2. Системы потоков. Потоки заявок в смо. Простейший поток и его свойства.

1.1.2. СИСТЕМЫ ПОТОКОВ. ПОТОКИ ЗАЯВОК

Совокупность событий, распределенных во времени, называется потоком. Если событие заключается в появлении заявок, имеем поток заявок. Описан он может как неубывающий случайный процесс Z(t), принимающий значения 0, 1, 2,...m. Процесс Z(t) есть число заявок, поступивших за промежуток времени (0,t).

Пусть t₁, t₁... - моменты поступления заявок (0≤ t₁≤ t₂≤…) и τ_k ⁼ t₁-t_k-1 промежуток времени между двумя последовательными моментами поступления заявок (k-1) и k (k=1,2,; t₀=0) Поток, в котором τ_k=const для всех k ≥ 1, называется детерминированным, или регулярным. Поток, в котором τ_k представляет собой случайные величины, описываемые законом распределения, называется случайным потоком. Поток, для которого функции распределения случайных величин τ_k (k ≥ 1) одинаковы, т.е. F_k(t)=F(t), для всех k ≥ 1, называется рекуррентным потоком. Рекуррентным потоком с запаздыванием называется поток, который может быть описан с помощью двух функций распределения

Характеристикой потока заявок является его интенсивность λ, кото­рая равна среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Величи­на (обратная) определяет средний интервал времени между двумя

последовательными заявками.

Поток называется стационарным, если интенсивность и закон распределения промежутков времени между заявками не меняются во времени. В противном случае поток нестационарный.

Поток называется ординарным, если в каждый момент времени может появиться не более одной заявки. Если в каждый момент появляется более одной заявки, то имеем групповой поток заявок.

Поток заявок называется потоком без последействия, если заявки поступают независимо друг от друга, т.е. момент поступления очередной заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента.

1.1.3.ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК

Простейший поток обладает следующими свойствами:

• стацианарностью (вероятностные характеристики не зависят от времени);

• отсутствием последействия (заявки поступают в систему независимо друг от друга, и длина интервала t до момента поступления следующей заявки не зависит от того, поступила в начальный момент заявка или нет);

-ординарностью (в каждый момент времени в систему может поступить не более одной заявки).

Для простейшего потока интервалы времени между двумя последовательными заявками есть независимые случайные величины с функцией распределения F(λ)=1-e^-λτ

Распределение такого вида называется показательным (экспоненциальным) и имеет плотностъ распределения интервалов времени между заявками (рис. 1. 3)

(7)

Математическое ожидание длины интервала времени между последовательными моментами поступления заявок:

(8)

Дисперсия интервала времени между последовательными моментами поступления заявок

(9)

Определим вероятность того, что промежуток времени между соседними заявками окажется короче среднего, т.е.

(10)

Т.е. короткие интервалы более часты, чем длинные, и при простейшем потоке заявки обнаруживают тенденцию к группировке, что создает более тяжелые условия при работе системы.

Для простейшего потока число заявок, поступающих в систему за про­межуток времени t, распределено по закону Пуассона (рис.1.4):

(11)

где P(k,t) - вероятность того, что за время t в систему поступит k заявок, λ - интенсивность потока заявок.

(12)

(13)

Распределение Пуассона дискретно, в то время как распределение интервалов времени в простейшем потоке непрерывно.

Если нестационарный поток, интенсивность которого λ=λ(t), описывается законом распределения Пуассона, то такой поток называется пуассоновским, но не простейшим, поскольку не выполняется условие стационарности. Простейший поток - это стационарный пуассоновский поток.

Особенности простейшего потока

1. Сумма М независимых, ординарных, стационарных потоков заявок с интенсивностями

сходится к простейшему потоку с интенсивностью

, при условии, что все оказывают более или менее одинаково малое влияние на суммарный поток.

Простейший поток обладает устойчивостью, т.е. при сумме независимых простейших получается простейший поток.

2. Для простейшего потока характерно, что поступление заявок через короткие промежутки времени более вероятно, чем через длинные (63%), что создает более тяжелый режим работы системы.

Если реальный поток отличен от простейшего, то система будет функционировать не хуже, чем это следует из полученных оценок предельных значений характеристик качества обслуживания.

3. Интервал времени между произвольным моментом t и моментом поступления очередной заявки имеет такое же распределение, что и интервал между двумя последовательными заявками.