4.3. Алгебра релейных цепей Величины, описывающие состояние дискретного автомата, являются переменными, хотя принимают только два различных значения в отличие от действительного или комплекс- 145

ного переменного. Такая переменная величина может представ- лять собой либо изменение состояния какого-нибудь конкрет- ного элемента дискретного автомата, либо изменение состояния, происходящее в результате работы группы элементов. Любая данная переменная символизирует или условие работы, или состояние схемного элемента или группы схемных элементов. Она не имеет численного значения, так как в условии работы или в состоянии нет ничего такого, что могло бы быть измерено в обыч- ном смысле этого слова. Можно сказать, что цепь замкнута или разомкнута, но нельзя ответить на вопрос, насколько она замкнута или разомкнута. Таким образом, когда говорят, что некоторая переменная двузначна, то не имеют в виду, что она принимает два значения в обычном смысле, т. е. принимает значения, на- пример, 1,05 и 1,06. Скорее имеют в виду то, что эта переменная характеризует два качественных состояния элемента или системы элементов. На стадии логического синтеза дискретных автоматов не интересуются, насколько значения двузначной переменной должны быть далеки друг от друга, чтобы стать отличимыми. При интерпретации результатов алгебраических преобразова- нии удобно иметь возможность приписывать «значения» перемен- ным. В частности, если известны значения, которые характери- зуют состояния отдельных элементов устройства, то алгебра ре- лейных цепей позволяет определить значение, характеризующее состояние всего устройства в целом. В качестве двух значений переменных удобно принимать цифры 0 и 1. Пока не будем точно оговаривать, что означают эти цифры на языке состояний релейных элементов, поскольку можно пользоваться одной из двух интерпретаций. Например, цифра О может представлять либо замкнутую, либо разомкнутую цепь, а тогда цифра 1 может представить соответственно разомкнутую или замкнутую цепь. При этом получающиеся алгебраические выражения оказываются совершенно различными, но если их истолковать в соответствии с первоначально принятыми значе- ниями 0 или 1, то эти алгебраические выражения приводят к одина- ковому результату. В алгебре релейных цепей цифры О^й 1 представляют только условие работы или состояние релейных элементов. Эти цифры не дают никакой количественной оценки их свойств, и поэтому их не следует рассматривать как числа в обычном смысле. При помощи алгебры релейных цепей решают две задачи теории дискретных автоматов: анализ релейных устройств; синтез релейных устройств.

Постулаты алгебры релейных .цепей Как и любая алгебра, алгебра релейных цепей строится на постулатах или аксиомах. Первый постулат является просто точным способом утверждения того факта, что имеют дело с двузначными переменными. Поставим в соответствие состоянию

некоторого релейного элемента или группы таких элементов ка- кой-нибудь символ, например х. Тогда первый постулат запишется в следующем виде: Г О, если х=И=1; х= , если

Этот постулат утверждает: переменная х может принимать только два значения: 1 или 0; второй постулат 0-0 = 0; третий постулат 1 + 1 = 1; четвертый постулат 1-1 = 1 ; пятый постулат 0 + 0 = 0; шестой постулат 1 • 0 = 0 • 1 =0; седьмой постулат 0+1 = 1 + 0=1. За исключением третьего постулата, приведенные соотноше- ния в точности совпадают с соответствующими постулатами обыч- ной арифметики. Если в постулатах два, три, четыре, пять мы заменим 0 на 1 и наоборот, то второй постулат станет четвертым, а третий — пятым, и наоборот. Кроме того, третий постулат под- черкивает тот факт, что цифры 0 или 1 представляют собой со- стояния, а не числа. Можно видеть, что операции, обозначенные знаками «+» и «•», не вполне соответствуют понятиям сложения и умножения в обычном представлении. Поэтому эти операции называются логи- ческим сложением (+) и логическим умножением (•)• Приведем еще два постулата: _ восьмой постулат 0_= 1; девятый постулат 1 = 0. Эта пара постулатов говорит о том, что состояние, противо- положное состоянию 0, есть 1, и наоборот. Этот постулат соответ- ствует в обычной арифметике постулату об отрицательных чис- лах. В постулатах восемь и девять используют операцию «над- черкивание» ( — ). Такую операцию в алгебре релейных цепей называют инверсией. Под операцией «инверсия» понимают: цифра 1 есть инверсия цифры 0, а цифра 0 — инверсия цифры 1. Приведенные постулаты выражают правила, которым подчи- няется алгебра релейных цепей. На их основе формулируют тео- ремы, позволяющие записывать и преобразовывать алгебраические выражения, соответствующие определенным релейным цепям.

Теоремы для одной переменной

При доказательстве теорем алгебры релейных цепей используют два метода: доказательство теоремы на основе постулатов и доказанных теорем; перебор всех возможных соче- таний значений переменных. 147

Второй метод применим для алгебры релейных цепей, так как каждая переменная, в ней может принимать только два значения. Доказательство теоремы с помощью метода перебора всех сочета- ний, значений переменных состоит в том, что составляют все воз- можные комбинации (сочетания) значений независимых перемен- ных и проверяют для них справедливость теоремы. Теорема 1: х + 0 = х. Доказательство:

х О х + 0 На основании

000 пятого постулата

1 О 1 седьмого постулата

Так как столбец х совпадает со столбцом (х + 0), справедливо равенство х + 0 = х; теорема доказана. Теорема 2: х + 1 = 1. Доказательство:

х 1 х + 1 На основании

О 1 1 седьмого постулата

111 третьего постулата

Так как столбец (х + 1) совпадает со столбцом 1, справедливо равенство х + 1 = 1; теорема доказана. Теорема. 3: 0-х = 0. Доказательство:

О дс 0-х На основании

000 второго постулата

О 1 0 шестого постулата

Так Как столбец 0 и столбец- (0-х) совпадают, то 0-х = 0; теорема доказана. Теорема 4: х + х = х. Доказательство:

х х х + х На основании

000 пятого постулата

1 1 1 третьего постулата

Так как столбец х и столбец (х + х) совпадают, то х + х => х; теорема доказана. Теорема 5: х-х = х. Доказательство:

На основании

второго постулата

1 1 1 четвертого постулата

Так как столбец х и столбец (х-х) совпадают, то х-х = х; теорема доказана. Теорема 6: (х) = х. Доказательство:

х (2) 2 На основании

0 1 1 восьмого постулата

1 О О девятого постулата

Так как столбец (х) и столбец х совпадают, то теорема доказана. Теорема 7: (х) = х. Доказательство:

х Я (X) На основании

0 1 0 восьмого и девятого постулата

1 О 1 восьмого и девятого постулатов

Так как столбец х и столбец (х) совпадают, то х = (х); теорема доказана. Теорема 8: х + х = 1. Доказательство:

1 х X х + х На основании

1011 седьмого постулата

1101 седьмого постулата

Так как столбец 1 и столбец (х + х) совпадают, то х + х = 1; теорема доказана. 149

Теорема 9: х-к — 0. Доказательство:

х-Х На основании

шестого постулата

шестого постулата

Так как столбец 0 и столбец (х-х) совпадают, то х-х — 0; теорема доказана. Хотя все эти теоремы касаются только одной переменной, они важны для многих случаев алгебраических преобразований, так как представляют собой простые правила, которые применяют при упрощении алгебраических выражений, разработке методов синтеза и преобразовании релейных цепей.

Теоремы для двух и трех переменных

Хотя практические задачи по синтезу структуры релейных устройств содержат обычно более чем две или три пере- менные, значительная часть алгебраических преобразований осу- ществляется с помощью теорем для функций двух или трех пере- менных. Нужно отметить, что в алгебре релейных цепей, точно так же как и в обычной алгебре, операции логического сложения и ло- гического умножения обладают следующими свойствами: комму- тативностью логического сложения х + у = у + х; (х + у + + z = (А: -+- у) + z = z + (х + у)); ассоциативностью логиче- ского сложения х + у -\- г — (х 4- у) 4- г = х + (у + z); комму- тативностью логического умножения х-у — у-х или просто х-у = = ух; ассоциативностью логического умножения х-у-г = (х-у)х хг = х-(у-г); дистрибутивностью логического умножения относи- тельно логического сложения х-(у -f z) = х-у + х-г. Теорема 10: х + ху = х. Доказательство: х + ху = х (1 + у). На основе теоремы 3 (1 + у) = 1. Тогда х- (1 + у) = х-1. На основе теоремы 2 х-1 = х. Тогда х + ху = х; теорема доказана. Теорема 11: х (х + у) = ху. Доказательство: х (х + у) — хУ хх + х-у = 0 + х-у = х-у; теорема доказана. Теорема 12: ху + у = х + у. Доказательство: ху + у = ху + + у (х + х) = ху + ух + ух — ху + ху + ху + ух — х (у + у) + + у (х + х) = х -f у; теорема доказана. Теорема 13: (х + у) (х + г) = х + уг. Доказательство: (х + у) (х + г) = хх + хг + ух + уг = хх + хг + хх + ух + + уг = х + хг + х + ух + уг = х (1 + z) + х (1 + у) + уг = = х-1 + х 1 -f уг = х + уг; теорема доказана.

Теорема 14: (х + у) (х + г) = хг + ху. Доказательство: (х + у) (х Ч- z) = хх + хг + ух + уг = О Ч- хг + ух + уг = = хг + ху; теорема доказана.

Теоремы для п переменных Инверсные соотношения в общем виде выражаются теоремой Де Моргана. Теорема 16: (хг + xz + х3 Ч h хп) = х1-'хг-'х3 хп. Доказательство: вначале это равенство докажем для случая, когда п = 2. А. (*! Ч- xt) =x1-xt. Доказательство:

х, Xt х, х, + х, (х, + х,) *»•*«

1100 1 О О

Так как столбец (j^ Ч- х^) и столбец хг-хл совпадают, то (*! Ч- xt) — xl-x.t; теорема доказана. Б. п = 3; (*! Ч- хг Ч- х3) = х^-хг-хя. Сделаем замену у — xl + Ч- £2._Тогда (у + х3) = ~y-xs. С другой стороны, ~у == (х^ +_xt) = = ДГ]Х2. Окончательно (у + х3) — (хг + xt + Хз) == Xi-xt-x3._До- пустим, ЧТО ДЛЯ (*! Ч- Хг + Х3 Ч 1- *„_!) = Xi-Xt-X, Xn-i\ теорема доказана. Докажем теорему для п переменных (х^ Ч- х3 Ч- хя Ч- • • • Ч- хп) = = хг • jc2 • х3 хп. Сделаем замену y=x1 + xt + х3 Ч— • Ч- J^n-i- Тогда (л:г Ч- xt + xa Ч Ь -УД^ Ч- хп) = (у Ч- х„)_=_у-д:п. Подставив значение «/, получим (xt + xt Ч h xn) = ^-х,- • • • jcn; теорема доказана. _ _ _ Теорема 17: (Xi-xt-x3 хп) — xt + xt + xa Ч Ь хп. Доказательство: для п = 2 докажем способом перебора возмож- ных значений.

xt х, Xt X, XfX, (x, xt) Xt + Xt

151

Так как столбец (xt-xt) и столбец (xl + xt) совпадают, то = *i + Xf Случай для п = 2 доказан. _ Для п — 3_(^1-х4-^в)_= дсх + xt + х3. Сделаем замену г/ = = *!*„ тогда у =!t1 + "xt. Получим (х^х^'х,) = ~у + хя = *i + -f *«•+ *3. Допустим, что_ для_(л — 1) теорема доказана, т. е. (*1-*»'*8 ••• *n-i) = хг + xt + х3-\ 1- *п-1- Докажем теорему для п переменных. Сделаем замену у = xt-xt-xa-... • лсп_1( тогда у = (;улу ... -^n-j) = *г _+ _*4 + .г +_^_i. Получим (.V-V ... •*„-!•*„) = (z/-*n) = У + хп = *г + xt + ... + *n_i + + хп; теорема доказана. Обобщение этих двух теорем для релейных цепей можно запи- сать в следующем виде:

Теорема Де Моргана в виде этого равенства показывает, что инверсия любой функции получается заменой каждой переменной ее инверсией и одновременно взаимной заменой символов логиче- ского сложения и логического умножения. Выполнение этих опе- раций требует внимания, так как функции в том виде, в каком их обычно записывают, содержат как явные, так и неявные скобки. Группировки членов, выраженные скобками, следует придержи- ваться и при выполнении операций, указанных в выражении. Пример;/ (*!, *а, xs, У«)=_ХХ (х, + *л) + Х3х2; /J^, хг, х^ х4) = ((x = (у + г) = уг, где у= xt (х, + xtxj н z = х3х». Откуда г = = *3 + ха, у = (*! (ха + х«хг))- Сделав еще замену а = х9+ xlil, получим у = (ija) = Xi -\-а, где а = (xs -f- х4хг) = х3 (xt -f- хг). Окончательно получим р = xs -f *s (х4-Ь х»), /(х,, х„ х„ Х4)= [xj.4- xa (x4-f xt)\ [x,+ x,J. Понятие инверсии особенно важно для синтеза и преобразова- ния структуры релейных устройств. Оно выражает ту мысль, что в двузначных системах для каждой структуры существует дру- гая структура, которая имеет действие, в точности инверсное ис- ходной. Иногда легче построить структуру, действие которой противоположно исходному, и затем взять ее инверсию для полу- чения нужной структуры. В целях краткости для представления любой функции п пере- менных воспользуемся следующей формой записи: / (хг, xt, ..., хп). Любую релейную функцию п переменных можно разложить в ряд на основании теоремы разложения, которая выражается в двой- ственной форме следующим образом: f(xlt % . . ., xn) = xrf(l, хг ..... xn)-Mi-/(0, x ...... хп) (4.1)

xn)]. (4.2)

Докажем разложение по формуле (4.1). Доказательство за- ключается в том, что *! нужно придавать значения 0 и 1; если ра- венство (4.1) превратится в тождество, то формула разложения справедлива. Допустим, что хх = 1, тогда xt = 0. Подставив в ра- венство (4.1) значение xl= \, получим /(1, xt ..... *») *=!•/(!. *, ..... *п) + 0-/(0, xt ..... *„) = = /0,*i ..... *»)• (4-3) Теперь допустим, что дсх = 0, тогда jet = 1. Подставив в ра- венство (4.1) значение хг = 0, получим /(О, х, ..... *„)=0;/(1, х ...... = /(0, хг ..... хп). (4.4) Тождества (4.3) и (4.4) доказывают теорему разложения по фор- муле (4.1). Докажем разложение по формуле (4.2). Доказательство в этом случае аналогично первой теореме. Для хг = 1 и jq = 0: /О, х, ..... хп) = [1 + /(О, *2, ...,*„)] •[() + / (1, хг ..... хп)] = = !•/ (1, ха, ..., х„) = / (1, х2, .... хп). Для *! = О и ^ = 1: /(О, *2 ..... хп) = [0 + /(0, *,, ...,хп)Ы1 + /0, xt ..... jtn)J - = !•/ (О, дг2, .... *я) == / (0, х2, .... лг„). Таким образом, теорема разложения по формуле (4.2) дока- зана. Говорят, что релейная функция / (xlt хг, ..., хп) разложена по xlt если она представлена в виде (4.1) или (4.2). Аналогичные выражения можно записать для представления разложений по любой из (п — 1) переменных. Следует отметить, что в разложе- нии по Xi в формуле (4.1) коэффициенты при хг и хг — суть функ- ции остальных (п — 1) переменных. Эти коэффициенты можно по аналогии разложить по любой из оставшихся переменных (xz, x3, ..., хп). Точно так же и в формуле (4.2) аддитивные члены в правой части равенства в каждой скобке есть функции перемен- ных (xt, xa, .... хп) и могут быть разложены по любой из этих пере- менных. Если продолжать процесс разложения последовательно по каждой из п переменных, то получим окончательно полное раз- ложение в ряд. Формула (4.1) приводит к разложению в ряде в виде суммы произведений, каждый член которой содержит каждую из л переменных или ее инверсию. Формула (4.2) приводит к произве- дению сумм, и в каждую сумму входит также каждая переменная или ее инверсия. Полученные таким образом полные разложения будем называть стандартными формами релейной функции. Если функция разложена на основе формулы (4.1), то полученное выра- жение будет соответствовать так называемой совершенной дизъюнк- тивной нормальной форме представления релейных функций. При использовании формулы (4.2) полное разложение приводит к совершенной конъюнктивной нормальной форме.

Пример. Рассмотрим функцию двух переменных.

х,ха/ (1, 1) + flXj (1,0)+

= 1 + 0 Допустим, что / (XL ха) = X! + ха. Тогда / (1 , 1) = 1 + 1 = 1 ; / (1 , 0) = 1; /(0. 1) = 0+ 1 = 1; /(О, 0) = Х1Х,-0 = / (0, 1) + / (1 , 1) 0+ 0 = 0; (0. 0)] = J (О, О). 1 + Xi,' Разложим функцию двух переменных по формуле (4.2): / (хь хг) = [х,+ + /(0,*,)1 [х1+/(1,х„)]= Ui + Us+/(0, 0))Ц+/(0, 1))] [*! + /(1, 0)) (*,+ /(!, 0)1 = [х,+ х,+ /(0, 0)] k-f х2+ /(0, 1)] /(1, 0)] Ui+ Jej+ /(I, 1)1 [использована теорема (х+у)(х+г) =

~* Допустим, что /(х1( xs) = Xj+ *,. Тогда/ (1,1) = !;/(!, 0)=1;/(0, 1)=1; /(0. 0) = 0, /(*ь X2)=x1+x4=(xt+x,+ 0)(x1+ ж,+ !)(*!+ х»+ 1)Х ,) 1-1-1 =х1+х,. При преобразовании структур дискретных автоматов полезно использовать следующие соотношения:

xt,

Конституента единицы и нуля Конституента единицы — это такая функция, которая принимает значение единицы только для одной комбина- ции значений переменных, а для остальных комбинаций значений переменных она равна нулю. Из определения следует, что для од- ной переменной имеются две конституенты единицы. Конституента единицы для нулевого значения переменной х будет /С0 = х, а для единичного значения переменной х — Кг = х (табл. 4.2). Для двух переменных или для однотактного дискретного автомата с двумя входами имеются четыре конституенты единицы (табл. 4.3). В общем случае для п переменных можно составить 2" функций конституенты единицы, так как из значений п переменных можно составить 2" комбинаций. Функция конституенты единицы для заданной комбинации входных переменных {ап, ап.ъ .... ах} образуется по следующей фор- муле: /Сг = х„•*„_!• ... -XL где 1xt, если at = 1; xt, если at = 0, где J-1,2 л. Например, функция консти- туентЪ единицы пяти перемен- ных для комбинации {0; 1; 1; 4.2. Конституенты единицы одной переменной X 0 1 X 1 0 к. . 1 - 0 /с. 0 1

4.3. Конституенты единицы двух переменных

Xl

0 0 1 1

х,

0 1 0 1

ii

1 1 0 0

*1

1 0 1 0

Ко

1 0 0 0

к,

0 1 0 0

к,

0 0 1 0

к,

0 0 0 1

*.*!

1 0 0 0

*1*1

0 1 0 0

х,х,

0 0 1 0

Х|Х,

0 0 0 1

Конституента единицы

Комби- нация

0; 0 0; 1 1;0 1; 1

Формула

*Г*1 *!•*! *«•*! *«•*!

0; 1| будет /С = Jc6-*4'JW*i. так как *» — *в (ав = 0), xt = = *4 (<Z4 = 1), Х3 = Х3 («8 = 0, *2 = *2 («2 = 0), *! = *! (ах = 1). Конституента нуля — это такая функция, которая принимает значение нуля только для одной комбинации значений перемен- ных, а для остальных комбинаций значений переменных она равна единице. Для одной переменной имеются две конституенты нуля. Конституента нуля для нулевого значения переменной будет равна 90 = х, а для единичного значения бх = х (табл. 4.4). Для двух переменных имеются четыре конституенты нуля (табл. 4.5). В общем случае для п переменных можно составить 2п функций конституенты нуля, т. е. из значений п переменных можно со- ставить 2п комбинаций. Функция конституенты нуля для задан- ной комбинации входных переменных {«„, ап_! ..... ог} образуется по следующей формуле: 04 = = Хп + ^n-i +. xt, если xh если = 1, 2 .+ Хп, ГДе -i — 0; -i = 1, где i — л. 4.4. Конституенты нуля одной переменной

Например, функция консти- туенты нуля шести переменных

X

0 1

X

1 0

в.

0 1

в,

1 0

4.5. Конституенты нуля двух переменных

*i

0 0 1 1

х\

0 1 0 1

х,

1 I 0 0

z\

1 0 1 0

и.

0 ь 1 1

0J

1 0 1 1

в,

1 1 0 1

«I

1 1 1 0

Xt-1-x,

0 1 1 1

Х|Н-*1

1 0 1 1

X"l~t~*i

1 1 0 I

«.4-х,

1 1 1 0

Конституента нуля

Комби- нация

0; 0} 0' 1 ) 1; 0 1:1}

Формула

Хя t~ JCj

*3 ~Ь *1 ij + Хг х,+ Ъ

155

для комбинации {0; 1; 1; 0; 1; 0} будет 8 + xt + xit так как xt — xt(at — 0), xt (о, = 1), X, » ха (о, = 0), ^ = х, (се,

xt + хь + xt + xs (а.ь = 1), = 1), *t = ^ = 0).

Понятие включения и его схемная интерпретация Рассмотрим понятие включения аглебры логики / с: ф, которое означает, что всякое значение / есть значение ф или множество значений ф включает /, т. е. числовое значение Ф > /. Понятие включение в смысле алгебры релейных цепей оз- начает, что если / — некоторая функция от п переменных, то функция ф содержит все конституенты единицы функции / и плюс еще какие-то конституенты единицы от тех же переменных. Дру- гими словами, для всех комбинаций переменных, когда функция / равна единице, для этих комбинаций переменных функция ф равна единице и существуют еще какие-то комбинации перемен- ных, для которых функция ф равна единице, а функция / равна нулю. Если, например, сравнивать функции ф == хг + хг и / = хгхг, то, как вытекает из разложения в ряд функций Ф и /, функция ф содержит три конституенты единицы (Ki = х^, Kt — хгхг, К9 — а функция / содержит одну конституенту единицы (К3 — т. е. х±Хъ с: (х1 + xz). Также можно показать, что х^г с: с:*!,;^ ах2, xz cz; (^1+ хг) и т. д. Иначе говоря, включение f с: ф означает, что / не больше ф или / меньше или равно ф. Поэтому для включения вместо знака с: можно использовать знак >- или •<. В смысле контактных схем можно сказать, что если функции Д и /2 проводимости двух релейных структур связаны соотноше- нием /! -^ /2, то при всех возможных состояниях входов этих уст- ройств либо у обоих устройств на выходе будут сигналы, или они будут отсутствовать (/t = fz), либо на выходе устройства с функ- цией /а будет сигнал, а на выхо- де устройства с функцией ft не будет сигнала. Но не может быть такого состояния входа, чтобы на выходе устройства /х был сигнал, а на выходе уст- ройства /г не было сигнала. По- нятие включения позволяет уп- ростить релейную функцию ст- руктур. Свойства понятия вклю- чения приведены на рис. 4.6. Включение '• 4ZJ— -41 а I Ь Рис. 4,6. Схемная интерпретация вклю- чения для релейно-контактных схем: а — одной переменной; б — двух пере-