- •Глава 4
- •4.1. Типовые задачи вычисления неизмеряемых величин и обобщенных показателей
- •4.2. Вычисление интегральных и усредненных значений измеряемых величин
- •4.3. Учет и компенсация динамических связей между измеряемыми величинами
- •4.4. Вычисление неизмеряемых величин по уравнениям регрессии (косвенные измерения)
- •4.5. Автоматическая расшифровка хроматограмм
- •4.6. Прогнозирование показателей процесса
- •Глава 5
- •5.1. Формирование критериев оптимальности
- •5.2. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •5.3. Декомпозиция и агрегирование оптимизационных задач
- •5.4. Управление технологическими процессами с параллельной структурой
- •5.5. Оптимальное управление системами с последовательной структурой и с рециклами
- •5.6. Способы упрощения решения задач оптимального управления технологическими процессами
- •5.7. Оптимальное управление периодическими процессами
5.7. Оптимальное управление периодическими процессами
Постановка задачи об оптимальном управлении периодическим процессом была приведена в разд. 5.2. Напомним ее: требуется найти такие управляющее воздействие и* (1) и продолжительность цикла Т*, чтобы достигал максимального значения критерий
т
(5-134)
о имеющий смысл средней продуктивности аппарата за цикл.
В этом критерии /о — функция, определяющая текущую продуктивность процесса и учитывающая скорость образования полезного продукта, текущие потери и т. п.; А — потери, связанные с окончанием одного и началом следующего цикла (расходы на загрузки и выгрузку, регенерацию катализатора и т. п.); 9—потери времени, связанные с загрузкой и выгрузкой продукта. Переменные состояния х и управляющие воздействия и связаны друг с другом т условиями в форме дифференциальных уравнений
'х,^,(х,и}; /=Гт. (5.135)
Поставленная задача представляет собой вариационную задачу оптимального управления, для ее решения могут быть ис
Рис. 5.12. Выбор оптимальной продолжительности периодического процесса
Рис. 5.13. Расчет оптимальной продолжительности очередного цикла периодического процесса
пользованы соответствующие методы, а также некоторые приемы, рассмотренные в разд. 5.6.
Выбор оптимальной продолжительности цикла периодического-процесса. Будем полагать, что тем 'или иным способом найдены законы изменения управляющих воздействий и° (1) и соответствующие им изменения переменных состояния х° (1) и требуется найти лишь оптимальную продолжительность процесса Т*. Обозначим через ср (Т) интеграл, стоящий в уравнении (5.134) и вычисленный при х=х°(() и ы=и°(/). Тогда
Будем считать функцию <р (Т) известной (рис. 5.12). Тогда величина / соответствует тангенсу угла наклона к оси абсцисс прямой, проведенной из точки с координатами (—9, А) в точку с координатами Т, <р (Т). Этот угол (а значит, и его тангенс) максимален, когда прямая касается кривой (р(Т). Соответствующее точке касания значение Т=Т* является оптимальным моментом окончания процесса.
Если функция ^о°(0 =!о(х°, и°) задана аналитически, то оптимальную продолжительность процесса Т* можно определить исходя из того, что в точке касания производная функции <р(Г) по Т, т. е. ^о°(Т), равна тангенсу угла наклона касательной, т. е. 1(Т). Таким образом, для определения Т* имеем:
т-в
(^)г. =^^=~Г^Г^ (| ^' ио')'а(-А ) ^-'^ о
Уравнение (5.136) может иметь не одно решение; в этом случае нужно выбирать решение, при котором значение / больше. Выбор оптимальной продолжительности связанных друг с другом периодических процессов. В ряде случаев 'нельзя выбирать продолжительность периодического процесса Т, ориентируясь на .максимальную эффективность единичного цикла, так как требуется учесть еще эффективность циклов, связанных с рассматриваемым и проводимых в том же самом или в других аппаратах. Ниже рассмотрим варианты таких задач, обозначая через р{Т) зависимость интегральной эффективности процесса от общего времени цикла Г=Г+9:
Т—в
р(Т}= С /о (*, ") М - А. о]
1. Последовательность циклов в единичном аппарате. В качестве критерия оптимальности для последовательности циклов естественно использовать продуктивность всей последовательности, получаемую как отношение общей стоимости продукта, произведенного за п циклов, к общей продолжительности этих
циклов:
/^^(Г-О/^Г,
(5.137)
1=1 1=1
Если функции р[ одинаковы для всех циклов, задача сводится к ранее рассмотренной; однако часто нестабильность характеристик сырья приводит к разным зависимостям р1'(Г,) в каждом 1-том цикле.
Пусть реализован {п—1) цикл и требуется найти оптимальную продолжительность текущего л-го цикла Тп*. В этом случае критерий (5.137) удобно переписать в форме
1п^ Р^+Р^_^гпах, (5.138)
^ + Тп 7-„ п—1 п-1
где рд = ^ р1 (Те); Т;а = ^ Тг.
1=1 Г=1
Этот критерий имеет ту же форму, что и критерий выбора продолжительности единичного цикла. Графическое решение задачи (5.138) показано на рис. 5.13. Оптимальному времени Тп* соответствует точка касания прямой, проведенной из точки Га на оси абсцисс к кривой р^.-\-рп(Тп}- Отношение р^Т-г. представляет собой среднюю эффективность аппарата за все циклы, предшествующие рассматриваемому. Если бы Тп* находили из условия максимальной эффективности только одного п-го цикла, для его определения нужно было бы провести касательную к кривой р^+рп{Тп) из точки рд на оси ординат (пунктир на рис. 5.13). Очевидно, что если наклон этой касательной (т. е. индивидуальная оптимальная эффективность п-го цикла) окажется меньше средней эффективности предыду
щих циклов, то длительность Тп* цикла, найденная по критерию (5.138), окажется меньше, чем Т*. Это естественно, так как «удачный» цикл надо проводить дольше, а «неудачный» прекратить раньше, чем при индивидуальном проведении.
Условия оптимальности критерия /" по величине Тп. имеют вид
и могут быть использованы для оперативного управления продолжительностью периодических процессов.
2. Работа группы, аппаратов на общий слив. На рис. 5.14 показана группа аппаратов периодического действия, объединенных общим сливом. При этом продолжительность операции выгрузки продукта т задана и нельзя одновременно проводить выгрузку двух и более аппаратов. Поэтому моменты окончания циклов аппаратов должны отличаться не менее чем на т. Пусть известна зависимость эффективности каждого аппарата от продолжительности текущего цикла, а также моменты начала циклов в каждом из пг аппаратов. Обозначая момент начала цикла в у-ом аппарате через /у> а продолжительность цикла через Ту, приходим к задаче о максимуме суммарной эффективности
(5.139)
системы при условии, что для любых двух аппаратов время окончания циклов различается не менее чем на т:
]/у--^+7\-^|>т у^Г, v, 1=Тт. (5.140)
Задача (5.139), (5.140) представляет собой задачу нелинейного программирования. Аналогичная ситуация возникает и при работе аппаратов, требующих периодической регенерации, когда процесс регенерации можно проводить лишь в одном из них.
3. Работа группы аппаратов с общим временем цикла. Пусть имеется система аппаратов, для которых по условиям производства продолжительность цикла должна быть одинакова. Будем считать, что известна зависимость продуктивности
р^{Т^) каждого аппарата от длительности его работы и зависимость продуктивности всей системы от функций р„ т. е.
Рс(Т}=рс(р1(Т),р2(Т),...,Рпг(Т)).
Значение общего времени цикла выбирают из условия 1=рс(Т)/Т —> тах,
что, как легко видеть, приводит к уравнению
у др^_1_с1р^\ _рс(Т*) ^ др^ [ <1Т ]т' • г*
Согласование работы периодических и непрерывно действующих аппаратов. При наличии в одной технологической схеме периодических аппаратов и аппаратов непрерывного действия возникает задача согласования их работы таким образом, чтобы минимизировать объемы буферных емкостей и в минимальной степени нарушить режим аппаратов непрерывного действия при изменении производительности периодических аппаратов.
1. Работа нескольких периодических аппаратов на общую-сеть. Пусть имеется несколько аппаратов периодического действия, работающих на общую сеть. Производительность каждого из них меняется по определенному закону ^(1—т,), в котором Т(—время сдвига начала цикла 1-го аппарата по отношению к началу цикла нулевого аппарата, так что То=0. Будем полагать, что найден общий "период Т для всех аппаратов, а функции ^ дифференцируемы. Требуется так выбрать сдвиги т;, чтобы расход в общей магистрали оказался возможно ближе к среднему значению. В качестве оценки для пульсации
N
суммарного расхода р(1, т)=2^(<—т,) примем величину
1—0
т
I = Г (р (1, т) — М)^! ——> тш. (5.142^ 5
Очевидно, что средний расход М не зависит от вектора сдвигов т и может быть найден как
N Т
^=2— [ /,(0^. —о а
Условия оптимальности функционала (5.142) по т имеют вид:-д1 - . ..
=0; <=1, N. д%[
или иначе
Здесь учтено, что /)=2^, а значит-^- =—.^(^—т,). Но инте-
<Ы 1 ^* <Л 1_/А1С1 Т. ГА 1 »
»=0 йт;
грал от производной периодической функции, вычисленный за период Т, равен нулю, и уравнения (5.143) примут вид:
=0; I = ГГ/У
(5.144)
| Л(<-т,)^М<-т^=0; ^ГТ/У:
5 / у-о
Из суммы (5.144) можно исключить 1-тое слагаемое, так как
Т Т 1
^
"" 2 ^ й1
о о
Условия оптимальности примут форму N нелинейных уравне
нии
т n __
1 М< - ^) ^ <у (^ - ту) Ш =0; (• = 1ТЛГ
Ц1 у=.0, У^1
относительно Л^ неизвестных Ть Т2, ...,т^.
2. Согласование работы периодического и непрерывно действующего аппарата с промежуточной емкостью. Рассмотрим участок технологической схемы, состоящий из аппарата непрерывного действия, расход из которого равен м(0, аппарата периодического действия, расход в который задан и равен р(1), и промежуточной емкости V0. Требуется так выбрать закон изменения и(1), чтобы изменения среднего времени пребывания продукта в аппарате непрерывного действия были минимальны.
Обозначим через Р(1) рабочий объем аппарата непрерывно-то действия, а через Р° — номинальное значение этого объема, соответствующее заданному времени пребывания 9. Расход на входе в аппарат непрерывного действия будем считать постоянным и равным <7:
т
9=у|р(0^. о
Поскольку Р(^)=<7.9(0, минимальным отклонениям 9 соответствуют минимальные отклонения Р от Р°, и в качестве критерия оптимальности можно принять величину
т I = { (р (() — ро)^( ——> гош. ^ (5.145)
Связи и ограничения, наложенные на переменные задачи, имеют вид:
Р=д—и(1); (5.146У
у=и({)—р(1); я>0; (5.147) ^(0>0; 0<У(<)<У°. (5.148)
Задачу можно упростить, воспользовавшись тем, что закон изменения рабочего объема аппарата непрерывного действия и емкости известен с точностью до константы. Обозначая через. у сумму Р+У, получим:
у=Р+У=д-р(()=^р(^.
Правая часть этого уравнения — заданная периодическая функция. Поэтому
I
у (0 = У» + Г Ар (т) йт = у„ + у(0.
где у(1) известна.
Функционал (5.145) перепишется в виде
т I = Г [Уо + У (0 - V (0 - Л2 Л ——> пип. (5.149>
о]
Расширим множество допустимых решений задачи, отбросив связь в форме дифференциального уравнения (5.147) и считая У(1) управлением, а уо—искомым параметром. Условия минимума / по уо
I
д1
ду» ^
можно переписать в форме т
-^-с(у(о-^))^=р'. (5.150> о
Таким образом, начальное значение суммарного объема уо. надо выбрать так, чтобы среднее за цикл значение рабочего объема аппарата непрерывного действия равнялось его номинальному значению. Из условия (5.150) имеем:
т т ^/^>=Р^>--^-\^(^)Л+—{V(^}Л. (5.151>
/тч 1 У V / 1 гр
О
Условия минимума (5.149) по У(1) приводят к неравенству (Уо+у—^—У^У^О (5.152)
где 6У—допустимая по ограничениям (5.148) вариация У(1). Из неравенства (5.152) следует: '
^ (/. Уо) ^о-ЖО—^ при 0<У<У°;
УЧ1,Уо)=У° при уо+у—Р'>>У°; (5.153):
У'({,Уа)-0 при уо+у—Р°<0.
Совместное решение уравнений (5.153) и (5.151) позволяет найти "г/о, У(1), а затем определить и(1) из уравнения (5.147). Определение законов оптимального управления периодическими . процессами. Покажем «а примере оптимального управления ;;
процессом биосинтеза использование приемов, о которых говорилось в разд. 5.6. В процессе биосинтеза основным управляющим воздействием часто является величина и состав подпитки, подаваемой в аппарат. Продолжительность процесса Т будем полагать заданной, а искомыми величинами будут режимные переменные и(() (температура, рН и др.) и расход питательного субстрата и для подпитки аппарата.
Задача оптимального управления запишется в форме т
I == \ гхр(х, 8, и)сИ ——> шах, (5.154) о х=ху.(х, я, и)—ух/г, (5.155)
5=—хг\ (х, 5, и) +о (во—^)/г, (5.156)' 2=г». (5.157)
Здесь г—рабочий объем аппарата; х, 8—концентрация биомассы и субстрата в аппарате; 5о—концентрация субстрата в подпитке. Подынтегральное выражение в уравнении (5.154) определяет скорость накопления полезного продукта; [а—удельная скорость роста биомассы; г\ — удельная скорость потребления субстрата,
Продемонстрируем последовательность использования метода трансформации пространства состояний.
1-й шаг. Перейдем к новым переменным у\(х, г, з) и г/г(х, г., а), скорость изменения которых не зависит от v. Условие независимости для каждой из этих переменных имеет вид:
^^+^^+-^-=0; .=1.2. (5.158) дх г да ;г дг
Уравнению (5.158) соответствует система обыкновенных дифференциальных уравнений
—^йл^--2—^^?. (5.159) х $о — я
Решение которой имеет два независимых первых интеграла Сг(х, г, з) и Сг(х, г, з). Решением (5.159) является любая дифференцируемая функция от С1 и Сч. Проще всего принять у^ =С1 и г/2=С2, где с\ и Сг—первые интегралы уравнений
_ их ^ рг ф с1г х г ' 8ц — а ~ г Отсюда
У1=С1(х,г)=1/хг; уг=с^!;, 2)=1/(яо—5)г.
2-й шаг. Заменяем в задаче (5.154) — (5.157) х у. з через х=—\1у\г и з=8о—\1учг. Расширяя задачу путем отбрасывания
уравнения для г, получим преобразованную задачу:
(5.160) У\У
(6.161)
Уэ.
в которой управлениями являются г и и. Эта задача намного проще исходной. Если изменением расхода подпитки удастся реализовать оптимальный закон г* (1), то решение этой задачи является оптимальным и в исходной постановке; в противном случае оно дает оценку сверху функционала /.
Дальнейшее упрощение задачи управления периодическим процессом может быть достигнуто, если можно априори доказать, что в правой части одного из дифференциальных уравнений (5.160) или (5.161) знак не меняется. В этом случае число дифференциальных уравнений можно уменьшить на единицу. Покажем это на примере управления процессом биосинтеза пенициллина.
Кинетику процесса характеризуют моделью следующего вида:
Здесь х — концентрация биомассы; 5 — концентрация питательного субстрата; р — концентрация продуктов жизнедеятельности микроорганизмов (продуктов метаболизма).
Критерием оптимальности является продолжительность процесса ^, которую нужно минимизировать при условии, что
Х(1)=Х; 5(?)=5.
В процессе биосинтеза концентрация питательного субстрата заведомо уменьшается, поэтому ее можно принять в качестве нового аргумента. Получим
йа.
Уравнения связей в модифицированной задаче имеют вид:
Критерий оптимальности
тт.
Управлениями в этой задаче являются условия проведения процесса: (температура, кислотность среды и т. п.), от которых зависят коэффициенты Ъ.\—Ае.
Оценка вместимости промежуточной емкости-накопителя между аппаратами непрерывного и периодического действия; управление расходом. Рассмотрим технологическую схему, состоящую из периодически действующего аппарата, расход из которого /?(/) представляет собой заданную периодическую функцию с периодом Т; непрерывного аппарата, расход в который и(1) можно изменять в заданных пределах от ы+ до и~;
промежуточной емкости-накопителя объемом Ук- Величину Ук будем называть конструктивным объемом емкости (рис. 5.15,6).
Задачу анализа и оптимизации такой схемы можно поставить различным образом.
А. Найти такой минимальный объем Ук, при котором расход в аппарат непрерывного действия мог бы не изменяться во времени.
Б. Определить, какой минимальный объем Т/к необходима чтобы схема была работоспособна при изменениях и(1) в заданных границах; такая постановка предполагает и расчет
Рис. 5.15. Схемы последовательного соединения аппаратов периодического (/) и непрерывного (2) действия с промежуточной емкостью:
а—при оптимизации среднего времени пребывания; б—при оптимизации У„
Рис. 5.16. Изменение расчетного объема и при о(0)=0 и определение по графику этой функции оптимального значения у(0) и минимального значения V,;
Рис. 5.17. График расхода из периодического аппарата р(<) и оценка необходимого объема Ук"""
оптимального закона изменения и*{1), для которого потребный объем накопителя минимален.
Для формулировки задачи обозначим через о(<) текущий объем продукта в емкости; через р и и — средние за цикл значения расходов на входе в емкость и выходе из нее.
Очевидно, текущий объем продукта изменяется в соответствии с уравнением
у=р—и. (5.162)
Начальное значение этого объема и(0) подлежит оптимальному выбору, однако ввиду периодичности процесса у(Т)=у[0), что приводит к равенству средних значений расходов р -я и:
т т т
\ у(и = С рМ — [ и.(11 = Т {р—~и) = 0. (5.163)
о о 'о
Рассмотрим задачу А, в которой расход и предполагается постоянным, а в силу (5.163) этот расход должен быть равен р. Выбору в этой задаче подлежит только значение и(0), так как правая часть уравнения (5.162) оказалась заданной. Чтобы найти минимальное требуемое значение конструктивного объема, можно поступить следующим образом. Сначала задать произвольное значение и(0), например принять о(0)=0ипо уравнению (5.162) построить закон изменения рабочего объема
во времени и(1) (рис. 5.16). Затем необходимо выбрать величину о(0) так, чтобы для любого 1 реальный закон изменения объема продукта в емкости
ч(0=о(0)+^°(0
был неотрицателен, а его максимальное значение оказалось возможно меньше. Ясно, что и(0) должно быть таким, чтобы
о с
в точках минимума и(<) сумма у{1)+у(0) оказалась равной
нулю (откуда о(0)=—Птш), а требуемая для постоянства и величина промежуточной емкости должна быть не меньше суммы максимальной ординаты функции v и величины и(0), т. е. не меньше, чем «размах» функции и (^):
0 о
Ук= тах и(Л— гшп уЯ). ^Ю.т] /еСО.Л
Когда расход и(1) изменяется в заданных пределах, можно первоначально, до решения задачи Б, оценить минимальную величину емкости Ук"11", которая заведомо необходима для согласованной работы аппаратов. Для такой оценки достаточно иметь функцию р(1), ее среднее значение и и пределы изменения и+ и и~. Если окажется, что .конструктивный объем Ук меньше, чем максимальная из площадей Рк, заштрихованных на рис. 5.17, никакой выбор расхода и(1) и начального объема и(0) не обеспечит согласованной работы аппаратов. Действительно, если максимальная из площадей Рк оказалась выше линии и*, то при самых благоприятных условиях, когда в момент ^+ (см. рис. 5.17) емкость пуста, в момент ^+ она должна содержать объем продукта, равный площади Рк. Если же максимальная из площадей оказалась ниже линии и", то в момент выхода ^~ из зоны допустимых значений и емкость должна быть заполнена не менее чем до Рк, иначе в некоторый момент рабочий объем окажется отрицательным (расход в аппарат непрерывного действия будет меньше, чем и~). При такой оценке отбрасывали условия неотрицательности объема во все остальные моменты времени, снимая таким образом ограничения в задаче. В результате найденная оценка заведомо не превосходит минимального объема, который нужно определить в задаче Б, а может оказаться и существенно меньше.
Чтобы решить задачу Б, можно воспользоваться тем обстоятельством, что минимизации конструктивного объема Ук соответствует минимальный размах функции и(1), т. е. при правильном выборе закона изменения и(1) функция у(1) должна быть возможно ближе к константе, а ее производная — возможно ближе к нулю. Потребуем, чтобы функционал
т т I = Г (У)"^ = С (р — и^сЧ, (5.164)
и »/
О О
в котором п — некоторое четное положительное число, был как можно меньше при условиях
т ——Ги(<)<Й=р; ц-<и^и+. (5.165)
о
Решив задачу (5.164), (5.165), можно путем выбора о(0) обеспечить неотрицательность »(/), как это было сделано при решении задачи А.
Отметим, что поставленная задача представляет собой аналог задачи распределения нагрузок между параллельными агрегатами, но аналог бесконечномерный. Изложенный ниже алгоритм полностью аналогичен алгоритму последовательного назначения предельных нагрузок (см. разд. 5.2).
1-й ш а г. Записываем функционал Лагранжа т
8 = С [(р — и)" + Щ М (5.166)
о
и решаем задачу (5.164), (5.165) без учета ограничений на предельные значения и. Условия стационарности подынтегрального выражения в функционале (5.166) по и приводят к уравнению для стационарного закона изменения расхода
Так как п и К—некоторые константы, то, обозначая Ь=(У /п)1^"-1), получим:
"о(<)=р(<)—Ь. (5.167)
Чтобы найти Ь, подставим ис(1) в условие (5.165). После интегрирования получим:
т
-^-^(1-)са=р-Ь1Т.
о
так что на первом шаге Ьо=0 и Ыс(0=р(0. Так как этот закон в общем случае не реализуем, переходим к его уточнению.
2-й шаг. Подсчитаем суммарную площадь Ыс(0, выходящую за пределы и+ (обозначим эту площадь 2+), и суммарную площадь между функцией и^(1) и линией и~ (обозначим ее 2-). Сравним их по модулю. Если 2+>2-^, то для тех моментов времени, для которых ис>и+, выбираем оптимальный закон изменения расхода и*(^}=ил•. Если 2+<2-, то для тех моментов времени, для которых ис(1)<.и~, выбираем и*(1)=и~. Обозначим через и общую длину тех отрезков времени, на которых значение и*(1) найдено, а через О—множество тех моментов времени, которые не входят в И. Общая продолжительность интервалов, на которых надо доопределить и(1), равна Т—О.
3-й шаг. Пересчитаем величину Ь в формуле (5.167) из условия (5.165), которое с учетом назначенных на и значений и(1) примет вид:
м+0 + Г р (О М - Ь (Т - О) =~рТ, если ^ > ^_ ;
"в
и-й+\р(1)(И-Ь(Т-0)=~рТ, если ^+<2--я
Найдя Ь=Ь[, подставим это значение в (5.167). Получим уточненный закон изменения стационарного управления для всех ^е=0.
4-й шаг. Вновь подсчитаем суммарные площади 2+ и 2-, но теперь стационарное управление определяем по -формулам
«с (0 = р (0 - у—ц [ "+0 + Г Р (0 ^ -Р7' \ если 2+ > 2-' и"
"с(0=р(0-у——д["-Й-[р(0^-)^, если^<^_.
п" Интегрирование проводим только на множестве О, так что
^ = Г (яс со - м+)^; ^_ = С (к- - «с (0)+ск.
а" и
5-й шаг. Сравним 2+ и 2- и в зависимости от того, модуль какой из площадей больше, назначим на соответствующих отрезках времени оптимальное управление, равное и^ или и~. Из интервала (О, Т) исключим множество Й1, пересчитаем константу Ь, Нс, 2+, 2- для оставшегося интервала и т. д.
После каждого цикла интервал неопределенности уменьшается на величину и,. Решение получено, если на очередном шаге Ыс(0 окажется допустимым по ограничениям на предельный расход, а также если на очередном шаге с заданной степенью точности окажется выполненным равенство между 2+ и 2_. В этом последнем случае оптимальное управление и* (0 равно Ыс(^)для тех значений /, при которых Ыс(0 удовлетворяет ограничениям. Для тех 1, при которых Нс>и+, ы*==ы+, и для тех моментов времени, при которых и.с<и~, оптимальное управление и*=и~.
Найденный закон изменения и* (1} соответствует наиболее «плавной» функции и(1), причем он один и тот же при любом значении п в функционале (5.164). Чтобы найти соответствующий и* конструктивный объем, подставим и* (1) в уравнение (5.162), проинтегрируем полученную функцию при и==и* и, подобно тому, как это было сделано для постоянного расхода, определим и(0) и Ук (см. рис. 5.15).