9.2 Программа работы

% Задать номер варианта задания

nv=20;

% Определить передаточную функцию объекта, используя программу fwo7.m.

wo=fwo7(nv)

% Задать интервал dt и время наблюдения tm

m=600;dt=1;tm=m*dt;

t=0:dt:tm;

n=length(t);

% Сформировать случайный входной и выходной сигналы объекта

u=randn(n,1); % Формирование входного сигнала

y=lsim(wo,u,t); % Формирование выходного сигнала

% Построить графики входного и выходного сигналов

plot(t,u,t,y),grid

% Вычислить корреляционную функцию входного сигнала

tau=-tm:dt:tm;

ruu=xcorr(u,u,'biased'); % Вычисление корреляционной функции входного сигнала

% Вычислить взаимную корреляционную функцию выходного и входного сигналов

ryu=xcorr(y,u,'biased'); % Вычисление взаимной корреляционной функции

% Сформировать ковариационную матрицу входного сигнала

ru=ruu(n:end);

for i=1:n

mru(i,i:n)=ru(1:n+1-i)';

end

mru=mru+mru'-diag(diag(mru));

% Сформировать ковариационную матрицу выходного и выходного сигналов

ry=ryu(n:end);

% Вычислить функцию веса объекта

wr=inv(mru)*ry; % Вычисление функции веса по ковариационным матрицам

w=impulse(wo,t); % Вычисление функции веса по передаточной функции

% Построить графики функций веса для 100 значений аргумента

s=100;

plot(t(1:s),w(1:s),t(1:s),wr(1:s),t(1:s),ryu(n:n+s-1)/dt),grid

pause

% Ввести запаздывание в объект

[nun,den]=tfdata(wo);

woz=tf(nun,den,'td',10); % Введение запаздывания в объект

% Сформировать случайный выходной сигнал объекта

yz=lsim(woz,u,t); % Формирование выходного сигнала

% Вычислить взаимную корреляционную функцию выходного и входного сигналов

ryuz=xcorr(yz,u,'biased'); % Вычисление взаимной корреляционной функции

% Сформировать ковариационную матрицу выходного и выходного сигналов

ryz=ryuz(n:end);

% Вычислите функцию веса объекта

wrz=inv(mru)*ryz; % Вычисление функции веса по ковариационным матрицам

wz=impulse(woz,t); % Вычисление функции веса по передаточной функции

% Построить графики функций веса для 100 значений аргумента

s=100;

plot(t(1:s),wz(1:s),t(1:s),wrz(1:s),t(1:s),ryuz(n:n+s-1)/dt),grid

9.3 Порядок выполнения работы

Студент, самостоятельно изучив теоретические сведения, должен:

• Определить передаточные функции объекта с запаздыванием и без запаздывания.

• Построить графики расчетных функций веса объекта.

• Вычислить взаимную корреляционную функцию веса.

• Построить тренды входных и выходных сигналов.

9.4 Контрольные вопросы

1. Приведите структурную схему исследуемого объекта.

2. В чем заключается корреляционный метод идентификации?

3. Запишите уравнение Винера-Хопфа.

4. В чем сущность метода коллокации?

9.5 Содержание отчета

9.5.1. Название и цель работы.

9.5.2. Краткие теоретические сведения.

9.5.3. Результаты расчетов с необходимыми комментариями.

9.5.4. Листинг программы MATLAB.

9.5.5. Анализ результатов и выводы по работе.

Лабораторная работа № 10

Параметрическая идентификация объекта управления рекуррентным методом наименьших квадратов.

Цель работы – изучение рекуррентного метода наименьших квадратов.

10.1 Общие сведения

Параметрическая идентификация моделей объектов позволяет сразу находить значения коэффициентов модели объекта по измеряемым значениям управляемого y и управляющего u сигналов объекта. При этом предполагается, что структура и порядок модели объекта уже известен. Измеряемые значения входа y и выхода u объекта представляются в виде временного ряда, поэтому в результате идентификации оцениваются параметры АРСС – модели объекта, или параметры его дискретной передаточной функции. Зная коэффициенты АРСС – модели и ее структуру, можно перейти к непрерывным структурированным моделям и моделям в пространстве состояний.

Важным преимуществом методов параметрической идентификации является возможность использования рекуррентных алгоритмов, позволяющих проводить текущую идентификацию в реальном времени при номинальных режимах работы объекта. Эти преимущества определили широкое использование методов параметрической идентификации в задачах управления и автоматизации. К таким методам относятся: метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод стохастической аппроксимации.

Подставим в уравнение АРСС - модели значения сигналов y(k) и u(k), а также оценки параметров объекта, полученные после (k – 1) - го такта [2]:

. (10.1)

В этом уравнении ноль, стоящий в правой части уравнения (по­лучающийся после переноса всех слагаемых в левую часть) за­менен величиной ошибки e(k). Она отражает наличие погреш­нос­ти измерений выхода и неточность оценок параметров модели a_i и b_i. Обозначим значение y(k) как значение y(k/k – 1), пред­ска­зан­ное в момент (k – 1) на момент k. Тогда

, (10.2)

или

, (10.3)

где-вектороценок;- вектор данных;

d – величина дискретного запаздывания.

Ошибка уравнения e(k) будет иметь вид:

, (10.4)

где y(k) – новое измерение;

y(k/k-1) – предсказанное значение измерения.

Предположим, что измерения выполнены на интервале k = 1, 2, ..., n + d + N , а порядок АРСС – модели (n, n). Тогда на основании формул (10.3) и (10.4) получим векторно-матричное уравнение вида:

, (10.5)

где - вектор выхода,

- матрица данных,

–век­тор ошибок.

Функция потерь по критерию наименьших квад­ра­тов определяется как квадрат ошибки, что в векторном представлении дает выражение:

, (10.6)

а ее минимум находится из условия

. (10.7)

Полагая, что N  2n, обозначим

, (10.8)

тогда оценка минимизирующая функцию потерь (10.6)будет иметь вид:

. (10.9)

Алгоритм (10.9) – нерекуррентный алгоритм идентификации по методу наименьших квадратов, так как вычисление оценок параметров модели производится лишь после того, как сформирован весь массив входных и выходных данных объекта.

Рекуррентный алгоритм МНК получается после записи новой и старойоценок и вычитания одной из другой:

. (10.10)

Вектор коррекции определяется из соотношения:

. (10.11)

Вектор на следующем шаге вычисляется как

. (10.12)

Рекуррентный алгоритм метода наименьших квадратов реализуется в следующей последовательности.

1. Задаются начальные значения вектора оценок параметров модели и вектора данных:

,

где – достаточно большое число;

I – единичная матрица соответствующей размерности.

2. Производятся измерения входного и выходного сигналов объекта, и формируется новый вектор данных .

3. Вычисляется вектор коррекции по формуле (10.11)

4. Находится новая оценка параметров по формуле (10.10)

5. Вычисляется новый вектор по формуле (10.12)

Обычно для промышленных объектов характерна коррелиро­ван­ность во времени шумов, действующих на объект. Ис­поль­зо­ва­ние обычного МНК при таком шуме, т. е. при минимизации вы­ражения (10.6), вызывает смещение оценок параметров, уве­ли­чение дисперсии этих оценок. Ухудшение этих оценок, в свою оче­редь, приводит к ухудшению свойств оценок переменных со­стояния х(k) и в итоге - к снижению качества управления.

Для получения несмещенных оценок используется обобщен­ный МНК (ОМНК).

При использовании ОМНК оцениваются параметры моделей объекта и шума на его выходе. Идентификации подвергается модель максимального правдоподобия (МП - модель), для которой связь между переменными задается уравнением:

. (10.13)

Вводя расширенные векторы данных

(10.14)

и параметров

, (10.15)

выходной сигнал объекта можно записать через выражения (10.13) и (10.14):

. (10.16)

Так как сигнал помехи е(к) неизвестен, то используется его оценка , определяемая из уравнения

. (10.17)

Оценки параметров МП - модели вычисляются аналогично как в МНК по формулам (10.10) – (10.12).

Все алгоритмы рекуррентной парамет­ри­чес­кой идентификации могут быть приведены к единой форме описания:

; (10.18)

; (10.19)

. (10.20)

Для различных методов общее описание отличается векторами па­раметров , векторами данныхи векторами коррекции.