6.5. Модальный метод синтеза

6.5.1. Основные понятия

Метод применяется для расчета систем, работающих в режиме отработки начальных условий. При этом математическая модель объекта управления записывается в форме:

(6.41)

Требования к поведению замкнутой системы формулируются в виде условия статики (6.4):

lim y(t) = v при t с точностью

и оценок переходных процессов типа (6.5): и % % , от которых переходят к желаемому распределению корней на комплексной плоскости. Так как корни являются модальным характеристикам системы, то и метод синтеза называется “модальным”.

Структура регулятора предполагается известной, он описывается уравнением:

u = K x , (6.42)

где K - матрица неизвестных коэффициентов. Их необходимо определить таким образом, чтобы качество работы замкнутой системы, уравнения которой получают в результате подстановки (6.42) в (6.41),

(6.43)

соответствовало заданному. С этой целью записывают ее характеристическое уравнение,

. (6.44)

От заданного распределения корней переходят к желаемому характеристическому уравнению замкнутой системы:

. (6.45)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях p уравнений (6.44) и (6.45), получают соотношения для расчета элементов матрицы K в виде:

. (6.46)

В общем случае зависимость может быть нелинейной, поэтому найти K по выражению (6.46) не всегда удается даже для одноканального объекта, уравнения которого предварительно записывают в канонической форме.

Поскольку одноканальный объект удобнее описывать с помощью передаточной функции, обсудим соответствующую методику модального метода синтеза.

6.5.2. Постановка задачи синтеза для одноканального объекта

Рассматривается объект управления, передаточная функция которого имеет вид:

(6.47)

где m n. Влияние окружающей среды отражает возмущение M(t).

Модальный метод синтеза предполагает формирование заданной реакции системы на отработку начальных условий, которая определяется корнями характеристического уравнения. Если они выбраны на основе требований, предъявляемых к динамике в виде условий (6.4) и (6.5), то соответствующее характеристическое уравнение называют желаемым.

Таким образом, задача синтеза заключается в обеспечении в замкнутой системе желаемого характеристического уравнения.

Для ее решения предлагается использовать в качестве регулятора последовательное звено и звено с передаточной функцией в обратной связи, то есть структура системы задана и имеет вид, приведенный на рис.6.14.

Звено прямого канала с передаточной функцией будем называть корректором статики, а звено с передаточной функцией - корректором динамики. При синтезе структура их известна, требуется определить параметры.

Рис. 6.14. Расчетная структурная схема замкнутой системы

Рассмотрим последовательно этапы модального метода синтеза.

6.5.3. Обеспечение заданной статики

С целью выполнения условия статики (6.4), , при произвольном возмущении M предлагается в качестве звена с передаточной функцией использовать интегратор,

, (6.48)

то есть сделать систему астатической. Здесь - неизвестный пока коэффициент усиления регулятора.

Полагая, что объект и корректор динамики не содержат интегрирующих звеньев, запишем операторное выражение для выходной величины

. (6.49)

Отсюда в статике, при p=0, когда передаточные функции вырождаются в коэффициенты усиления, получим y(p) = v.

Как видим, с помощью выбранного корректора статики можно обеспечить выполнение условия (6.4) с ошибкой .