МСТВ практикум

Федеральное агентство по образованию Ростовский государственный экономический университет

«РИНХ»

Ниворожкина Л.И., Морозова З.А.,

Герасимова И.А., Житников И.В., Федосова О.Н.

Практикум

по теории вероятностей

и математической статистике

Ростов – на – Дону

2007

УДК 311(075.8) ББК 606я73

Н60

Н60 Ниворожкина Л. И., Морозова З. А., Герасимова И. А., Житников И. В., Федосова О.Н.

Практикум по теории вероятностей и математической статистике. - Ростов н/Д: Ростовский государственный экономический университет «РИНХ», 2007. 126 с.

ISBN 978-5-7972 – 1150 - 1

Рецензенты:

Седенко В.И. заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики, доктор физикоматематических наук, профессор.

Арженовский С.В. доктор экономических наук, профессор кафедры математической статистики, эконометрики и актуарных расчетов

В пособии кратко изложены основные понятия математической статистики и теории вероятностей, даны методические указания по решению типовых задач. В конце каждой главы приведены 20 вариантов задач, условия которых приближены к практическим ситуациям в области маркетинга, аудита, финансов и др.

Предназначены для студентов и аспирантов экономических вузов, преподавателей колледжей, вузов, а также для практических работников, желающих научиться использовать современные статистические методы и их практические приложения при планировании своей деятельности.

УДК 311(075.8)

ББК 60я73

ISBN 978-5-7972 – 1150 - 1

@ Ростовский государственный экономический университет

«РИНХ», 2007 @ Ниворожкина Л.И., Морозова З.А., Герасимова И. А.,

Житников И. В., Федосова О.Н,2007

2

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Предмет и основные определения теории вероятностей.

2.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения. Примеры.

3.Статистическое определение вероятности, его особенности и связь с классическим определением.

4.Полная группа несовместных событий, противоположные события, свойства их вероятностей.

5.Зависимые и независимые события. Условные и безусловные вероятности.

6.Теоремы умножения вероятностей.

7.Теоремы сложения вероятностей.

8.Формула полной вероятности. Формула Байеса.

9.Комбинаторика: размещения, сочетания, перестановки. Размещения, сочетания и перестановки с повторениями. Примеры.

10.Случайные величины и случайные события. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения случайной величины и способы его задания.

11Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс.

12 Математическое ожидание случайной величины. Его смысл и примеры. Свойства математического ожидания.

13.Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Их смысл и примеры вычисления. Формулы для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии.

14.Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение частоты и частости.

15.Формула Бернулли. Биномиальное распределение. Наивероятнейшее число появлений события. 16.Формула Пуассона. Закон распределения вероятностей редких событий.

17.Гипергеометрическое распределение.

18.Равномерное распределение.

19.Непрерывные случайные величины. Дифференциальная и интегральная функции их распределения, их смысл и связь между ними.

20.Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет точно заданное значение.

21.Нормальное распределение. Плотность нормального распределения и ее свойства. Функция распределения нормально распределенной случайной величины.

22.Нормированное (стандартное) нормальное распределение.

23.Функция Лапласа: график, свойства, таблицы.

24.Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

25.Вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от своего математического ожидания. Правило трех сигм.

26.Локальная теорема Лапласа.

27.Интегральная теорема Лапласа.

28.Закон больших чисел. Понятие о теореме Чебышева (общий случай). Значение теоремы Чебышева.

29.Закон больших чисел. Теорема Бернулли.

30.Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.

3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

31.Предмет и основные задачи математической статистики.

32.Вариационные ряды. Виды вариации. Границы интервалов в вариационных рядах, величина интервала. Накопленные частоты.

33.Графическое изображение вариационных рядов.

34.Числовые характеристики вариационного ряда. Средняя арифметическая и ее свойства, мода и медиана.

35.Показатели колеблемости: вариационный размах, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации.

36.Моменты вариационного ряда (начальные и центральные).

37.Дихотомическая вариация. Дисперсия альтернативного признака.

38.Основные положения теории выборочного метода. Генеральная совокупность и выборка.

39.Повторная и бесповторная собственнослучайная выборка.

40Ошибки регистрации и ошибки репрезентативности. Предельная ошибка выборки.

41.Средняя ошибка выборки (для средней и для доли).

42.Необходимая численность выборки. Определение объема выборки при различных способах отбора.

43.Малые выборки.

44. Законы распределения, применяемые в математической статистике: распределения Стьюдента, Пирсона, Фишера.

45.Статистические оценки параметров распределения (сущность теории оценивания): несмещенность, состоятельность, эффективность оценок.

46.Точечные оценки: выборочная средняя, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

47.Точечная оценка генеральной средней по выборочной средней.

48.Точечная оценка генеральной дисперсии. “Исправленные” выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

49.Интервальные оценки. Точность оценки. Доверительная вероятность.

50.Доверительные интервалы для оценки неизвестного значения генеральной средней и генеральной доли. 51.Статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза: параметрическая и непараметрическая;

нулевая и альтернативная. Ошибки I и II рода. Уровень значимости и мощность критерия.

52.Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки. Отыскание односторонней и двусторонней критических областей.

53.Основные этапы проверки статистических гипотез.

54.Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей.

55.Проверка гипотезы о равенстве двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки).

56.Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки).

57. Проверка гипотезы о равенстве выборочной средней и гипотетической генеральной средней нормальной совокупности при известной и неизвестной генеральной дисперсии.

58.Проверка гипотезы о равенстве наблюдаемой относительной частоты и гипотетической вероятности появления события.

59.Проверка гипотезы о равенстве долей признака в двух совокупностях.

60.Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины. Критерий согласия Пирсона.

4

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ)

При выполнении домашнего задания (контрольной работы) следует строго придерживаться следующих правил:

1.Работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами синего или черного цвета, оставляя поля для замечаний.

2.На обложке тетради обязателен титульный лист, оформленный следующим образом:

Ростовский государственный экономический университет «РИНХ»

Кафедра математической статистики, эконометрики и актуарных расчетов

Домашнее задание по математической статистике с элементами теории вероятностей

Вариант №

Выполнил: студент гр.. Зачетная книжка № Факультет

Проверил: к.э.н., доц.

3.Перед решением каждой задачи надо полностью выписывать ее условие.

4.Решать задачи необходимо по порядку. Решение задач нужно излагать подробно и аккуратно,

объясняя все действия и указывая правила и формулы, использованные при решении каждой задачи.

5.Все искомые величины при расчетах нужно вычислять с точностью до четырех цифр после

запятой.

6.Студент должен уметь решать задачи, аналогичные задачам, входящим в его домашнее задание.

7.Вариант выбирается по последней цифре зачетной книжки. В случае если последняя цифра ноль, решается 10 вариант.

8.Домашние задания (контрольные работы), выполненные не по своему варианту не проверяются и

не засчитываются.

5

Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

Число размещений с повторениями из n элементов по m элементов будем обозначать символом

A mn (c повт.)

Можно доказать, что оно равно nm.

Пример 1.2. Изменим условие примера 1.1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов трех человек на три различные должности, Предположим, что один и тот же отобранный из 10 претендентов кандидат, может занять не только одну, но и 2, и даже все 3 различные вакантные должности. Сколько в этом случае возможно комбинаций замещения трех вакантных должностей?

Решение. Как и в предыдущей задаче комбинации замещения вакантных должностей могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком. Следовательно, и в этом случае для ответа на вопрос задачи необходимо рассчитать число размещений. Однако, на этот раз, вакантные должности могут замещаться одним и тем же претендентом, а, значит, здесь речь идет о расчете числа размещений с повторениями.

По условию задачи n = 10, m = 3. Следовательно:

A103 (с повт.) = 103 = 1000.

Ответ. Можно составить 1000 комбинаций замещения 3 различных вакантных должностей.

1.4. Сочетания

Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m в каждом обозначается символом Anm и вычисляется так:

где 0 m n .

Свойства сочетаний:

1)Сn0 C00 1;

2)С 1n n;

3)Cmn Cnn-m (m > n2) - удобно применять при m > n2 ;

4)Cn0 C1n Cn2 ... Cnn 2n ;

5)Cmn Cmn 1 Cmn 11 ,

где 0 m n.

Пример 1.3. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов трех человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по три человека можно составить из 10 кандидатов?

7

Решение. Состав различных групп должен отличаться, по крайней мере, хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи n = 10? M = 3. Подставив данные в формулу (1.4.2), получаем

С103 = 10!/3!7! = 120

Ответ. Можно составить 120 групп из 10 человек по 3.

Замечание. Надо уметь отличать сочетания от размещений. Если, например, в группе 25 студентов, и 10 человек из них вышли из аудитории на перерыв. Они стоят вместе и беседуют. Тогда порядок, в котором они стоят - несущественен. Число всех возможных групп из 25 человек по 10 в этом случае - сочетания. Если же студенты отправились на перерыве в буфет, или в кассу за стипендией, то тогда существенно, в каком порядке они встали, то есть кто из них первый, второй и т.д. В этой ситуации при подсчете возможных групп из 25 человек по 10 необходимо составлять размещения.

1.5. Сочетания с повторениями

Сочетание с повторениями из n элементов по m(m n) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем, то есть каждое сочетание из n элементов по m элементов может состоять не только из m различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, два соединения по m элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m будем обозначать символом Cnm с повт. Формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

Замечание: m может быть и больше n.

Пример 1.4. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

Решение.

N C64 c повт. C64+6-1 C69 84 ,

где m>n.

Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.

1.6. Перестановки

Перестановками из n элементов называются такие соединения, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Число перестановок их n элементов обозначается символом Рn, это то же самое, что число размещений из n элементов по n в каждом, поэтому

Пример 1.5. Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько существует способов его осуществления?

Решение. Способы просмотра изданий различаются только порядком, так как число, а, значит, и состав изданий при каждом способе - неизменны. Следовательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.

По условию задачи n = 6.

8

Следовательно:

Pn 6! 1 2 3 4 5 6 720 .

Ответ. Издания можно просмотреть издания 720 способами.

1.7. Перестановки с повторениями

Число перестановок с повторениями выражается при помощи формулы:

где , ,.... числа повторений.

Пример 1.6. Каким числом способов можно разделить m + n + s предметов на три группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой - n предметов, в третьей - s предметов?

Решение.

Задачи к теме 1

1.Для разгрузки поступивших товаров менеджеру требуется выделить 4 из 15 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуществляя отбор в случайном порядке?

2.Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 5 кандидатов для выбора на руководящую должность?

3.Руководством риэлтерской фирмы принято решение о необходимости рекламы нового вида услуг. По расчетам отдела рекламы, выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 7 из 12 городских газет. Сколько существует способов случайного отбора газет для размещения рекламы?

4.Менеджер по персоналу рассматривает кандидатуры 7 человек, подавших заявления о приеме на работу на должность бухгалтера. Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование

вслучайном порядке?

5.Расписание одного дня занятий на II курсе состоит из трех пар. В течение семестра студенты изучают 12 дисциплин. Сколько существует вариантов составления расписания занятий на один из дней недели, если в течение дня проводятся занятия по разным дисциплинам?

9

6.Покупая карточку лотереи “Спортлото”, игрок должен зачеркнуть 5 из 36 возможных чисел от 1 до 36. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает все 5 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму денег. Сколько возможных комбинаций можно составить из 36 по 5, если порядок чисел безразличен?

7.а) Сколько различных «слов», каждое из которых содержит 6 букв, можно составить из слова «экспертиза»? б) Сколько различных «слов», каждое из которых содержит 10 букв, можно составить из слова «экспертиза»?

8.Распределение пар в первом круге Уимблдонского турнира проводится методом жеребьевки. Сколько комбинаций пар возможно составить, если в турнире участвуют 20 теннисисток?

9.Администрация города объявила тендер на строительство медицинского центра. В конкурсную комиссию поступило 8 запечатанных пакетов со сметами от различных строительных фирм. Сколько существует способов очередности вскрытия пакетов, если они вскрываются конкурсной комиссией в случайном порядке после окончания срока подачи заявок?

10.Для обнаружения нефти на участке необходимо пробурить до 11 скважин. Однако, компания имеет средства для бурения только 6 скважин. Сколько способов отбора шести различных скважин у компании?

11.В Российской Федерации номерной знак автомобиля каждого региона состоит из трех букв и трех цифр. Чему равно общее число возможных номерных знаков региона, если, для его составления используется 12 букв русского алфавита и 10 цифр. Рассмотрите два случая, когда: а) цифры и буквы в номере не повторяются; б) если повторяются?

12.В финале конкурса телевизионных программ по трем номинациям представлены 9 региональных телерадиокомпаний. Сколько существует вариантов распределения призов, если каждая телерадиокомпания может получить призы по нескольким номинациям и по каждой номинации установлены: а) одинаковые призы? б) различные призы?

13.PIN – код пластиковой карты состоит из 4 цифр. Сколько всевозможных комбинаций PIN – кода существует, если: а) цифры в коде не повторяются? б) повторяются?

14.Издательство планирует выпустить в текущем году 6 различных учебников по статистике. Каким количеством способов можно выбрать 30 экземляров, если в библиотеке университета должны быть представлены все виды изданных учебников по статистике?

15.Сколько различных «слов» можно составить из букв слова «колокол»?

16.Код банковского сейфа состоит из 8 цифр. Сколько можно составить различных кодовых комбинаций, если: а) цифры не повторяются? б) цифры повторяются?

17.В мореплавании принято давать сигналы, используя разноцветные флаги. Сколько сигналов можно составить, используя одновременно 8 флагов, из которых 1 красный, 2 синих, 3 зелёных и 2 белых?

18.Фирма планирует приобрести путевки для отдыха 25 сотрудников. Сколько существует вариантов приобретения путевок, если: а) контракт будет заключен с четырьмя пансионатами? б) с двумя пансионатами?

19.Компьютерный ключ к антивирусной программе состоит из 9 цифр. Сколько существует различных вариантов компьютерных ключей, если: а) цифры ключа не повторяются? б) цифры ключа повторяются?

20.В парфюмерном магазине имеется 5 различных косметических наборов. Фирме необходимо приобрести 18 подарков к празднику. Сколько в таком случае существует вариантов выбора подарков?

10