4. Анализ характеристик вычислительных систем как смо.

1.3. АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК СМО

В теории массового обслуживания приняты сокращенные обозначения, в основе которых лежит трехбуквенное обозначение вида A/В/т, где А и В описывают соответственно законы распределения промежутков времени между последовательно поступающими заявками и распределение времени их обслуживания, а величина т - число обслуживающих приборов. А и В принимают значения из следующего набора символов:

М - показательное распределение;

Е_г - распределение Эрланга порядка г;

D - детерминированное распределение ;

G - распределение общего вида.

Иногда приходится указывать также емкость накопителя системы (которую обозначим через -К) или число источников нагрузки (которое обозначим через М). В таком случае будет использоваться пятибуквенное обозначение: А/Вт/К/М.

В случае отсутствия одного из последних индексов предполагается, что его значения сколь угодно велико.

Например, запись вида D/M/2/20 означает систему с двумя обслуживающими приборами, постоянным (детерминированным) временем между двумя последовательно поступающими заявками, показательным распределением длительности обслуживания и накопителем емкостью 20 заявок.

1.3.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СМО ТИПА М/М/1

Система М/М/1 является простейшей. Она представляет собой классический пример, для рассмотрения которого требуется лишь элементарный математический аппарат. Хотя метод рассмотрения системы СМО прост, поведение ее во многих отношениях подобно поведению более сложных СМО.

СМО М/М/1 представляет собой систему с одним обслуживающим прибором, пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным распре­делением длительности обслуживания. Таким образом, в такой системе полностью известны распределения вероятностей A{t) промежутков времени между последовательными требованиями и распределение вероятностей B(t) времени обслуживания. Предположим, что дисциплина обслуживания бесприоритетная, в порядке поступления (FIFO - First Input First Output). Рассматриваемая система может быть представлена, как показано на рис. 1.9.

СМО может работать в двух режимах:

1. в стационарном

2. в нестационарном.

При работе в стационарном режиме вероятностные характеристики функционирования системы не зависят от времени. Необходимым условием существования стационарного режима одноканальной СМО является условие λ < μ , т.е. интенсивность поступления заявок должна быть меньше интенсивности их обслуживания.

Рассмотрим процесс размножения и гибели, в котором все интенсивности размножения полагаются постоянными и равными λ_к = λ, для k ≥ 0 и все интенсивности гибели полагаются постоянными и равными μ_к. = μ при k ≥ 1. Этот процесс размножения и гибели с постоянными коэффициентами представляет собой систему типа М/М/1. В этом случае средняя длина промежутка между соседними требованиями равна t= 1/λ и среднее время обслуживания равно υ =1/μ ; это следует из того, что обе случайные величины t и υ распределены по экспоненциальному закону. Таким образом можно записать:

На рис. 1.10. приведен граф переходов состояний для СМО типа М/М/1, методика формирования которого аналогична построению графа состояний модели размножения и гибели, приведенному в 1.2.1.

Рис. 1.10. Граф состояний СМО типа М/М/1

Из общего уравнения (21) найдем дифференциально-разностные уравнения, соответствующие данному случаю:

(29)

Таким образом, уравнения (29) представляют собой математическую модель одноканальной СМО типа М/М/1, когда поток и обслуживание являются соответственно пуасоновским и экспоненциальным.

Решением системы дифференциальных уравнений (29) явлются функции Р_к(t)

Для стационарного режима согласно уравнениям (29) имеем следующую систему алгебраических уравнений.

(30) с условием, что

Решая последовательно уравнения системы (30) при к = 0, к = 1 и т.д.

получаем:

при (31)

при к = 1

(32)

Вид равенств (31) и(32) подсказывает, что общее решение системы уравнений (30) нужно искать в виде

(33)

Для того, чтобы найти Р₀ , подставим выражение (33) в условие нормировки (30)

Для системы, работающей в стационарном режиме, т.е.λ/μ, получим,

что сумма в последнем выражении представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем λ/μ,

Тогда

(34) Подставляя (27) в (26) получим

(35)

Величина ρ= λ/μ, при 0 < ρ < 1 называется загрузкой системы и является основной характеристикой СМО. Согласно (35), распределение вероятностей имеет вид

Р_к=р^к(1-р) к =0,1,2... (36)

Это распределение называется геометрическим. Важно заметить, что псроятности Р_к зависят от X и и только через их отношение р.

На рис. 1.11. показаны значения вероятностей для рассматриваемой си­стемы, задаваемые формулой (14), в случае, когда р =1/2

Рис. 1.11. Стационарные вероятности Р_к для СМО типа М/М/1

Продолжая исследование системы М/М/1, найдем средние характеристики обслуживания для рассматриваемой системы.

Число заявок в системе определяется соотношением:

(37)

График среднего числа заявок в системе показан на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Среднее число заявок в системе М/М/1 Длина очереди заявок определяется соотношением:

(38)

Из выражения (38) следует, что число заявок в системе больше средней длины очереди на величину загрузки:

m=l+ρ

Время пребывания заявок в системе можно определить применяя формулу Литтла из выражения (37). Получаем следующие равенства для среднего времени пребывания заявок в системе.

(39)

График зависимости среднего времени пребывания заявок в системе от коэффициента загрузки р приведен на рис. 1.13.

Величина и, соответствующая точке р = 0, равна среднему значению времени обслуживания заявки. Иными словами, в этом случае требование не ожидает очереди и обслуживается в среднем 1/μ секунд.

Рис. 1.13. Среднее время пребывания заявки в системе типа М/М/1 Время ооюидания заявок в очереди также определяется из формулы Литтла: ω=l/λ

Используя выражение получаем

(40)

На рис. 1.14. приведен график зависимости времени ожидания заявок в системе от загрузки.

Рис. 1.14. Зависимость времени ожидания от загрузки

Из графика видно, что время ожидания растет с увеличением загрузки. При р→1,ω→∞, При малых р незначительные колебания загрузки не приводят к значительному увеличению времени ожидания, а при р→1 даже незначительные загрузки недопустимы, т.к. приводят к резким изменением времени ожидания.

1.3.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВС КАК СЛОЖНОЙ СМО

1. Многомерный поток. На вход СМО поступает многомерный поток заявок типов 1,2, ..., М с интенсивностями λ₁, λ₂,.. λ._м . Пусть каждый будет простейшим. Загрузка прибора потоком i-типа будет

υ_i - ср. длительность обслуживания заявок типа i

Условие существования стационарного режима: р < 1 Остальные характеристики обслуживания m_i, l_i, u_i, ω_i, определяются для каждого i - потока в отдельности по формулам для системы М/М/1.

Среднее время ожидания со. и обслуживания и по одной заявке из суммарного потока в системе связаны со средними количествами заявок в оче­реди и в системе следующими соотношениями:

(41)

где- вероятность того, что поступившая заявка является заявкой i - типа;

l_ср- средняя длина очереди заявок всех типов;

m_ср - среднее число заявок всех типов систем.