6. Анализ характеристик вычислительных систем на основе имитационной модели.

3.2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ВС

При имитационном моделировании можно измерять значения любых

характеристик.

Для всей ВС подсчитываются поступившие в систему заявки, полностью обслуженные, необслуженные по каким-то причинам. Соотношение этих величин характеризуют производительность ВС по определенной рабочей нагрузке.

По каждому потоку определяются времена реакции и ожидания, количества потерянных и обслуженных заявок.

По каждому устройству определяются время загрузки, число обслуженных заявок, время простоя в результате отказов, длины очередей и занимаемые емкости памяти.

При статистическом моделировании большая часть характеристик - это случайные величины. По каждой такой характеристике У определяется N значений, по которым строится гистограмма относительных частот, вычисляются математические ожидания (М), дисперсии (D), определяются средние по времени и максимальные значения.

3.2.1. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАГРУЗКИ УСТРОЙСТВ

Коэффициенты загрузки устройств вычисляются как

(3.6)

где υ_k- ср. время обслуживания одной заявки к-устройством;

N_ok - количество обслуженных им заявок за время Тм.

3.2.2. РАСЧЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ ВЫХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В случае анализа стационарного процесса вычисление М и D характеристики Y производится усреднением не по времени, а по множеству N значений, измеренных по одной реализации процесса достаточной продолжительности.

В целях экономии памяти ПЭВМ, на которой производится моделирование, М и D вычисляются в ходе моделирования путем наращивания итогов при появлении очередного измерения случайной характеристики по рекуррентным формулам.

Математическое ожидание случайной величины у для ее n-измерения уn:

(3.7) где m_(n-1) - математическое ожидание по предыдущим (n-1) измерениям:

(3.8)

Начальная dO = 0.

3.2.3. РАСЧЕТ СРЕДНЕГО ПО ВРЕМЕНИ ЗНАЧЕНИЯ ВЫХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

При моделировании постоянно ведется подсчет длины очереди к каждому устройству и занимаемой емкости накопителя.

(3.9)

где i - номер очередного изменения состояния в очереди

N - количество изменений;

τ - интервал времени (i-l,i);

l_i. - число заявок в очереди в интервале i;

Рис. 3.4.

Средняя по времени используемая емкость накопителя:

(3,10)

где qi - емкость накопителя, занятая в интервале времени между двумя последовательными .обращениями к накопителю.

3.2.4. ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ

Основное достоинство имитационного моделирования - по любой выходной характеристике может быть построена гистограмма относительных частот, т.е. эмпирическая плотность распределения вероятностей, вне зависимости от сочетаний распределения параметров системы и внешних воздействий. При исследовании стационарной системы гистограмма строится по следующей методике.

Перед началом задаются границы изменения характеристики У (у_H ,у_B), указывается число интервалов гистограммы N_g,и вычисляется интервал

(3.11) Затем определяется число попаданий измеряемой случайной величины в i-интервал гистограммы Ri и подсчитывается общее число измерений N. По полученным данным вычисляется относительная частота по каждому интервалу:

(3.12)

что является достаточным для построения гистограммы относительных частот.

Рис. 3.5. P.S. Площадь гистограммы относительных частот =1, и интеграл от плотностивероятности в пределах (-8, +8)=1, т.е.

т.е. общее число измерений характеристики у равно сумме чисел попаданий в каждый из интервалов.

При необходимости выдвигается гипотеза о том, что полученное эмпирическое распределение согласуется с некоторым теоретическим, имеющим аналитическое выражение для функции или плотности распределения. Далее она проверяется по приемлемому критерию согласия.

3.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Для систем с таким процессом функционирования нельзя вычислять вероятностные характеристики по одной реализации процесса. В таком случае случайный процесс Y(t) представляется ансамблем реализаций и его характеристики определяются усредненными по ансамблю.

Пусть случайный процесс Y(t) задан ансамблем реализаций {У_i.(t)} 0=1,2,...), а интересующая вероятностная характеристика Θ[У(t)] определяется предельным соотношением:

где а - оператор преобразования, лежащий в основе определения ха­рактеристики Θ ;

Ni - количество реализаций, по которым осуществляется усреднение. Тогда при усреднении

3.3.1. АЛГОРИТМ ПОВТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Проводится Ni имитационных экспериментов. При каждом последующем эксперименте параметры системы и нагрузки устанавливаются на исходные значения и в процессе каждого эксперимента остаются неизменными или изменяются по одним и тем же зависимостям.

Датчики случайных чисел устанавливаются в начальное состояние только однажды - перед моделированием и до конца моделирования вырабатываются последовательности случайных чисел.

Период моделирования Т по каждому эксперименту разделяется на Nг сечений. Интервал времени моделирования между двумя сечениями называется прогоном. В каждом эксперименте для фиксированных моментов (r= 1,2,...,Nr) определяются численные значения выходных характеристик. По каждому i-сечению для всех выходных характеристик может определится многомерная функция или плотность распределения, оцениваются mу(tr),Dy(tr) по всей совокупности Ni реализации.

Реализация нестационарного случайного процесса показана на ■

Рис. 3.6. Реализации нестационарного случайного процесса

Для обеспечения достоверности необходимо проведение повторных экспериментов (10²-10⁴) с последующей обработкой вектора выходных характеристик по нескольким десяткам сечений.

Расчет характеристикпо методу повторных экспериментов.

Математическое ожидание случайного процесса Y(t) - это неслучайная функция my(t), которая при каждом значении аргумента tr представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции:

Примоделировании вычисления результатов производятся в конце каждого прогона путем наращивания итогов. В частности, количественные вероятностные значения таких выходных характеристик, как длины очередей к каждому устройству, времена реакции по каждому потоку заявок и времена загрузки каждого устройства, определяются по r-му сечению для i-го эксперимента по следующим формулам.

Оценка математического ожидания длины очереди к устройству:

где

[L.i-1] - математическое ожидание за предыдущие (i-1) экспериментов;

L_i - длина очереди по г-му сечению для i-гo эксперимента.

,

где D[L_i-1]- дисперсия за предыдущие (i-1) экспериментов.

По временам реакции и загрузки при достаточно большом количестве сечений, когда процесс можно считать стационарным на протяжении одного прогона, текущие значения математических ожиданий и дисперсии вычисляются по формулам как для стационарных процессов.

В специальной литературе приводятся формулы расчета математического ожидания времени загрузки каждого устройства при обслуживании одной заявки, дисперсии времени загрузки каждого устройства на r-м прогоне, оценки математического ожидания и дисперсии времени реакции по каждому потоку в r-м сечении i-ro эксперимента [1,5].

27