Классификация случайных процессов

Случайный процесс (СП) – совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющийся некоторой общей для них статической закономерности. Бывают непрерывные, дискретные, квантованные и цифровые СП.

Если взять конкретное значение t₁, то усреднив их можно получить математическое ожидание.

F(x) – интегральный закон распределения. Он показывает вероятность того, что произвольно взятое Х будет меньше х.

Плотность распределения величины: . Показывает какова наибольшая вероятность попадания в заданный интервал.

На практике наибольшее значение имеют следующие параметры СП:

Математическое ожидание – величина к которой в среднем стремится СП:

Дисперсия характеризует мощность процесса, разброс случайных значений относительно математического ожидания:

Среднеквадратическое отклонение характеризует линейный разброс, а не квадратичный как дисперсия:

Для дискретных сигналов каждое значение возможно с вероятностью р_к Но .

Свойства

1. если х₁>х₂, то F(x₁)>F(x₂).

2. F(-¥)=0, F(+¥)=1.

3. если х® -¥ (х® +¥), то f(x)®0.

4. –– площадь плотности вероятности всегда равна 1.

Законы распределения

1. Равномерный закон

   

   

2. Нормальный (Гаусовский) закон

   

   

   где Ф – функция Лапласа (функция ошибки) берется из справочника.

   Вероятность попадания Р(3s)=0.997, Р(2s)=0.95, т. е. в более узкий интервал вероятности попасть труднее.

3. Экспоненциальный закон

   , при Х³0 , при Х³0

   

   

4. Релеевский закон

Основные положения ковариационной теории

–– это ковариационная функция. Она характеризует взаимодействие случайного процесса между собой в случайные моменты времени t₁ и t₂. Чем меньше значение тем меньше меняется процесс.

Где плотность вероятности распределения в моменты времени t₁ и t₂.

Если один процесс, то автоковариационная функция, если два процесса, то взаимно ковариационная функция.

Если два процесса, то t₁=t₂=t и

Если процесс один и тот же и t₁=t₂=t, то –– это есть дисперсия процесса плюс квадрат математического ожидания.

Корреляционная функция

–– она как бы центрирована.

При t₁=t₂=t автокорреляционная функция:

При различных t₁ и t₂

Отсюда следует, что при t₁=t₂.

Стационарность и эргодичность процессов

Стационарность (в широком смысле): на протяжении всего отрезка времени математическое ожидание и дисперсия неизменны, а автокорреляционная функция зависит только от разности значений времени t₁ и t₂ и не зависит от времени начала и конца процесса.

(В узком смысле) неизменность n-мерной плотности вероятности процесса.

Эргодический процесс – если параметры случайного процесса можно определить по одной бесконечной реализации.

Для эргодического процесса:

, где t= t₂ – t₁.

Дисперсия:

Процессы могут быть между собой коррелированные и зависимые. Некоррелированные процессы – это значит, что К_xy(t)=0 при любом t.

Независимые процессы: .

Независимые процессы всегда некоррелированные, зависимые процессы могут быть как коррелированными так и некоррелированными.