Непрерывный вейвлет-анализ

Основные приложения непрерывного вейвлет-анализа: локализация и клас­сификация особых точек сигнала, частотно-временной анализ нестационар­ных сигналов. Например, у таких сигналов, как музыка и речь, спектр ради­кально меняется во времени, а характер этих изменений — очень важная ин­формация, которая используется при цифровой передаче подобных сигналов по каналам связи. При этом встает вопрос о сокращении избыточности (сжатии) информации. Глобальная задача сжатия информации — сократить этот объем при сохранении приемлемого качества. В этом существенную роль и играет вейвлет-анализ.

Фактически, для того чтобы функция ψ(t) могла принадлежать к классу вейвлетов, необходимо выполнение двух условий:

• график функции ψ(t) должен быть локален и осциллировать вокруг нуля в окрестности некоторой точки на оси времени, и резко убывать при t → ± ∞; при этом ее среднее значение (т. е. интеграл по времени) равно нулю:

• норма функции (ее энергия) должна быть конечной:

В радиотехнике непрерывный вейвлет-анализ часто осуществляется с по­мощью трех функций, показанных на рис. 2.60. Это вейвлеты Добеши, Морле (wavelet Morlet) и перевернутое «сомбреро» (Mexican hat — мексиканская шля­па). График практически любого вейвлета выглядит примерно так же.

Необ­ходимо отметить, что, хотя речь идет об аппроксимации непрерывных интег­рируемых функций, базисные функции вейвлетов имеют весьма сложный вид. Тем не менее, существует много аналитических выражений, корректно удовлетворяющих условиям вейвлета. В частности:

С ряда точек зрения для вейвлетов хороши функции, локализованные и во времени и в частотном спектре. При перемасштабировании произведение временного и частотного диапазонов остается постоянным. Оно интерпрети­руется как площадь ячейки на «частотно-временной плоскости» (фазовой плоскости), информацию о которой можно получить с помощью данной функции. Идеальным инструментом анализа сигналов в этом смысле являет­ся гауссиан — замечательная во многих отношениях функция

Ее преобразование Фурье имеет точно такой же вид «колокола», как и она сама. Вторая производная гауссова импульса и является вейвлетом, назы­ваемым вейвлетом «сомбреро»

Возьмем произвольный непериодический сигнал неизменной амплитуды u(t) (постоянная, ЛЧМ-сигнал и стабильная синусоида) и в упрощенной форме произведем ее вейвлет-анализ при помощи вейвлета «сомбреро» (рис.2.61), причем переменную х назовем временем. Результатом вейвлет-анализа этого сигнала будет функция W_u(x,a), которая зависит уже от двух переменных — от времени х и от некоторого масштаба осцилляции а.

Для каждой пары х и а (а > 0) алгоритм вычисления значения функции W_u(x,a) имеет следующую структуру:

• растянем (сожмем) вейвлет ψ(t) в а раз по горизонтали и в 1/а по вертикали;

• сдвинем полученную функцию в точку x_i, (где i — точка анализа сигнала на временной оси х). Обозначим данный вейвлет как функцию ψ_x,a;

• усредним значения исследуемого сигнала в окрестности точки а при помощи вейвлета ψ_x,a.

Непрерывное вейвлет-преобразование сигнала u(t) определяется с помощью произвольной функции вейвлета ψ(х) и выглядит таким образом:

Можно сказать, что при фиксированном а распределение W_u(x, а) есть свертка исходной функции u(t) с растянутым в а раз вейвлетом .

В нижней части рис. 2.61 изображен график исследуемого сигнала u(t), в верхней в виде ломаной линии — распределение значений W_u(x,a) (по горизон­тали — переменная х, по вертикали — ось а). Прямоугольниками изображены графики вейвлета ψ_x,a при разных значениях x и а (х₁, а₁ и х₂, а₂). Выделенные участки графика исходного сигнала u(t) поточечно умножаются на значения оказавшихся над ними столбиков, потом все это суммируется. Абсолютная ве­личина суммы определяет, где будет координата (х, а) на верхней картинке (на рисунке они выделены жирными точками). Это делается для всех пар (х, а).

Параметр x является аналогом координаты времени t (т. е. характеризует смещение сигнала во времени), а параметр а — аналогом периода осцилляции (т. е. обратной частоте a=1/f). Величина любого коэффициента W_u(x,a) показы­вает, насколько характерный период колебаний а представлен в сигнале в окре­стности момента времени x. При этом вследствие принципа неопределенности частота осцилляции находится с точностью, обратно пропорциональной харак­терному времени наблюдений (равному ширине вейвлета). Значит вейвлет-преобразование W_u(x,a) содержит информацию о частотных и временных (или пространственных) свойствах сигнала одновременно. Это и позволяет изучить сложный сигнал более детально, чем с помощью преобразования Фурье.

Итак, по своему смыслу вейвлет-преобразование полностью соответствует преобразованию Фурье. Однако здесь ядром интегрального преобразования вместо экспоненциальной функции служит вейвлет . В отличие от преобразования Фурье, в котором координатаt трансформируется в одну час­тотную переменную f (или ω), вейвлет-преобразование W_u(x,a) является функци­ей двух аргументов — x и а.

На рис. 2.61 видна наклонная кривая, по которой можно четко определить начальную частоту, конечную частоту и характер изменения локальной частоты колебаний. В некоторый момент кривая превращается в горизонтальную прямую, соответствующую чистой гармонике.

Поскольку амплитуда исходного сигнала неизменна, то «высота» (т. е. значения коэффициентов W_u(x,a)) ре­зультирующей кривой везде одинакова. Для сравнения слева на верхней части условно приведена спектральная плотность S(f) анализируемого сигна­ла. Наглядность этого представления совершенно не сравнима с наглядно­стью вейвлет-преобразования Характерные частоты можно усмотреть из пи­ков на спектре, но момент переключения никак не отражен. Если, например, изучаемый сигнал u(t) представляет собой одиночный импульс, сосредо­точенный в окрестности точки t = t₀ и имеющий длительность τ_и, то его вейвлет-преобразование будет принимать наибольшее значение в окрестности точки с координатами а = τ_и, х = t₀.

Рассмотренные выше графические результаты вейвлет-преобразования от­носятся к сигналу достаточно простой формы и не дают полного представле­ния об этом виде анализа. На рис. 2.62 в качестве примера представлено вейвлет-преобразование сигнала сложной формы.

В общем случае вейвлет-спектр (вейвлет-коэффициенты) сложного по форме сигнала, принимающего вещественные значения, на плоскости с ко­ординатами (a, х) можно образно представить себе как структуру горного хребта разной ширины по параметру а и бесконечной длины по относитель­ной временно'й координате х. Процедура перехода структуры осцилляции одной формы сигнала к другой выглядит как слияние или расщепление этих горных кряжей вдоль координаты а.

По аналогии с обратным преобразованием Фурье можно представить ал­горитм восстановления (синтеза) исследуемого сигнала по коэффициентам вейвлет-преобразования и базису вейвлетов:

где .

Данная формула окончательно устанавливает сходство непрерывного вейв-лет-анализа и метода интегрального преобразования Фурье.