Практические приложения вейвлет-анализа

Вейвлеты позволяют чрезвычайно эффективно применять фундаменталь­ную математическую теорию к решению важных задач в повседневной жиз­ни. Коротко остановимся на некоторых приложениях вейвлет-анализа в ра­диотехнике и теории передачи информации.

1. Распознавание речевых сигналов. Физический механизм производства зву­ка голосовыми связками определяет базовые характеристики этого класса сигналов. В рамках известной модуляционной модели реальный речевой сиг­нал представляется в виде суммы:

где E_k — амплитуда k-й первичной гармонической компоненты речи; φ_k(t) — ее мгновенная фаза (для упрощения пусть начальные фазы равны нулю); N — число гармонических составляющих; x(t) — вклад шума и ошибок моделиро­вания.

Установлено, что длительное произношение односложного звука близко к чистым музыкальным тонам (гармоникам), т. е. прямое преобразование Фурье оптимально описывает этот процесс (мгновенная фаза φ_k(t) = ω_kt, амплитуда E_k и круговая частота ω_k — константы). Реально же в живой речи происходит быст­рый переход от тона к тону с характерными шумами, высотой голоса и прочее, что приводит к необходимости распознавания зависимости от времени t амплитуд и фаз первичных компонент и определения на этой основе, какое слово было произ­несено. Причем схема распознавания должна быть достаточно жесткой, нечувстви­тельной к специфическим шумам, национальности или диалекту говорящего и т. д.

Итак, при квазинепрерывном вейвлет-преобразовании используется временной параметр х и дискретный набор точек а_j = 2^ja₀, где a₀ — исходная координата; j = 0, 1, 2, ... На плоскости с координатами (а, х) чистые тона сигнала человече­ской речи имеют вид периодического горного хребта конечной ширины по па­раметру а и бесконечной длины по относительной временной координате х. Процедура перехода от одной суммы нескольких тонов к другой выглядит как слияние или расщепление этих горных кряжей вдоль координаты а.

Однако эта схема чувствительна к шуму и к интерференции близких по частотам тонов. Во избежание этого приходится не ограничиваться только информацией о вершинах хребтов, а применять процедуру «синхронного сжатия» хребта в линию путем специального усреднения значений вейвлет-преобразования W_u(x, а) по а око­ло максимумов. Это дает нечувствительный к шуму механизм определения мгно­венных фаз. Для вычисления мгновенных амплитуд применяют еще одну аналогич­ную оптимизационную процедуру, используя уже известную информацию о φ_k(t). При этом для получения превосходных результатов отнюдь не приходится отказы­ваться от методов и техники, разработанных независимо от вейвлет-преобразования.

2. Восстановление эашумленных сигналов. Пусть имеется п наблюдений y_i сигнала u_i(t) на отрезке [0, 1], содержащих «белый» шум

где σ_i — напряжение шума; i = 1, 2, ..., n.

Для нелинейного подавления шума при помощи вейвлет-преобразования по­следовательно применяются следующие процедуры:

• прямое вейвлет-преобразование;

• обнуление незначимых коэффициентов преобразования по уровню порога, пропорционального амплитуде шума;

• обратное вейвлет-преобразование.

На рис. 2.65 приведены результаты подавления шума в некотором ступенча­том сигнале на основе метода Фурье, вейвлет-преобразования и сплайн-методов (сплайны — кусочно-гладкие функции, построенные из полиномов, широко применяются для задач интерполяции; по своей природе они очень близки вейвлетам и до появления последних удельный вес сплайнов в прикладных задачах был значительно выше; основной их недостаток — присущий и вейвлетам Добеши — это наличие корреляции между степенью сплайна и степенью гладко­сти аппроксимируемой функции).

Данный способ нелинейного (порогового) удаления шума заключается в том, что ортогональное вейвлет-преобразование «сжимает» сигнал до не­большого числа относительно больших коэффициентов. Поскольку «белый» шум при любом ортогональном преобразовании сохраняет свою структуру и амплитуду и его вейвлет-коэффициенты постоянны, то пороговое обрезание не­существенных коэффициентов вейвлет-преобразования сильно понижает шум, не влияя на структуру сигнала.

Эффективный анализ сильно осциллирующих сигналов. Выделение этих сигналов на фоне других и т. д.

3. Исследование электромагнитных явлений. Вейвлеты представ-ляются удобным и естественным инструментом для исследований элек-тромагнитных явлений, поскольку уравнения Максвелла (как и вейвлеты) инвариантны отно­сительно перемещений и изменений масштаба. При этом формализм вейвлет-преобразований позволяет сформулировать физические принципы волновых явлений и вопросы обработки сигналов на едином языке!

Ближайшие перспективы применения вейвлетов. Что же приносит нового многомасштабный анализ сигнала?

1. Подобный анализ позволяет выявлять локальные (нестационарные) осо­бенности сигнала и классифицировать их по каким-либо специфическим при­знакам, например, по интенсивности. В частности, в обработке изображений широко распространена многомасштабная локализация резких границ (multiscale edge detection). Очень резкие перепады яркости заметны и на малых, и на больших масштабах. В ряде задач можно считать их наиболее информатив­ной частью изображения, и оценивать с большой точностью, пренебрегая всем остальным. Часто важнее найти не сами разномасштабные версии сигнала, а различия между ними, детали, которые исчезают при переходе от тонкого мас­штаба к более грубому.

2. При таком анализе удается проследить динамику изменения сигнала вдоль «оси масштабов». Если резкие скачки во многих случаях можно увидеть невооруженным глазом, то взаимодействие событий на мелких масштабах, перерастающее в крупномасштабные явления, заметить очень сложно. Много­масштабный анализ помогает количественно охарактеризовать эту неоднород­ность. Скачки динамики по «масштабной переменной» могут нести не менее важную информацию, чем резкие изменения по времени или пространству.

В последнее время база приложений вейвлет-преобразований быстро рас­ширяется. Это происходит как вследствие типизации постановок задач, так и благодаря появлению пакетов программ и интегрированных компьютерных сред для вейвлет-анализа. В частности, широкое распространение получила библиотека программ вейвлет-анализа для пакета MATLAB.

Большое количество современных приложений требуют обработки сигна­лов (функций) в реальном масштабе времени. В связи с этим перспективы приложений вейвлет-анализа связываются с разработкой и производством специализированных процессов для быстрого вейвлет-анализа. Такие (парал­лельные на каждом масштабе разрешения сигнала) процессоры используют весьма ограниченный набор операций и достаточно малую локальную па­мять, что обеспечит возможность быстрых стандартизованных вычислений, компактность и дешевизну разрабатываемых устройств.

В ближайшее время начнется массовое использование вейвлет-анализа для сжатия и передачи видеоинформации в диалоговых телекомму-никационных системах (видеоконференций, дистанционного образования, компьютерных музеев, систем виртуальной реальности, стереотелевидения и т. п.).

Бурный прогресс в области фундаментальных исследований и теории вейвлетов может также быть связан с важными биологическими аналогиями между кодированием информации при помощи вейвлет-преобразования и пространственным устройством чувствительности рецептивных полей нерв­ных окончаний сетчатки глаза. Отдельные клетки «интегрируют» возбуждение от достаточно широкой области сетчатки, при этом сигналы воспринимаются селективно по поверхности сетчатки. Функции чувствительности глаза (хоро­шо аппроксимируемые функциями Габора) являются типичными представи­телями семейства вейвлетов, по которым сетчатка выполняет «разложение» видимого изображения.

3. Довольно распространено мнение, что вейвлеты позволяют раскрыть внутреннюю природу сигнала. Однако это верно лишь отчасти. Анали­тическая сторона вейвлет-анализа — вещь довольно тонкая, хотя она очень проста и наглядна. По мнению ряда физиков и математиков, работающих с вейвлет-анализом, простым «прикладыванием» соответствующих формул серьезную задачу не решить — надо быть экспертом в самой проблеме, про­работать с ней не один год и уметь отличать внутреннюю проблему от арте­фактов (т. е. необоснованных показаний методов, не очень хорошо приспо­собленных к рассматриваемой задаче), порожденных спецификой использо­ванного метода анализа. А так, совершенно не важно, с помощью какой тех­ники решается взятая задача, лишь бы решалась.

Следует помнить, что вейвлет-анализ требует значительного объема вычислений, который быстро растет с увеличением обрабатываемых данных. При обработке одномерного сигнала на выходе получается трехмерный массив данных (вейвлет-коэффициенты на плоскости время — частота), а при обра­ботке многомерных массивов данных представление результатов невозможно без компьютеров, имеющих мощные графические возможности.

Литературный источник: [1] страницы 170-186.