцию распределения и постройте её график.

Чему равна вероятность того, что менее 3-х женщин займут предложенные вакансии?

Решение:

СВ Х - число женщин, среди лиц, занявших вакантные должности – принимает значения 0, 1, 2, 3, 4.

Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.

Очевидно, что отбор кандидатов - бесповторный. Следовательно, испытания - зависимые.

Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина – число женщин среди лиц, занявших вакантные должности - подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

Изобразим ситуацию на схеме:

12 кандидатов

4 женщины 8 мужчин

5 вакансий

0 5

1 4

2 3

3 2

4 1

Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений по формуле:

,

По условию задачи N=12, M=4, n=5, m=0, 1, 2, 3, 4

Занесем полученные результаты в таблицу:

Хi	0	1	2	3	4
Рi	0,0707	0,3535	0,4242	0,1414	0,0101

0,0707 + 0,3535 + 0,4242 + 0,1414 + 0,0101 = 0,9999  1.

График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины (полигон распределения вероятностей) изображен на рис 23

Рисунок 23.

Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .

Математическое ожидание определим 2-мя способами:

- как М(Х) ДСВ

- как М(Х) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону

женщин

Итак, среди случайно выбранных 5-х кандидатов можно ожидать появление в среднем 1,6667 женщин (точнее, менее двух).

Дисперсию определим:

- как D(X) ДСВ

- как D(X) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону

Среднее квадратическое отклонение

Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения:

Рассчитаем значения F(х):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

Х	x  0	0 < x  1	1 < x  2	2 < x  3	3 < x  4	x > 4
F(x)	0	0,0707	0,4242	0,8484	0,9898	1

График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 24).

Рисунок 24. Функция распределения вероятностей.

Определим вероятность того, что среди 5-х отобранных кандидатов на должности окажется меньше трёхх женщин. «Меньше трёх» - это «или ноль, или одна, или две».

Можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,0707 + 0,3535 + 0,4242 = 0,8484.