Вопросы к госэкзамену моделирование (преподаватель — Бершадская е.Г.)

1. Аналитическое моделирование. Элементы теории массового обслуживания. Параметры и характеристики смо.

1.АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Исследование ВС предполагает построение математических моделей, отображающих, в зависимости от их назначения, структуру и процессы функционирования.

Для современных вычислительных машин и систем характерна работа в режиме решения потока случайных по своим характеристикам задач, по­ступающих, в общем случае, в случайные моменты времени.

Анализ ВС с учетом вероятностного характера протекающих в них процессов возможен методами теории массового обслуживания (МО).

Предмет теории МО - системы массового обслуживания (СМО) и сети МО. Под СМО понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы.

Рассмотрим схему СМО (рис1.1).

Рис. 1.1 Структура СМО

Поступающие на вход СМО однородные заявки (однородное обслу­живание) в зависимости от порождающей их причины делятся на типы, интенсивность потока заявок типа. Первопричина заявок - называется источником заявок, а совокупность заявок всех типов - входящим потоком CMО.

Обслуживание заявок выполняется совокупностью m, в общем случае, разнотипных каналов, (или приборов обслуживания). Различают универсаль­ные и специализированные каналы обслуживания. Для универсального ка­нала типа j считаются известными функции распределения F_ji(τ) длительно­сти обслуживания данным каналом j заявок произвольного типа

Для специализированного канала функции распределения длительности об­служивания заявок являются неопределенными, назначение заявок этих ти­пов на данный канал недопустимо. Принимаем к рассмотрению универсальные однотипные каналы обслуживания, Принимаем к рассмотрению универсальные однотипные каналы обслуживания. В произвольный момент времени канал занят обслужива­нием только одной заявки, допускается прерывание начатого обслуживания.

Если в момент появления заявки на входе СМО есть свободный канал, ее обслуживание начинается немедленно. Если СМО загружена, т.е. каналы заняты, заявка занимает место в очереди. На число мест в очереди может быть наложено ограничение. При этом возможны конфликтные ситуации, решением которых может быть либо отказ системы принять заявку, либо принятие заявки в систему за счет выталкивания из очереди другой, менее ценной в данный момент времени заявки.

В зависимости от числа мест в очереди различают СМО с отказами и без отказов. В СМО с отказами число мест в очереди конечно и, вследствие вероятностного характера как входящего потока, так и процессов обслужи­вания, существует ненулевая (≠0)вероятность того, что все каналы заняты обслуживанием и заняты все места в очереди заявками, т.е. заявка получит отказ. В СМО без отказов заявка либо сразу назначается на обслуживание, либо безусловно принимается в очередь.

В зависимости от допустимого времени пребывания заявок в системе различают СМО с "нетерпеливыми" и "терпеливыми" заявками. Первая может уйти из очереди и из системы, если ее τ превысит некоторое τ _доп , которое в общем случае случайно и характеризуется некоторым распределением. Терпеливая заявка, попав в СМО, дождется конца обслуживания. Процесс продвижения заявок в СМО осуществляется по некоторому закону управления процессами в СМО, который задается дисциплинами ожидания и обслуживания.

Дисциплина ожидания определяет порядок приема заявок в систему и размещения их в очереди, а дисциплина обслуживания - порядок выбора за­явок из очереди для назначения на обслуживание.

Различают СМО с безприоритетными и приоритетными дисциплинами. В безприоритетных все заявки считаются равноправными, в приоритетных одни типы заявок имеют более высокий приоритет (более важны с точ­ки зрения критерия эффективности).

Совокупность обслуженных и потерянных (не обслуженных и недообслуженных) заявок образуют выходящий поток СМО.

В зависимости от структуры выходящего потока различают СМО без потерь ("чистые" СМО) и СМО с потерями ("смешанные"). Для чистых нет ограничений на число мест в очереди и на время пребывания заявки в системе.

К таковым можно также относить СМО с неограниченной пропускной способностью, т. е. в которых число каналов принимается бесконечно большим. При таком допущении условия обслуживания заявок в смысле удовлетворения их запросов становятся идеальными, т. к. они не получают отказов на обслуживание и им нет необходимости становиться в очередь, поскольку всегда есть свободные приборы и первая характеристика теряет смысл.

В зависимости от характера источника заявок различают разомкну­тые и замкнутые СМО. В разомкнутых СМО число заявок неограниченно, поведение источника заявок не связано с состоянием СМО ни в данный, ни в какой-либо из предыдущих моментов времени. Для замкнутых СМО харак­терно конечное число заявок, циркулирующих в системе "источник-СМО". Обслуженные заявки возвращаются в источник и через некоторое случайное время могут вновь появиться на входе СМО. Поведение источника в замкнутых СМО является некоторой функцией состояния СМО.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные. По типу потока заявок, поступающих в СМО, различают системы с однородным потоком, когда в СМО поступает один поток заявок, и системы с неоднородным потоком, когда поступает М потоков заявок (М>1), характеризующихся разными временами обслуживания. Соответ­ственно формируется одна или несколько очередей.

Заявка на решение некоторой задачи, поступающая в ВС. проходит последовательно этапы счета, обращения к внешним устройствам. После выполнения последовательности этапов заявка считается обслуженной и покидает ВС. Таким образом, ВС можно представить как совокупность СМО. Совокупность взаимосвязанных СМО называется сетью массового обслуживания (стохастической сетью).

1.1.1. ПАРАМЕТРЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СМО

Первичные свойства СМО, их количественные оценки называются параметрами СМО. Остальные, относящиеся к вторичным, их количествен­ные оценки называются характеристиками СМО. СМО можно характери­зовать следующей совокупностью параметров и характеристик: параметрами входящего потока заявок; параметрами структуры СМО; параметрами закона управления процессами в СМО и следующими характеристиками СМО.

Введем обозначения и дадим определения основных характеристик качества функционирования СМО [1].

Загрузка системы - это отношение интенсивности поступления заявок λ к интенсивности обслуживания μ:

(1)

Заменив μ величиной 1/υ, получим

(2)

где υ - средняя длительность обслуживания единой заявки.

Значение загрузки ρ < 1 определяет условие существования стационарного режима работы системы. Если ρ > 1, т.е. интенсивность поступления заявок превышает интенсивность их обслуживания, то система работает в режиме перегрузок. Случай ρ =1 является нетривиальным и требует всякий раз особого рассмотрения. В дальнейшем будет всегда предполагать существование стационарного режима. Раскроем физический смысл загрузки. Загрузка характеризует:

1. среднее число заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки;

2. долю времени, в течение которого обслуживающий прибор занят обслуживанием заявок;

3. вероятность того, что в произвольный момент времени обслуживающий прибор работает (не простаивает).

Первое утверждение вытекает непосредственно из определения загруз­ки, а справедливость второго утверждения можно доказать простыми рас­суждениями. Пусть рассматриваемая система функционирует в течение дос­таточно большого периода времени Т. Среднее число заявок λT, поступив­ших в систему за это время будут обслуживаться в среднем в течение времени λTυ.

Тогда доля времени, в течение которого система была занята обслуживанием заявок. Третье утверждение непосредственно вытекает из второго. Заметим, что второе и третье утверждение справедливы лишь в случае, когда ρ < 1. Значение η = 1 - ρ определяет вероятность простоя системы и называется коэффициентом простоя.

Наиболее полной характеристикой, на основе которой могут быть рассчитаны все остальные характеристики, является вероятность состояния системы. Под состоянием системы будем понимать число заявок, находящихся в системе, которое складывается из числа заявок в очереди и на обслуживании. Вероятность состояния Р_κ есть вероятность того, что в системе находится ровно κ заявок (κ = 0,1,2,...).

Качество функционирования системы определяется временем пребыва­ния заявок в системе, равным промежутку времени от момента поступления заявки в систему до момента окончания её обслуживания.

Время пребывания и складывается из времени ожидания ω, когда заявка находиться в очереди, и времени обслуживания υ.

(3)

В общем случае время ожидания ω является суммой двух составляющих:

(4)

где ω^H - промежуток времени от момента поступления заявки в систему до момента, когда заявка в первый раз принимается на обслуживание,

ωⁿ - время ожидания в прерванном состоянии, связанное с прерыванием обслуживания рассматриваемой заявки и ожиданием дальнейшего обслуживания.

Если обслуживание заявки не прерывается, то

Число заявок в системе m связано с временем пребывания заявок в системе и

зависимостью

(5)

Это выражение становится очевидным, если учесть, что за время и в среднем поступает λ_u заявок. Выражение (5) называется формулой Литтла [1].

Очевидно, что число заявок в системе складывается из числа заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, и числа заявок, находящихся на обслуживании в приборе.

Для системы с неограниченной очередью среднее время ожидания со связано со средним числом заявок в очереди

(6)

то есть за промежуток времени от момента поступления заявок до момента принятия ее на обслуживание (за время ожидания ω) в систему в среднем поступает λω заявок. Если теперь в выражение (5) подставить (3) и (6), получим:

Таким образом, среднеечисло заявок в системе больше средней длины очереди заявок на величину загрузки ρ, которая в данном случае имеет смысл среднего числа заявок, находящихся на обслуживании.

На рис. 1.2. приведена временная диаграмма работы СМО, позволяющая визуально проследить динамику системы и выделить детали исследуемых

вероятностных процессов. Диаграмма дана для обслуживания в порядке поступления и соответствует случаю одного обслуживающего прибора. На диаграмме нижняя ось времени соответствует очереди, а верхняя - прибору обслуживания. Входящие снизу стрелки (как для оси очереди, так и для оси обслуживания указывают на поступление заявки. Стрелки, выходящие сверху, обозначают уход требования из очереди.

На диаграмме приняты следующие обозначения:

Из рис. 1.2. видно, что заявка Z_n+1 поступила в очередь на обслуживание раньше чем заявка Z_n освободила обслуживающий прибор. Так как заявка Z_n+1 может быть обслужена только лишь после того, как заявка Z_n освободит прибор, то в системе происходят одновременно два события: завершается обслуживание заявки Z_n и Z_n+1 поступает в обслуживающий прибор. Другой пример дает заявка Z_n+2, которая, приходя в систему, застает обслуживающий прибор свободным и обслуживание этой заявки начинается немедленно. На диаграмме видно также время ожидания и время пребывания заявки Z_n в системе (заметим, что ω_n+2 =0).

В нестационарном режиме вероятностные характеристики меняются со временем, причем не стационарность может быть связана с двумя факторами:

а) с началом работы системы, когда характеристики функционирования,меняясь со временем, стремятся в пределе к характеристикам стационарногорежима; такой режим называется переходным режимом работы системы и длитсяот момента начала работы системы до момента входа в стационарный режим;

б) с перегрузкой системы, когда характеристики функционирования,меняясь со временем, растут неограниченно; такой режим называется режимом перегрузок. Условие его существования λ > μ.

Основными характеристиками, определяющими качество функционирования СМО, являются:

1. загрузка системы;

2. вероятность состояния системы;

3. число заявок находящихся в системе;

4. длина очереди заявок;

5. время пребывания заявок в системе;

6. время ожидания заявок.