- •Ниворожкина л.И., Морозова з.А., Герасимова и.А., Житников и.В., Федосова о.Н.
- •Рецензенты:
- •Экзаменационные вопросы по математической статистике с элементами теории вероятностей теория вероятностей
- •Правила выполнения и оформления домашнего задания (контрольной работы)
- •1.Элементы комбинаторики
- •1.1. Размещения
- •1.2. Понятие факториала
- •1.3. Размещения с повторениями
- •1.4. Сочетания
- •Сочетания с повторениями
- •1.6. Перестановки
- •1.7. Перестановки с повторениями
- •1.8. Правила комбинаторики
- •Задачи к теме 1
- •2.Элементы теории вероятностей
- •2.1. Определение вероятности и свойства, вытекающие из её определения. Классификация событий. Диаграммы Венна
- •Полную группу можно определить так: если
- •2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
- •Задачи к теме 2
- •3. Формулы полной вероятности и байеса
- •Необходимо определить вероятность события а и переоценить вероятности событий Hiс учетом полной информации о событии а.
- •Задачи к теме 3
- •4. Дискретные случайные величины.
- •4.1. Определение дискретной случайной величины.
- •4.2.Числовые характеристики.
- •4.3. Математические операции над случайными величинами.
- •4.4. Распределения Бернулли и Пуассона.
- •4.5. Гипергеометрическое распределение.
- •График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •График функции (вероятностная гистограмма)
- •График функции распределения.
- •5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
- •5.2. Нормальное распределение
- •Задачи к теме 5
- •6. Вариационные ряды и их характеристики
- •6.1.Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов.
- •6.2. Числовые характеристики вариационного ряда
- •Задачи к теме 6
- •7. Выборочный метод и статистическое оценивание
- •7.2. Статистическое оценивание
- •7.3. Ошибки выборки
- •Формулы расчёта ошибки выборки для собственно-случайного отбора
- •7.4. Определение численности (объема) выборки
- •Формулы расчёта необходимой численности выборки для собственно-случайного отбора
- •7.5. Интервальное оценивание
- •8. Проверка статистических гипотез
- •(Кривая вероятностей)
- •Критические точки распределения 2
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения Фишера-Снедекора
4.3. Математические операции над случайными величинами.
Пусть случайная величина Х принимает значения с вероятностями а случайная величина Y- значения с вероятностями Произведение КX случайной величины Х на постоянную величину К - это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями , что и случайная величина Х, принимает значения, равные произведениям на К значений случайной величины Х. Следовательно, ее закон распределения имеет вид таблица 4.2:
Таблица 4.2
-
...
...
Квадрат случайной величины Х, т.е. , - это новая случайная величина ,которая с теми же вероятностями, что и случайная величина Х, принимает значения, равные квадратам ее значений.
Сумма случайных величин Х и У - это новая случайная величина, которая принимает все значения вида с вероятностями , выражающими вероятность того, что случайная величина Х примет значение а У - значение , то есть
(4.8)
Если случайные величины Х и У независимы, то:
(4.9)
Аналогично определяются разность и произведение случайных величин Х и У.
Разность случайных величин Х и У - это новая случайная величина, которая принимает все значения вида , а произведение - все значения вида с вероятностями, определяемыми по формуле (4.8), а если случайные величины Х и У независимы, то по формуле (4.9).
4.4. Распределения Бернулли и Пуассона.
Рассмотрим последовательность n идентичных повторных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:
1. Каждое испытание имеет два исхода, называемые успех и неуспех.
Эти два исхода - взаимно несовместные и противоположные события.
Вероятность успеха, обозначаемая p, остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха обозначается q.
Все n испытаний - независимы . Это значит, что вероятность наступления события в любом из n повторных испытаний не зависит от результатов других испытаний.
Вероятность того, что в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно m раз ( в любой последовательности), равна
(4.10)
где q=1-р.
Выражение (4.10) называется формулой Бернулли.
Вероятности того, что событие наступит:
а) менее m раз,
б) более m раз,
в) не менее m раз,
г) не более m раз - находятся соответственно по формулам:
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна р; вероятности возможных значений Х = 0,1,2,..., m,...,n вычисляются по формуле Бернулли (таблица 4.3).
Таблица 4.3
-
Число успехов Х=m
0
1
2
...
m
...
n
Вероятность Р
...
...
Так как правая часть формулы (4.10) представляет общий член биноминального разложения , то этот закон распределения называют биномиальным. Для случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону, имеем:
M(X)=nр (4.11)
D(X)=nрq (4.12)
Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы (4.10) пользуются приближенной формулой:
(4.13)
где m - число появлений события в n независимых испытаниях, ( среднее число появлений события в n испытаниях).
Выражение (4.13) называется формулой Пуассона. Придавая m целые неотрицательные значения m=0,1,2,...,n, можно записать ряд распределения вероятностей, вычисленных по формуле (4.13), который называется законом распределения Пуассона (таблица 4.4):
Таблица 4.4
-
M
0
1
2
...
m
...
n
Pn;m
...
...
Распределение Пуассона часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства. Например, число машин, прибывших на автомойку в течении часа, число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 километров, число мест утечки воды на 100 километров водопровода, число остановок станков в неделю, число дорожных происшествий.
Если распределение Пуассона применяется вместо биномиального распределения, то n должно иметь порядок не менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а nр< 10.
Математическое ожидание к дисперсии случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру , которая определяет этот закон, т.е.
M(X)=D(X)=np=. (4.14)