- •Глава 4
- •4.1. Типовые задачи вычисления неизмеряемых величин и обобщенных показателей
- •4.2. Вычисление интегральных и усредненных значений измеряемых величин
- •4.3. Учет и компенсация динамических связей между измеряемыми величинами
- •4.4. Вычисление неизмеряемых величин по уравнениям регрессии (косвенные измерения)
- •4.5. Автоматическая расшифровка хроматограмм
- •4.6. Прогнозирование показателей процесса
- •Глава 5
- •5.1. Формирование критериев оптимальности
- •5.2. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •5.3. Декомпозиция и агрегирование оптимизационных задач
- •5.4. Управление технологическими процессами с параллельной структурой
- •5.5. Оптимальное управление системами с последовательной структурой и с рециклами
- •5.6. Способы упрощения решения задач оптимального управления технологическими процессами
- •5.7. Оптимальное управление периодическими процессами
4.6. Прогнозирование показателей процесса
Прогнозирование значений показателей, от которых зависит стратегия управления технологическим объектом, является одной из информационных функций АСУТП.
Рассмотрим величину у(t), значения которой определяются (измеряются или вычисляются) периодически с периодом t0.
Тогда к текущему моменту tп=пt0 известны значения у(0), у(1) ...у(п), образующие так называемый временной ряд. Задачей прогноза является определение в момент tп оценки члена ряда у(l) для будущего момента t1 =(п+l)t0 (где l0 определяет период прогноза).
Для расчета прогнозируемого значения необходимо построить математическую модель временного ряда у(]). В практике краткосрочного прогнозирования наибольшее распространение получили две модели временных рядов.
Модель авторегрессии
, (4.55)
где a0иа(k)—параметры модели ();р—порядок модели авторегрессий;е(j)—случайная составляющая (помеха) в моментti =jt0.
Полиномиальная модель
. (4.56)
Оценки параметров (k) модели авторегрессии определяют по МНК. Расчет прогнозируемых значений проводят по формуле
, (4.57)
где (п-k+l) - измеренное или прогнозируемое значение временного ряда в моментt= (п-k+l)t0.
Алгоритм прогноза (4.57), использующий модель авторегрессии, прост для реализации на ЭВМ. Его недостатком является низкая точность, обусловленная тем, что оценки параметров модели (k) не уточняются по результатам прогноза. Этого недостатка лишен метод прогноза, основанный на модели (4.56). Оценки параметров этой модели уточняются по мере поступления каждого нового значения временного ряда. Для их расчета используют так называемые «экспоненциальные средние» разного порядка, вычисляемые по формуле экспоненциального сглаживания (3.33). В частности, экспоненциальную среднюю первого порядка рассчитывают по формуле
z1(j)=y(j)+(1-)z1(j-1),
где - параметр настройки алгоритма прогнозирования (01).
Экспоненциальную среднюю второго порядка рассчитывают по формуле
z2(j)=z1(j)+(1-)z2(j-1).
В общем случае для экспоненциальной средней г-го порядка расчетное соотношение имеет вид:
zr(j)=zr-1(j)+(1-)zr(j-1). (4.58)
Для вычисления экспоненциальных средних необходимо задать их начальные значения zr(0), r==1, 2 ...., которые в простейшем случае могут быть приняты равными начальному значению временного ряда у(0). Большое влияние на результаты прогноза оказывает выбор значения параметра . Если желательно, чтобы прогноз базировался в основном на последних значениях временного ряда, следует выбирать значение , близкое к единице.
Оценки параметров модели (4.56) рассчитывают по специальным формулам. В частности, для линейной модели расчетные формулы имеют вид:
;
Соответственно для квадратичной модели они имеют вид
Модели более высокой степени применяют редко.
Расчет прогнозируемого значения по модели (4.56) выполняют по формуле
, (4.59)
где оценка параметраa(k), вычисленная с учетом всех известных членов временного ряда, включая последнийу(п).
Алгоритм прогнозирования по методу экспоненциального сглаживания работает следующим образом. При поступлении очередного значения временного ряда у(п) вычисляют экспоненциальные средние Sr(r=1, 2, ...) по формуле (4.58), затем рассчитывают оценки параметров прогнозирующей функции по соответствующим формулам и определяют прогнозируемое значение (п+l) по формуле (4.59).
Пример. В периодическом процессе микробиологического синтеза лизина (см. разд. 8.1) необходимо контролировать концентрацию в биореакторе основного компонента питательной среды — Сахаров. Ввиду отсутствия автоматических датчиков измерение этого параметра осуществляют путем лабораторных анализов, выполняемых с интервалом 8 ч.
Для прогнозирования изменений концентрации Сахаров на 8-часовой отрезок времени после выполнения очередного анализа можно использовать линейную полиномиальную модель (4.56). Ниже приведены «истинные» знаxения концентрации, полученные методом имитационного моделирования на ЭВМ процесса биосинтеза лизина и результаты прогноза при следующих
значениях параметров алгоритма: =0,7; z1(0)=155; z2(0)=160.
Время <, ч 0 8 16 24 32 40 48 56
«Истинная» кон- 130 106 79 59 40 30 18 9
центрация y(t),
г/л
Прогноз , г/л — 107,7 82,9 54 36,3 26,7 15,3 6,7