2.2. Динамика линейных систем автоматического управления

Сущность моделирования

Свойства любой системы проявляются в процессе ее функционирования. Для определения этих свойств следует подать на входы некоторые возмущающие воздействия и проанали- зировать выходы системы. Однако почти всегда проведение таких экспериментов с реальной системой экономически невыгодно, а с проектируемой системой невозможно. В связи с этим экспери- менты для изучения свойств системы проводят не с реальными системами, а с их моделями. Модель — некоторая другая система, сохраняющая суще- ственные черты оригинала и допускающая исследование физи- ческими или математическими методами. Моделирование — процесс проведения экспериментов на мо- дели вместо прямых экспериментов на самой системе. В настоя- щее время широко применяют метод моделирования как способ научного познания реальной действительности, а в ряде случаев он оказывается единственным средством познания сложных систем. ' Чертеж детали, проект станка, система уравнений, описываю- щих технологический процесс управления последним, и др. — все это модели объекта проектирования, изготовления или управ- ления. Основой моделирования является теория подобия, которая . утверждает, что абсолютное подобие моделируемого объекта или 31

процесса и модели имеет место лишь при замене изучаемого объекта точно таким же. Модель должна отображать сущность исследуемого процесса, соответствовать цели конкретной задачи исследования, давать все необходимые данные для вычисления целевой функции и не содержать второстепенных связей. Модель, являясь абстракцией определенного варианта решения, дает воз- можность многократного проведения опытов для познания сущ- ности процесса и получения удовлетворительных результатов решения задачи. Изменяя характеристики системы, можно по- знать ее поведение при этих характеристиках и анализировать влияние различных факторов: наблюдать будущие ситуации в виде, не искаженном посторонним влиянием, производить обоб- щение и оценивать новые идеи по совершенствованию организации исследуемого процесса. Поведение модели и реального объекта должно подчиняться одинаковым закономерностям. Изучив их на доступной для исследователя модели, оказывается возможным предсказать свойства проектируемого объекта или про- цесса. Многообразие исследуемых объектов и процессов, целей и задач моделирования породило множество типов моделей. Выбор аппарата для построения модели зависит как от природы и свойств моделируемого объекта или процесса, так и от характера решае- мой задачи. По способу построения все множество моделей можно разделить на физические и абстрактные. Физическая (натурная) модель — это установка или устрой- ство, позволяющее проводить исследование заменой изучаемого физического процесса подобным ему процессом с сохранением его физической природы. Физические модели используют тогда, когда из-за сложности системы или недостаточной априорной ин- формации не удается построить адекватную модель и когда даже с помощью моделирования на абстрактной модели получение удовлетворительных результатов встречает неопреодолимые труд- ности. В процессе физического моделирования задают некоторые характеристики внешней среды и исследуют поведение либо ре- ального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействий внешней среды. Физическое моделиро- вание может протекать в реальном или нереальном масштабе времени, а также может рассматриваться без учета времени. Несмотря на универсальность метода физического моделиро- вания постановка натурного физического эксперимента с современ- ными системами иногда бывает чрезвычайно затруднена, а порой и невозможна (например, причина и следствие разнесены во вре- мени и пространстве). Избежать дорогостоящих натурных экспе- риментов, сократить время на проверку гипотез позволяет исполь- зование абстрактных моделей. В абстрактных моделях описание объектов и процессов осу- ществляется ,на каком-либо языке. В качестве языков моделиро-

вания можно использовать естественный язык, язык чертежей, схем, математический язык и др. Описание объекта или процесса, выполненное на математи- ческом языке, называют математической моделью. В простейших случаях для этой цели используют известные аналоги между ме- ханическими, электрическими и другими явлениями. Математиче- ские модели отличаются тем, что средством описания моделей и изучения их поведения является формальный аппарат мате- матики. Отсюда следует важное преимущество — широкая воз- можность количественного анализа моделей с помощью современ- ных математических методов. Другое важное преимущество мате- матических моделей — универсальность языка математики, воз- можность использовать одни и те же модели для исследования физически различных систем. Например, уравнение движения материальной точки в поле тяготения представляет собой модель чрезвычайно широкого класса реальных явлений. Эта модель описывает как движение планет солнечной системы, так и полет ракеты. Еще одно полезное свой- ство математических моделей — возможность получать резуль- таты, относящиеся не к отдельной конкретной реализации, со- ответствующей определенным начальным данным и фиксирован- ным значениям параметров исследуемой системы, а сразу для целого множества возможных видов поведения системы. По форме описания абстрактных моделей выделяют аналити- ческие математические модели — модели, в которых связи между объектами характеризуются отношениями-функциями (алгебраи- ческими, дифференциальными и др.), позволяющими с помощью соответствующего математического аппарата и, как правило, с применением ЭВМ сделать необходимые выводы о системе и ее свойствах, провести оптимизацию искомого результата. Наиболее существенная характеристика аналитических моделей заклю- чается в том, что модель неадекватна объекту моделирования. Аналитическое математическое моделирование помогает относи- тельно быстро получить результат, но накладывает определенные ограничения на модель системы.

Методы описания процессов в САУ

В теории автоматического управления рассматри- вают математическую модель САУ, т. е. модель, которая полу- чается в результате математического описания системы. Для полу- чения математического описания САУ обычно составляют описа- ние ее отдельных элементов. В частности, для получения уравне- ний САУ составляют уравнения каждого входящего в него эле- мента. Совокупность полученных уравнений и дает аналитическое описание САУ. При получении математического описания исходят из противоречивых требований. С одной стороны, математическая модель должна как можно полнее отражать свойства оригинала,