2.4. Устойчивость сау

Математический признак устойчивости

САУ, как любая динамическая система, характе- ризуется переходным процессом, возникающим в ней при наруше- нии ее равновесия каким-либо воздействием (могут быть сигналы управления, настройки, помехи и т. д.). Переходный процесс у' '(/) зависит как от свойств системы, так и от вида возмущения. В переходном процессе всегда следует различать две составляющие: ус (t) — свободные движения си- стемы, определяемые начальными условиями и свойствами самой системы; г/в (/) — вынужденные движения, определяемые возму- щающим воздействием и свойствами системы, т. е. у' (t) = ус (t) + + У» (О- Чтобы САУ могла правильно реагировать на сигнал управле- ния, настройки или изменения нагрузки,, в переходном процессе свободная составляющая с течением времени должна стремиться к нулю, т. е. lim y0 (t) -*• 0, так как характер свободного дви- <-*<» 69

Рис. 2.29. Виды кривых переходных процессов: а — устойчивой САУ; б — неустойчивой СЛУ

жен и я системы определяет ее устойчивость или неустойчивость. Возможные виды кривых переходного процесса свободной соста- вляющей ус (f) приведены на рис. 2.29. При аналитическом исследовании динамических свойств си- стемы автоматического регулирования необходимо найти ее диф- ференциальное уравнение и затем его проинтегрировать, т. е. найти закон изменения во времени интересующей величины. Рассмотрим дифференциальное уравнение линейной системы автоматического регулирования. В соответствии с определением устойчивости системы она характеризуется свободными движе- ниями системы. Так как свободное движение линейной сис- темы описывается однородным дифференциальным уравне- нием, т. е. уравнением без правой части, то, следовательно, для определения устойчивости системы и надлежит исследовать такое однородное уравнение. Уравнение свободного движения линейной САУ, разрешенное относительно исследуемой величины (обычно относительно откло- нения регулируемого параметра от заданного значения), можно записать так:

п-1.d "~'yc

где С0, Clt .... Сп — постоянные коэффициенты, определяемые параметрами САУ. В операторной форме это уравнение имеет вид (С0р" + + Cipn~l + ... + С„) t/e (f) = 0. Отсюда характеристическое уравнение имеет вид

СоРп + Сгр"-1 + • • • + (W -f С„ = 0.

Решение дифференциального уравнения при всех веществен- ных корнях имеет вид

где AI — постоянные интегрирования, определяемые параметрами системы и начальными условиями (всегда больше 0).

70

Рис. 2.30. Структурная схема ваыкнутой САУ

Для системы, изображенной на рис. 2.30,

(Р) =

или

(р)} = у (р)/х (р)

где [1 + Wv (р) ] — полином n-го порядка; Wv (р) — полином т-го порядка, как правило, л > т. Подставляя вместо Wv (р) выражение, определенное через параметры звеньев, получим [1 I __ KiKi _ "I / \ "1~ (1 + PTj (1 + PTt)] У W - Приводя обе части к общему знаменателю, получим выражение [TiTtp* + (Tt + Tt)p + 1 + КЛъ ]у(р) = KiKtX (р) и урав- нение, в котором правая и левая части являются полиномами от р (левая часть — полином второй степени, правая — нулевой). Переходя от изображений к оригиналам, будем иметь TlTjPyldt*+ + (Tj. + Га) dy/dt + (1 + KM y(f) = KiKtx (0, где левая часть — уравнение собственных движений, а правая — уравнение вынужденных движений. Чтобы понять, система расходящаяся или сходящаяся, необходимо решить уравнение только собствен- ных движений TjTjPytd? + (Tt + Tt)dy/dt + (1 + /Ci#a) У (0 = = 0, решением которого будет сумма частных решений у0 (t) = п = £ Л|ех'', где AJ — корни, характеристического уравнения С0р" + Cjp"-1 + ... + С„ = 0, полученного из выражения W (р) + 1 = 0. Для примера, приведенного на рис. 2.30, характеристическое уравнение имеет вид С0Х* + СгК + С» = 0, где С0 = Т^Т^ Сг = — Тг + Tt; Ct = 1 + KiKt- Его корни *,. » = — Ct/2CQ ± ± ]/~С? - 4СоС2/2Со. ЕСЛИ С?< 4С0С2, то Xi.t = - С,/2С0 ± / X X " С — 4СоС2/2Со, т. е. X может в общем случае оказаться ком- плексным числом. Комплексные корни характеристического уравнения всегда бывают попарно сопряженными: ^ = а + /Р и X, = а — /р. п Тогда уравнение у0 (t) = 2 4fex'' в соответствии с формулой

71

f' Ус

Рис. 2.31. Кривые, характеризующие переходные процессы для различных пар корней: а — корни вещественные: б — корни комплексно-сопряженные с отрицательной веще- ственной частью; « — корня комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью; г — корни мнимые: д — расположение корней характеристического уравнения; 7 — устойчивая САУ; // — консервативная САУ; /// — неустойчивая САУ

Эйлера е+/р*' = cos fat ± / sin pV может быть представлено в следующем виде: Л|е<в«+/Р|) ' + Л,+1е<а'-»|) ' = A*"* sin (pV + Ф), где At — начальная амплитуда; <р — начальная фаза. Если а > 0, то с увеличением t растет амплитуда. Если а < О, то с увеличением t амплитуда стремится к нулю. Если а = О, то имеем чисто гармонический процесс. Поэтому вид кривой уравнения уе (t) определяется видом корней, которые могут быть комплексно-сопряженные (X, = ±at ±/pj)> чисто вещественные (Are = ±am), чисто мнимые (Xk = ±/рЧ), нулевые (X, = 0), кратные, т. е. v одинаковых корней X, = -у- Проанализируем кривую у0 (f) при возможных видах корней I т характеристического уравнения: ус (t) = 2 Л|е±в''е±'*'г+ S

?v) е±вв'е±/р9'. Каждая составляющая — некоторая кривая е±а'', параметры которой изменяются от — 1 до + 1 1 кривая A te±<x'' — показывает, как во времени изменяется амплитуда (рис. 2.31). Для 79

оценки устойчивости надо определить lim д0 (С). Возможны случаи: 1-мв 1) если все щ < 0, то lim y0 (f) = О и, следовательно, система /-••00 асимптотически устойчивая; 2) если все at < 0, но среди корней имеются нулевые или чисто мнимые корни, то lim у, (f) стре- t-+aa мится к некоторому установившемуся процессу, определяемому нулевыми или мнимыми корнями (консервативная система); 3) если хотя бы одно значение a.t > 0, то lim у9 (f) стремится f-*a> к бесконечности, т. е. система неустойчивая. Замечание: особые трудности в обеспечении устойчивости возникают в системах с кратными корнями. Если кратный корень нулевой или чисто мнимый, система оказывается неустойчивой. Вывод: необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем: среди корней характеристического уравнения отсутствуют нулевые и чисто мнимые корни; вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательные.

Критерии оценки устойчивости линейных САУ

Прямой метод анализа устойчивости систем, осно- ванный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью определения корней (вычисление корней просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени). Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степеней, но эти выражения громоздки и практически мало пригодны. Что же касается уравнений более высоких степеней, то для них вообще невозможно написать общие выражения для корней через коэффициенты характеристического уравнения. Поэтому весьма важное значение в инженерной прак- тике приобретают правила, которые позволяют определять устой- чивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива или нет система, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе. Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические (Рауса и Гурвица), основанные на анализе коэффициентов харак- теристического уравнения, и частотные (Михайлова, Найквиста), основанные на анализе частотных характеристик. Замечание: частотные критерии позволяют оценивать устой- чивость системы, даже если имеются в наличии эксперименталь- ные частотные характеристики, а, точнее, уравнение динамики неизвестно. Алгебраический критерий Гурвица. Этот критерий позволяет, не решая уравнения, сказать, где на комплексной плоскости рас- положены его корни. Из коэффициентов характеристического 73

уравнения С0ХП + CjX"-1 + ... -f Cn_iX 4- Cn = О «-го порядка строится сначала главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выпи- сываются все коэффициенты характеристического уравнения от Ci до С„ в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз — коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше п (где п — порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули:

С0 С, С4 С, ... О О G! С, С, ... О О О Ся

Выделяя в главном определителе Гурвица диагональные ми- норы, получаем определитель Гурвица низшего порядка

С,

А,= С0 О

С. С, С, С4 G! С,

Номер определителя Гурвица зависит от номера коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель. Определение: чтобы САУ была устойчива; необходимо и доста- точно, чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента С0 характеристического уравнения, т. е. были положительными, так как всегда С0 можно выбрать положительным. Таким образом, при С& > 0 для устойчивости системы необ- ходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Ci С, Св С,

Ci Сt Се С0 С, С4 о сх с,

1. Система первого порядка. Характеристическое уравнение первого порядка С0Х + Сх = 0. Если С0 > 0, Сг > 0, то X в левой части комплексной плоскости, следовательно, А | > О,

2. Система второго порядка. Характеристическое уравнение 1 + СгХ + С, = 0. Корни характеристического уравнения: KI = — Ci/2C0 + Vе* - 4СоС2/2С0; Я,2 = — Ci/2C0 - — |ЛС? — 4СоС1/2С0. Возможны варианты, если оба корня (A,i и А*' вещественные: а)С?> 4СоС2 — корни только вещественные, если Со > 0 и Ci > 0, то А-1 < 0, Кг < 0; б) С? < 4С0С2 — корни ком- плексно-сопряженные, следовательно, можно записать KI, a = = а ± /р. Так как а = — СУ2С,,, то а < 0, если Св > 0 и Сх > 0. G! О _ > 0, если С0 > О, Л, = QC, > 0 приС 0 LJ С,>0. Вывод: для устойчивой системы второго порядка все коэффи- циенты характеристического уравнения должны иметь один и тот же знак. 3. Система третьего порядка. Характеристическое уравнение С0А,3 + CiX* + С4А, + Са — 0. Главный определитель Определитель А, =

С8 С, О Сх С,

>0, если С0>0.

Так как младший диагональный минор At == Clt то по Гур'- вицу G! > 0. Минор второго порядка А, = — С0С3>0, если система устойчива. Со С, Воспользуемся правилом Саррюса и определим Сх С, О А,= — СоСз = Сз (CiC2 — Сз А2.

По Гурвицу для устойчивой системы А3 > 0, но так как Аа > О, то С, > 0. Из минора А8 следует, что Cg > C0Ca/Ci, а так как С0 > О, С, > 0 и Ci > 0, то Са > 0. Таким образом, система третьего порядка устойчива, если: а) С0 > 0, d > О, С„ > О, С8 > 0; б) С^а > С0>С. Наличие только положительных коэффициентов в уравнении еще не яв- ляется достаточным условием, хотя это условие и необходимо. 4. Система четвертого порядка. Характеристическое уравне- ние СоХ* + СХХ8 + CSX* + С8Я + С4 = 0. Полагая, что знаки вы- 76

браны так, что С0 > 0, в этом случае необходимо, чтобы все миноры и определитель Гурвица были бы больше нуля, т.е. А! >'0, Д4 > О, Д8 >0 и Д4 >0.с„ о о С0 С, С« О О Сх С, О О С0 С, С4 Главный определитель Д4 = = | Ct | > 0; Дя =Диагональные миноры: — С0С8; сг с, о г Г" с 1>о Uj U4 о г г U "-"I *-"8 с, Со- С, — CiC4 — СоСз = Сз (CiC2 — Cx C8 0 C0 Cj C4 С3Д2-С?С4>0.

Для раскрытия определителя Д4 разложим его по адъюнктам первой строки:

Сг С8 О 'О С0 Са С4 О О Ct Cs* О О С0 С, С4

\ш

С, С4 О ct с, о (— 1 Г1 X

X

С0 С4 О О С8 О О С, С4

== GI (С2СзС4 — CiC4) — СзСоСзС4 = CiC2CaC4

4 = С4 = С4

Так как Д8 > 0, то неравенство возможно только при условии,- что и С4 > 0. Из диагонального минора Дз = СзДз — С?С4 > О выразим С8 > CjCj/Aj, которое будет положительно, если Сг > О, С4 > 0 и Д„ > 0. При Д, > О С, > 0, так как Са > С9С,/Сг. Вывод: для получения устойчивой системы необходимо соблю- дение следующих условий: а) С0 > О, GI > 0, Са > О, С8 > О, С4 > 0; б) dC2 > С0Сз; в) CjCjCs > С?С4 + С0С».

5. Система пятого порядка. Характеристическое уравнение СгЯ« + С4А," + С,Я2 + С.Я, + Сь = 0.

>0Главный определитель Гурвица Д& = С„ 0 0 0 С8 С, Ci Со 0 С6 С, с, с, Сг 0 0 С6 С4 с, 0 0 0 0 С6 при условии, что С0 > 0. Если раскрыть определитель А5 и исследовать его диагональ- ные миноры, то для устойчивой системы пятого порядка необхо- димо соблюдение четырех условий: 1) С„ > О, Сх > О, С2 > О, С8 > О, С4 > О, С6 > 0; 2) СХС2 > С0С3; 3) ЭДСз + СйС£ь > > С0Сз + С?С4; 4) CiC2C3C4 + 2C0C1C4CS + С0С2СзС3 >

Критерий Гурвица не дает возможности оценить запас устой- чивости и быстроту затухания колебательного переходного про- церса. Иногда его используют для определения тех значений како- го-либо параметра, при которых система остается устойчивой. Коэффициенты характеристического уравнения системы опре- деляют через параметры устройств системы. Если считать тот или иной параметр изменяющимся б, то, естественно, будут ме- няться определители системы, так как коэффициенты характери- стического уравнения приобретают различные значения. При графическом изображении зависимостей А/ от исследуе- мого параметра б можно определить области таких значений 6, когда все AJ оказываются положительными при С0 > 0 (рис. 2.32). При этом должно сохраняться постоянство значений других параметров, входящих в структуру определителей. В результате построения получим кривые для определителей Гурвица, число которых равно порядку характеристического уравнения системы. Расположение этих кривых относительно друг друга показывает допустимые границы изменения исследуемого параметра б без нарушения устойчивости системы. В устойчивой системе при всех значениях от бх до б, все определители и С0 больше нуля.

Зона устойчивости a) f)

Рис. 2.32. Влияние изменяемого параметра в на значения определителей а — система дгстойчввая; б — система веустойчнвая

77

В неустойчивой системе при любых значениях в нет области, где бы все определители и С„ были бы больше нуля. Пример. Система состоит из трех инерционных звеньев (рис. 2.33). Посто- янные времени пусть будут близки друг к другу. Найти максимально допусти- мый коэффициент Кд = KiK,Kj при разомкнутой системе, при котором система устойчива в замкнутом состоянии. Передаточные функции звеньев: Wt (p) = /Ci/(l + рГх), Wt (p) = KJ (\ + + pTt), W, (р) = Л8/ (I + рГ8). Результирующая передаточная функция ра- зомкнутой системы Wp (р) = Wi (p) Wt (p) W, (р) = К^К»/ (1 4- рТ)* = = Кд/ (1 + рЛ», a Wa (р) = Wp (p)/[l + Wp (р)1 ,== у(р)1х (Р). Характеристи- ческое уравнение получаем из выражения 1 + WD (р) = О, 1 + Кд/(1 + + рТ)5 = 0. (1 + рТ)3 + Кя=0, Яр8 + ЗГ»р» + ЗГр + (1 + /Сд) == О.Тлав- ЗГ» (1+/Сд) О '» ЗГ Оный определитель Гурвица А ' О ЗГ» (1+/Сд) Раскладывая по элементам третьего столбца, получим

= 0, 9Г» —

= 0.

Критерий Рауса. Как и критерий Гурвица, этот критерий представляет собой систему неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения замк- нутой системы. Он представляет собой некоторое правило (алго- ритм), которое наиболее просто псгяснено в табл. 2.4. В первой строке таблицы записывают коэффициенты С харак- теристического уравнения, имеющие четный индекс (С0, Ct, С4, ...), а во второй строке — коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами (Clt C3, С5, ...). В последующие строки вписывают коэффициенты Ch,t ~ Ck+1,, t_8 — rtCk+1, t-i, где rf = Clt t.t/Clt 1_х; t — индекс, означающий номер строки таблицы; k — индекс, обозначающий номер столбца таблицы. Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического уравнения +1, т. е. (п + 1). После заполнения таблицы по ней можно судить об устойчивости системы. Условия устойчивости Рауса: чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т. е. были бы положи- тельными, так как всегда можно сделать С0 > 0: Clf i = C0 > О, Q.i = G! > О, С1(, > 0, .... Ci, n+i > 0. Если не все коэффи- циенты первого столбца положительны, т. е. если система неустой- чива, то число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

K,Ji

Рис. 2.33. Пример замкну- той системы