51

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

3. Структурный метод

3.1. Введение

Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями.

Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена как на основе дифференциальных уравнений (раздел 2), так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода.

Предварительно рассмотрим подробнее типовые звенья, из которых состоят системы автоматического управления.

3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)

Пропорциональным называется звено, которое описывается уравнением

y=ku . (3.1)

Передаточная функция звена следующая:

, (3.2)

а соответствующая ей структурная схема приведена на рис. 3.1.

Переходная характеристика (реакция звена на скачкообразное входное воздействие) имеет вид:

h(t)=k1(t) .

Рис. 3.1. Структурная схема

пропорционального звена

Импульсная переходная функция (реакция на входное воздействие типа дельта-функции):

g(t)=k(t) .

Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для пропорционального звена отсутствуют.

Заменив в передаточной функции p на j, получим следующие частотные характеристики: амплитудно-фазовую,

W(j)=k ,

вещественную частотную характеристику,

R()=k ,

мнимую частотную характеристику,

I()=0 .

Рис. 3.2. ВЧХ пропорционального звена

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) определяется соотношением:

(3.3)

и имеет тот же вид, что и ВЧХ. Выражение для ФЧХ:

. (3.4)

Это означает, что амплитуда периодического входного сигнала усиливается в k - раз, а фазовый сдвиг отсутствует.

АФХ звена имеет вид точки на комплексной плоскости (рис. 3.3).

ЛАЧХ звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс:

L()=20lgA()=20lgk . (3.5)

Рис. 3.3. АФХ пропорционального звена

Как видим (3.3, 3.4), пропорциональное звено пропускает входные сигналы без искажений.

Р Рис. 3.4. ЛАЧХ пропорционального звена

3.3. Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением:

y=k . (3.6)

Его передаточная функция имеет вид:

W(p)=y(p)/u(p)=kp . (3.7)

Переходная характеристика дифференцирующего звена:

h(t)=k(t).

Рис. 3.5. Переходная характеристика звена

Импульсная переходная функция представляет собой «дуплет» -функций

g(t)=k(t) . (3.8)

Рис. 3.6. Импульсная переходная характеристика

Получим теперь частотные характеристики звена.

АФХ : W(j)=jk, совпадает с положительной мнимой полуосью на комплексной плоскости;

ВЧХ : R()=0 ,

МЧХ : I()=k ,

АЧХ : ,

ФЧХ : , т. е. на всех частотах звено имеет постоянный фазовый сдвиг;

ЛАЧХ :

L()=20lgk=20lgk+20lg. (3.9)

Как видно из графика рис. 3.7, дифференцирующее звено усиливает высокочастотные сигналы.

Рис. 3.7. ЛАЧХ дифференцирующего звена