- •Глава 4
- •4.1. Типовые задачи вычисления неизмеряемых величин и обобщенных показателей
- •4.2. Вычисление интегральных и усредненных значений измеряемых величин
- •4.3. Учет и компенсация динамических связей между измеряемыми величинами
- •4.4. Вычисление неизмеряемых величин по уравнениям регрессии (косвенные измерения)
- •4.5. Автоматическая расшифровка хроматограмм
- •4.6. Прогнозирование показателей процесса
- •Глава 5
- •5.1. Формирование критериев оптимальности
- •5.2. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •5.3. Декомпозиция и агрегирование оптимизационных задач
- •5.4. Управление технологическими процессами с параллельной структурой
- •5.5. Оптимальное управление системами с последовательной структурой и с рециклами
- •5.6. Способы упрощения решения задач оптимального управления технологическими процессами
- •5.7. Оптимальное управление периодическими процессами
5.4. Управление технологическими процессами с параллельной структурой
В разд. 5.2 была рассмотрена задача выбора состава и нагрузок параллельно включенных агрегатов. Здесь приведем решение этой задачи при тех или иных допущениях и возможности реализации такого решения в автоматизированных системах.
Декомпозиция задачи и получение нагрузочных характеристик. В системе с параллельной структурой (рис. 5.6, а) имеется два вида управляющих переменных: переменные ы,, изменение которых влияет только на режим 1-го агрегата; переменные Х{, изменение которых, воздействуя на 1-тый агрегат, вызывает, в силу условий задачи, изменение переменных в других агрегатах.
Обозначая эти две группы переменных в векторной форме через х и и, а вектор-функцию ограничений, характерных для всей системы аппаратов, через /, получим матрицу смежности этой задачи (рис. 5.6,6).
Пример. При управлении цехом разделения воздуха переменными первого типа являются флегмовые числа для каждой из параллельно действующих колонн ректификации. Переменной второго типа является про-
Рис. 5.6. Система с параллельной структурой:
а—схема; б—матрица смежности зводительность каждой колонны, так как суммарная производительность всей установки задана. На первом шаге фиксируют производительность хг для каждой колонны и решают семейство оптимальных задач, меняя флег-мовое число Д; и минимизируя затраты на разделение. Получают зависимости
/?,' (XI) И Р, (Х,)=Р, (/?.*, XI).
Эти условно-оптимальные зависимости (нагрузочные характеристики) и являются исходными данными для расчета на втором этапе минимума суммарных затрат при заданной суммарной производительности.
Выпуклые нагрузочные характеристики. Задача без ограничений. Обозначим через Р^х^, как и в разд. 5.2, зависимость производительности агрегата от расхода сырья хг. Первоначально будем предполагать, что для всех п агрегатов эти зависимости выпуклы вверх, а ограничения вида
Х1^Х1'^Х1, 1=1,п. (5.54)
на каждую из нагрузок отсутствуют. При этом считаем, что каждый агрегат включен, а выбору подлежат только значения их нагрузок. Задача такого выбора имеет форму:
п п
/=У?,(^)——> тах при V л:,—С=0. (5.55)
(=1 1=1
Решение задачи (5.55) можно получить с использованием функции Лагранжа:
Эта функция выпукла в силу выпуклости нагрузочных характеристик, поэтому решение задачи можно получить из системы (п+1) уравнений:
п
дК лр, \л • — дх1=° ^ &7=^ 2^1-С=0; 1=\,п (5.56)
1=1
В точках, соответствующих оптимальным нагрузкам л:»*, наклоны всех характеристик Р^х^) должны быть одинаковы.
Пример. Пусть Л-(^»)==а>У^1. Уравнения (5.56) запишутся в форме
п а,/ /^ = 2Х; I = Т^п: ' ^ х, = С.
1-1
Решая эти уравнения, получим:
п х," = Са,"1 ^ а\, , = Т^г (5.57>
1-1
Параметры нагрузочных характеристик а: периодически уточняют по результатам текущих измерений, а формулы (5.57) позволяют пересчитывать оптимальные нагрузки.
Задача с ограничениями. Практически задачу распределения нужно решать с учетом ограничений (5.54), так как некоторые оптимальные нагрузки могут оказаться предельно допустимыми. В этом случае из условий локальной неулучшаемости функции Лагранжа следуют неравенства:
(5.58)
—г— < А, если х,* == х,;
й^^
Неравенства (5.58) вместе с уравнениями (5.56) могут служить скорее для проверки оптимальности некоторого распределения нагрузок, чем для расчета оптимального распределения. Ниже приведен алгоритм последовательного назначения предельных нагрузок, позволяющий решить эту задачу.
Будем называть нагрузки, подсчитанные из условий стационарности функции Лагранжа без учета ограничений (5.54), стационарными. Обозначим их д:,°.
1-й шаг. Рассчитаем стационарные нагрузки Х1°, после чего все агрегаты разобьем на три группы: недогруженные (х,°<Х1), перегруженные (х^о>х^) и средние (Хг^х^-^х^. Множество индексов недогруженных агрегатов обозначим /, а множество индексов перегруженных—/.
2-й шаг. Подсчитаем суммарную перегрузку А как разницу между суммой стационарных и предельных нагрузок для всех перегруженных агрегатов и аналогично рассчитаем суммарную недогрузку по всем недогруженным агрегатам:
^(..о-^д; ^(^-„о)=д.
к=Г <е7
3-й шаг. Возможны три случая:
а) перегрузка больше недогрузки (А>Д); тогда оптимальные нагрузки перегруженных агрегатов следует назначить равными максимально возможным
ХГ=Х1, 1<=7,
найти сумму этих нагрузок и вычесть ее из заданной суммарной нагрузки:
С,=С-^х„
<е7
оставшуюся нагрузку С\ распределить между средними и недогруженными агрегатами;
б) недогрузка больше перегрузки (Л>Л); оптимальные нагрузки недогруженных агрегатов следует назначить равными минимально возможным
х,*=х„ ге7,
найти их сумму ^х,. вычесть ее из С и остаток С\ распределить
«•&/' между средними и перегруженными агрегатами;
в) недогрузка равна перегрузке (А=А); всем недогруженным агрегатам назначают минимальные, а всем перегруженным — максимальные допустимые нагрузки; оптимальные нагрузки средних агрегатов равны рассчитанным для них стационарным х,°; в этом последнем случае задача решена.
В случаях а) и б) переходит к1-му шаг у, но с меньшим числом агрегатов и с меньшей суммарной нагрузкой. Так как после каждого цикла находят оптимальную нагрузку хотя бы для одного агрегата, то решение будет получено после конечного числа циклов, меньшего, чем п.
Доказательство оптимальности полученного решения сводится к доказательству того, что оно удовлетворяет условиям (5.56), (5.58).
В некоторых случаях -нужно распределить не один, а два или более видов сырья, так что нагрузка каждого из агрегатов представляет собой вектор Х1 с составляющими Х1^(у=\,т). Теперь производительность Рг является функцией нескольких переменных, а ограничения наложены на суммарный расход каждого вида ресурса. Приходим к задаче вида
п п
I = V. Р,(^;) ——> тах при V х^ — Су = 0: v = Т^п. <°1 <-1
Если не учитывать ограничения на х^ вида (5.54), то, записав функцию Лагранжа
я ст т
К = ^ [?1 (XI) - ^ ^;у] + ^ ^Су, 1-1 V-! у=-1
приходим к условиям оптимальности:
дК дРг — — vi
а^7=° ^ дх^ "^ ^^г '=1." > ^^-Су=о (5.59)
г=1 При учете ограничений вида
xiv ^ xiv < xiv; 1=\,п; у=1,т
в задаче с векторным ресурсом также может быть использован алгоритм последовательного назначения предельных нагрузок. При этом первоначально распределяют первый ресурс, зафиксировав остальные переменные х,у (У=2,...,т) для всех I на некоторых начальных значениях. После того, как найдено оптимальное распределение первого ресурса х\* фиксируют и распределяют второй ресурс. Так до т-го ресурса. Затем уточняют распределение первого ресурса и т. д. до тех пор, пока в очередном цикле значение критерия оптимальности /&+1 не <)удет с заданной точностью равно значению /й, полученному в предыдущем цикле.
Использование результатов измерения параметров выходных потоков для оптимального распределения нагрузок. Во многих случаях систему оптимального распределения нагрузок можно построить как систему автоматической стабилизации параметров состояния в каждом из агрегатов на таких значениях, при которых выполнены условия оптимальности (5.56).
Обозначим через У1==(уа, ..., У1г) вектор параметров, характеризующих состояние 1-го агрегата, и предположим, что размерность этого вектора г не меньше, чем размерность т вектора ресурсов л'1. Между г/, и х: имеется связь
у.=Ф.(^) (5.60)
Если Фг (вектор-функции размерности г) таковы, что позволяют выразить XI через г/» (это возможно, если для всех допустимых значений хг матрица с элементами дфц/дх^ имеет полный ранг т), то оптимальное распределение нагрузок можно реализовать по результатам измерения вектора состояния, воздействуя на задания регуляторам, стабилизирующим значение этого вектора.
Обозначим через (р1у(Хг) частные производные нагрузочных характеристик
-|^-=(р,у(*.);У=Г^:
В силу выпуклости этих характеристик функции <р,у монотонно уменьшаются с ростом каждой из составляющих х». Заменим в ср; XI через у{ и перепишем условия (5.56) в форме
"Фгу (г/г) = Фгу [*1 (у;)] = ^у,
п
^ -^ ((/г) = Су; у=Т~т; {=\~п. (5.61)
1-1
Условия (5.61) позволяют построить систему оптимизации распределения нагрузок, основанную на измерении параметров потока на выходе каждого агрегата. При этом вычислительная машина находит по измеренным г/» функции (р»у и среднее значение по всем п аппаратам для каждой из этих функций "~ - "-(2(рг^/га. Если для некоторого аппарата ф»у> (2(р,у^/п, то на-
<=1 1='1
грузку его xiv по у-му ресурсу нужно повысить, уменьшив нагрузку аппаратов, для которых <р,у<(2ф^)/"< так. чтобы сумма нагрузок оставалась равной Су.
Подобное перераспределение естественно, так как производная производительности по нагрузке (ргу характеризует «отдачу» соответствующего агрегата на единицу вложенного ресурса. Ясно, что надо нагружать агрегаты, имеющие большую «отдачу», и разгружать менее экономичные.
Особенно интересен случай, когда агрегаты одинаковы и
функции (р,у (уг) =^ч(У1) зависят не-от номера агрегата г, а только от вектора г/г. В этом случае из условий (5.61) следует, что при оптимальном распределении значения параметров выходного потока должны быть одинаковы.
Пример. Рассмотрим схему, состоящую из параллельных химических реакторов. Параметром выходного потока у\ является концентрация целевого продукта, а нагрузкой—расход реакционной смеси х\. Между х\ и у\ имеется связь
У1=а!/(Х1+Ь1); {-Т".
Производительность аппарата
Р((Ж()=х;(/г(^); 1=1, п. Ее производная по XI
(р,(*,)= ——— (^————\, {=Тп. X^+Ь^ \ ^+6»/
Заменяя XI через концентрацию в выходном потоке {/I, получим Ф^УО^У^/а;, 1=Т^п.
Уравнения (5.61) примут вид:
уг^Ь^ =а.1\, 1'== \,п.
Если учесть условия
п п ^ п
^ XI = С => ^ ~а^|у^ - ^ 6; = С, (5.63)
1-1 {-I <=1
можно получить решение задачи оптимального распределения в форме требований, наложенных на выходные концентрации. Действительно, из уравнения (5.62) имеем:
у^ = ~У~\ Уа^, I = 1~я~ Подставляя у; в условия (5.6,3). получим:
<=1 1-1
откуда
Рис. 5.7. Агрегат с невыпуклой характеристикой: за счет невыпуклости зависимости Рг(х1) (а); за счет невыпуклости множества допустимых нагрузок XI (б)
Уточняя параметры аг и 'б, по результатам текущих измерений, система регулирования находит оптимальную концентрацию на выходе каждого аппарата, учитывая состояние катализатора, рабочий объем реактора и пр. Если концентрация выше заданной, то расход реакционной смеси в соответствующий аппарат нужно увеличить. Для одинаковых аппаратов у;* оказываются равными.
Невыпуклые характеристики; выбор состава действующего оборудования. Невыпуклость нагрузочных характеристик сильно затрудняет решение задачи оптимального распределения, так как уравнения (5.56) выделяют не единственное решение. Причиной невыпуклости может быть как форма зависимости Р^(х^), т. е. невыпуклость графика функции, так и невыпуклость множества значений Х1, на котором определена функция (рис. 5.7). В первом случае имеется диапазон нагрузок (от Х1а до хл на рис. 5.7, а), где работа агрегата неэкономична, во втором случае в некотором диапазоне нагрузок (от нуля до XI на рис. 5.7, б) работа агрегата просто недопустима. Рис. 5.7, б соответствует задаче выбора состава действующего оборудования. Точка Х1=0 является допустимой и соответствует выключенному агрегату, а отрезок [х,, х,]—включенному.
Для анализа и решения задачи полезно построить выпуклую функцию, которая для любого Хг от 0 до XI была бы не меньше, чем соответствующая нагрузочная характеристика, и возможно более близка к ней (пунктир на рис. 5.7). Такие функции называют выпуклыми оболочками Р^х^ и обозначают Со Р{(Хг).
Выпуклая оболочка нагрузочной характеристики—не просто минимальная выпуклая функция, ординаты которой для любого XI не меньше, чем Р(Хг); она имеет и физический смысл» определяя максимальные возможности аппарата. Действительно, пусть агрегат обладает некоторой емкостью, расход продукции на выходе которой равен среднему значению Р;. Для невыпуклых характеристик (см. рис. 5.7, а), работая некоторое время с нагрузкой хю, а оставшееся время — с нагрузкой хл, можно добиться того, чтобы средняя нагрузка оказалась равной л-0,; при этом средняя производительность окажется равной ординате выпуклой оболочки Со Р(х°1), которая больше, чем Р(У,).
Таким образом, нагрузочная характеристика определяет производительность аппарата при заданной нагрузке, а выпуклая оболочка этой характеристики—максимальную среднюю производительность аппарата при заданной средней нагрузке. Именно поэтому выше было сказано о том, что на участке от х^а до хл работа агрегата неэкономична (она может быть улучшена переходом к циклическому режиму).
Выпуклыми оболочками можно воспользоваться для приближенного решения задачи распределения по следующему алгоритму:
1. Для каждого агрегата построить выпуклую оболочку нагрузочной характеристики Со Р^х^^Р^х^.
2. Распределить нагрузки между агрегатами, считая, что их характеристиками являются выпуклые оболочки Рг
3. Если для всех найденных х-* выполнены равенства
Р1(^)=Р1'.(хП< " (5.64)
то решение является искомым оптимальным.
4. Если для одного или нескольких агрегатов (множество таких агрегатов обозначим через /} справедливы неравенства
Р1(х1')>Р1(хг); 1^,
п _ ^
то сумма 2Рг(Х(*)=/ представляет собой оценку сверху для
максимальной производительности схемы.
5. Из всех агрегатов, оказавшихся внутри множества /, выберем тот, для которого разница между нагрузкой х-* •и нагрузкой, соответствующей равенству ординат Р» 'и р{, оказалась минимальной. На рис. 5.7, а такими точками являются Хш и х;й, а на рис. 5.7,6—точки Х1=0 и х^=х^с. Нетрудно показать '[54], что любая ордината выпуклой оболочки может быть получена как линейная комбинация ординат нагрузочной характеристики в таких базовых точках.
Нагрузку выбранного агрегата (обозначим его индексом /) полагаем равной нагрузке, соответствующей ближайшей базовой точке.
6. Оставшуюся нагрузку вновь распределяем между остальными агрегатами; если вновь для части агрегатов найденные нагрузки оказались на участках, где Р,Сх,)>.Р('л;,), то повторяем п. 5, и так до тех пор, пока для всех найденных нагрузок
" не будут выполнены равенства (5.64). Сумма ^Р1(х1*)=Р дает
1=1
оценку снизу для предельной производительности системы. Сравнивая ее с полученной в п.4 оценкой сверху, можно судить о том, необходимо ли уточнение найденного решения. Как
правило, разность Р—Р невелика. Если же уточнение необходимо, оно может быть проведено поисковыми методами, в которых найденное в п.6 решение принято за начальное приближение.
Если среди найденных нагрузок оказались нулевые (точка д;»=0 всегда является базовой), значит, соответствующий агрегат целесообразно держать в резерве.
Отметим, что решение задачи выбора состава оборудования с учетом затрат на обслуживание выключенного агрегата, возможности перевода в горячий или холодный „резерв, затрат времени и средств на пуск и останов и т. п. существенно сложнее. Изложенный приближенный алгоритм может быть использован для получения начального состава действующих агрегатов с последующим его уточнением. Вероятностные ограничения в задачах распределения нагрузок. Во многих случаях внедрению систем оптимального управления препятствует недостоверность исходных данных. Это не значит, что следует отказаться от использования таких систем, а говорит лишь о необходимости учета неопределенности при постановке задачи.
В качестве примера рассмотрим задачу распределения нагрузок, в которой известен объемный расход сырья, но не известен его состав, влияющий на производительность аппарата. Например, известен расход топлива в печь, но не известна точно его теплота сжигания. Производительность же зависит от произведения расхода на теплоту сгорания, для которого известны лишь вероятностные характеристики или же точность измерения очень низка.
Пусть известна плотность распределения р(С) количества С распределяемого ресурса. Так как величину С, а значит и Х{, нельзя замерить, то задача состоит в том, какую долю [а, от общего расхода сырья подать в каждый агрегат. Критерии оптимальности представляет собой математическое ожидание суммарной производительности
(5.65) -1^
в (5.66)
*,/ »*,
^ Р (С) ОС > ф (5.67)
^/^г
Последнее условие означает, что вероятность попадания нагрузки каждого аппарата в интервале (х„ Х{} не менее заданной.
Введем в рассмотрение усредненные нагрузочные характеристики агрегатов:
Р1 (14) = | Р1 (И.С) р (С) ас. (5.68)
С использованием введенных обозначений перепишем задачу (5.65) — (5.67):
/=^Р;(^) ——> тах; (5.69)
1-1
л
^^г=1; щ^о; <=Т7гГ (5.70)
г=1
Р1(1Ч,Ф,Х1,Х1)>0. (5.71)
Таким образом, задача с вероятностными условиями на суммарную нагрузку аналогична детерминированной задаче с тем отличием, что нагрузочные характеристики заменяют усредненными, а множество допустимых значений переменных определено не только условиями (5.70), но и неравенствами (5.71), вытекающими из (5.67). Последние условия при заданной плотности распределения р(С), величинах Ф, л"» и х: полностью эквивалентны ограничениям типа хг^Х1^Х1, так как из них могут быть найдены предельные значения [а.
Применение полученных соотношений проиллюстрируем на задаче распределения нагрузок для квадратичных характеристик вида
Л(11.С)=а^(^^^С)2-^6,^цС+^, 1=Тп (5.72)
Плотность распределения суммарного ресурса имеет форму усеченного нормального закона распределения:
О при С<=[С, С], р(с) => г [с с ^
Лехр — —— при С<=[С,С]. . I \ о / ^
Здесь С и а2—среднее значение и дисперсия распределения суммарного ресурса; С и С—его предельные значения; величину Л выбирают так, чтобы площадь р(С) оказалась равной единице.
Так как для учета ограничений на уа может быть использован алгоритм последовательного значения предельных нагрузок, на первом этапе будет полагать эти ограничения отсут-
261
ствующими. Задача примет вид:
С п п п
/=! [с2 2 а^^2+с 2й№ +2 дгг]х
с г-1 г=1 >=1
га
(,"_7~\2 \-ч X А ехр —-^ йС ——> тах/ ^, |л, = 1. ст 7- •—•
Введем переменную у=(С—С)/о и перепишем выражение для критерия оптимальности:
Р / = Ло [ [5,о^а ^ (о^ + 2етС5,) у +
и (X
+ (5„ + С8^ + И,)] е^у = Аа [5^, + ^(8^0 + 2а&5,) + + (5„ +С51 +С25,)^о],
где
5о = ^ и;; 8^ = ^ б,}!;; 5, = ^ а,^;2;
1=1 1=1 »==1
^=Г ^-^</;/с=0.1,2;а=^^; Р=^-^;
в
Iо=л/^-^ет^ф)-ет^{а)}•, ^^-^-^-^-е-^\•, ^ ^ У^-[ ег{(Р) - ег^)] + ^ .- "2 _ -I- .- Р2;
2 ^> ег1(х) == _.— I е""22^. У л ^ о
Функция Лагранжа поставленной задачи запишется следующим образом:
п
Ь=А [8,аи, + о2^ + 2С5,)^ + а(5„ +^ +^25,)^о — ^ ^1-г=1
Система уравнений, вытекающих из условий стационарности этой функции по ц,, примет вид:
^,(2стУг01 + 4Саг(т/12 + 2С2а^а^о) + п
+ ^^а2Ь^ + (тСбг/о = ^; ^ ^ = !; ' = Гп.
г=1
Решение этой системы
1\-1
,._1/у^_ а])
а»
\^ а] /=1
/=1
!__ I I__ 1
где
2о(аУг + 2С(Т/1 + СУо)
Полученные формулы дают решение поставленной задачи распределения суммарного ресурса С в случае, когда С—случайная величина.