5 Вопрос. Формула Бернулли . Повторные испытания

Серия n -независимых испытаний

Вероятность постоянна и равна р (0<р<1)

Р_n,m

Формула Бернулли ,

Пример: Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадает 4 раза?

Решение: по условию n=10, m=4, р=0,5, q=0,5

6 Вопрос. Вероятнейшее (наивероятнейшие) число появлений события

Наивероятнейшее число определяется по формуле:

np – q ≤ m₀ ≤ пр + р ,

Пример: Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производиться 8 выстрелов по цели. Каково наивероятнейшее число попаданий в цель в таком случае?

Решение: 1. По условию имеем n = 8, р = 0,7, q = l-p=1 - 0,7 = 0,3

2. пр - q ≤ т₀ ≤ пр + р .

8*0,7-0,3 ≤ m₀ ≤ 8*0,7 + 0,7

5,3 ≤ т₀ ≤ 6,3

т.к. пр - q = 5,3 - дробное число, то m₀=6

Тема 3. Случайные величины

1 вопрос. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины (ДСВ и НСВ).

2 вопрос. Дискретные случайные величины. Интегральная функция распределения ДСВ, ее свойства.

3 вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.

4 вопрос. Числовые характеристики ДСВ. Ожидаемое значение ДСВ. Свойства математического ожидания ДСВ.

5 вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ. Свойства дисперсии.

6 вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения НСВ.

7 вопрос. Дифференциальная функция и ее свойства. Вероятность попадания НСВ в заданный интервал. Связь функции распределения с плотностью распределения.

8 вопрос. Числовые характеристики НСВ.

9 вопрос. Моменты случайных величин.

1 вопрос. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины (ДСВ и НСВ).

Примеры случайных величин:

Эксперимент	Случайная величина Х	Возможные значения СВ
Контроль качества 70 деталей	Число бракованных деталей	0, 1, 2, 3, …, 70
Строительство жилого дома	Процент завершенного строительства
Проверка степени загрузки операционного отдела банка	Число посетителей в течение дня	1, 2, 3, …, n
Торговля автомобилями	Число продаж в течение месяца	1, 2, 3, …, n

Случайные величины обозначаются заглавными буквами: X;Y;Z.

2 Вопрос. Дискретные случайные величины. Интегральная функция распределения дсв, ее свойства.

Р(Х=х)

Например, Р(Х=5)=0,2

Более короткая запись: Р(х) вместо Р(Х=х) или Р(5)=0,2.

Если обозначить возможные значения ДСВ Х через х₁, х₂, …, х_n, а через р_i=Р(Х=х_i) вероятность появления значений х_i , то ДСВ полностью определяется таблицей:

хi	х1	х2	…	хn
рi	р1	р2	…	рn

Условия: 1. Р(х)≥0

2. ∑ Р(х) = 1 (или∑p_i=1)

Интегральная функция распределения

F(x)=P(X≤x)=

Р 1 … р1 + р2 р1 х1 х2…..хn х

3 вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.

Пусть случайная величина X принимает значения: x₁,x₂,..., x_n с вероятностями p₁, р₂, ..., р_n, а случайная величина Y принимает значения у₁, у₂.., у_m с вероятностями q₁, q₂,..,q_m.

Определим некоторые операции над случайными величинами.

1. сХ: cx₁, cx₂, ...,сх_n

2. X² : x₁²,x²₂,...,x_n²

3. X±Y : x_i±y_j (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m)

p_i q_j

4. X*Y: x_i*y_j (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m)

p_iq_j.

4 вопрос. Числовые характеристики ДСВ. Ожидаемое значение дискретной случайной величины.

Математическое ожидание ДСВ Х:

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. М(с)=с

2. М(сХ)=сМ(Х)

3. M(XY)=M(X)M(Y)

4. M(XY)=M(X)M(Y)

5. М(Хс)=М(Х)с

Следствие. М[Х-М(Х)]=0

6. М(Х)=М(Х_i).

5 вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ. Свойства дисперсии.

Дисперсия ДСВ:

Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. D(c)=0

2.D(cX)=c²D(X)

3. D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4. Если X₁,X₂,...,X_n. - одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсии каждой из которых равны σ², то дисперсия их суммы равна n σ², а дисперсия средней арифметической равна σ²/n ,т.е. D(X)=σ²/n

5. Упрощенная формула для вычисления дисперсии ДСВ: σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]², где

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) ДСВ равно корню квадратному из дисперсии: