2 Теория автоматического 33 управления

а с другой стороны, быть по возможности простой, чтобы не услож- нять исследование. Для получения математической модели в теории автоматиче- ского управления используют один из двух путей: 1. Получение системы дифференциальных уравнений на основе аналитического анализа процессов (физических, механических и др.) или экспериментальным путем. 2. Получение косвенных оценок динамических процессов, к которым относятся передаточные функции, временные характе- ристики, частотные характеристики. Описание процессов с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения являются основным математиче- ским аппаратом линейных детерминированных систем. Необхо- димость использования этого аппарата обусловлена тем, что боль- шинство физических элементов САУ обладают свойством в одни моменты времени накапливать, а в другие моменты времени от- давать энергию и различные вещества. Например, процесс реза- ния, сопровождающийся упругими деформациями элементов тех- нологической системы при наличии трения и инерционных масс, может быть описан определенными дифференциальными урав- нениями. В общем случае при осуществлении движения поДачи в тех- нологической системе появляются силы, вызывающие деформа- ции; детали системы в процессе резания стремятся вернуться в свое исходное состояние, преодолевая при этим силы сопротив- ления вязкой среды. Наличие масс и нелинейностей усложняют рассмотрение протекания процесса, однако, как выяснилось, влиянием масс можно в ряде случаев пренебречь. При этом усло- вии процесс в основном определяется упругими деформациями и вязким трением. С известной степенью приближения при малых отклонениях технологическая система может быть линеаризована, если в ней нет существенных нелинейностей, например зазоров, свободного хода и др. При оценке динамических свойств системы в качестве входной величины удобно рассматривать подачу режущего ин- струмента. Выходной величиной могут быть различные переме- щения, что подсказывается удобством встраивания первичного чувствительного элемента—датчи- ка. В случае обработки вала на токарном станке при отсчете вход- ной и выходной величины от одной и той же базы (рис. 2.10), напри- мер, относительно станины станка можно отметить, что если бы систе- ма была статична (т. е. не происхо- дило бы резания), то для подачи резцедержателя на величину хвх У-, У он, Рис. 2.10. Модель механической об- работки резанием на токарном станке 34

потребовалась бы сила FM, пропорциональная этому перемеще- нию для преодоления упругих сил, развиваемых в результате из- гиба резца с жесткостью /,. Жесткость детали несоизмеримо боль- ше, и поэтому полагаем, что (/г = со) — FBX = /4хвх. Но для любого момента времени, вследствие динамики явле- ния, сила, вызывающая деформирование резца, оказывается про- порциональной величине уг = хп — *ВЫх. являющейся стрелой прогиба резца, закрепленного как консоль. Таким образом, для любого момента времени к резцу приложена сила Ft = /j#i = — /i (*вх — f/аых)- Силой, направленной в обратном направлении, является прежде всего сила резания, пропорциональная при про- чих равных условиях производной от величины увых: Р = CdyBbIX/df, где С — коэффициент пропорциональности, значение которого подлежит дальнейшему уточнению; увых — текущая величина. В системе, строго говоря, действует и сила инерции, обуслов- ленная наличием некоторой массы: / = тЛ/ВЫхА^8, где т — некоторая приведенная масса системы «резец — резцедержатель»; d?y*va./dt2 — ускорение в точке, где 1/вых — текущая величина. Уравнение сил в общем виде Рг = Р -f f или /, (JCBX — 1/вых) == = С dy^Jdt + nuPywJdt*. При токарной обработке осевая сила (датчики контролируют перемещения в осевом направлении) P = CPt*p*Sl'p*vlp*KMo -9,81. * рж Если ур = 1, а продольная подача на оборот детали S = = К dyvtaJdi, то при условии, что СРХ, КмРх, ХРХ, ПРХ приняты постоянными, определяемыми режимом обработки, материалами детали и резца и другими условиями, С = Ср t р*К.мр К, где К — некоторая постоянная величина. Из уравнения сил полу- чим /2хвх = md2t/8blx/d^ + С dywJdt + /аг/Вых и после деления на / с введением обозначений т//а = 7\ и С//а = Т имеем

Полученное дифференциальное уравнение указывает на то, что рассматриваемая технологическая система представляет собой звено второго порядка. Это теоретически означает возможность появления затухающего колебательного переходного процесса, но на практике вследствие малости приведенной массы т и иногда возникающих незначительных ускорений величиной TWeux/^2 вполне можно пренебречь, на что указывают экспериментальные- данные, полученные в результате осциллографирования процесса токарной обработки. Уравнение движения поэтому может быть переписано так: дгвх = Т dyvtn/dt +Увых1 это указывает на возможность пред- ставления рассматриваемой технологической системы как не- 2* 35

которого апериодического звена с передаточным коэффициентом К = 1 и постоянной времени Т = С//2. Конечные результаты выполнения технологических процес- сов механической обработки во многом зависят от динамических качеств станочных систем. К основным показателям качества относятся запас устойчивое™, реакция системы на внешние воз- действия, быстродействие, продолжительность переходных про- цессов и др. Потеря устойчивости характеризуется изменением режима работы станка (появление вибраций, неравномерных, скачкообразных перемещений узлов). При обработке происходит силовой контакт между режущим инструментом и заготовкой при одновременном изменении их взаимного положения. Под действием силы резания и других сил, сопутствующих процессу обработки, а также создаваемых ими моментов, детали, входящие в технологическую систему, дефор- мируются. При этом изменение относительной деформации между инструментом и заготовкой при изменении их взаимного положе- ния непосредственно влияет на геометрическую точность полу- чаемой детали и', следовательно, на точность станка. В зависимости от связи колебательных систем узлов станка, механизма главного движения и механизма движения подач детали могут колебаться независимо друг от друга или оказы- вать влияние друг на друга. Для того чтобы станок работал точно и его колебания были ми- нимальны, следует решать систему станок—приспособление— инструмент—заготовка так, чтобы статические и динамические изменения в измерительных звеньях были такими же, как и между инструментом и заготовкой. Допустимое значение этой раз- ности определяют исходя из заданной геометрической и рабочей точности и динамической устойчивости станка в зависимости от положения инструмента и заданной мощности резания. На основа- нии этого определяют необходимую статическую и динамическую жесткость станка. Рассмотрим, например, методику определения вынужденных колебаний плоскошлифовального станка. Введем допущение: за- готовка обладает бесконечно большей жесткостью по сравнению с жесткостью шлифовального круга. Определяем силовые воздей- ствия и (t) на заготовку дисбаланса шлифовального круга и из- менение yt (t) глубины резания вследствие эксцентриситета круга. В данном случае станок можно представить в виде системы с одной степенью свободы, где переменной состояния является величина </ (0 относительно положения шлифовального круга и заготовки. На основании принципа Даламбера поведение системы опи- сывает система обычных дифференциальных уравнений вида

mq (t) + nil (t) + jag (t) = P (t) + и (t);

где m — приведенная масса; п — коэффициент демпфирования; /п — жесткость подсистемы; Р (/) — изменение силы резания; К — коэффициент пропорциональности. Используя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, это уравнение приводят к виду

где q (р), Р (р), и (р), yt (p) — преобразование Лапласа перемен- ных q (t), Р (t), и (t), yt (t); p — комплексная переменная. Подставляя в полученную систему выражения т//п = Т*, п/] = 2£ДТ, где £д — коэффициент демпфирования, и k = 1//п, после преобразований находят передаточную функцию q системы W(p): Я (Р) =

Звенья системы станка представляют в виде передаточных функций. Строят частотные характеристики на основе передаточ- ной функции с заменой параметра р на /со, где/ — мнимая единица; ш — частота. Для передаточной функции W (р) частотная характе- ристика имеет вид

После разделения на действительную и мнимую части переда- точная функция примет вид

Математическое описание динамики САУ обычно производится путем составления системы дифференциальных (иногда интегро- дифференциальных) уравнений. Строго говоря, любая реальная динамическая система является нелинейной. Однако большинство непрерывных систем управления могут быть линеаризованы, т. е. заменены приближенно эквивалентными системами, переходные процессы в которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициен- тами. Такие системы управления принято называть линейными. Линеаризация исходных систем основывается на методе малых отклонений. Сущность этого метода заключается в том, что дина- мические свойства системы управления исследуются не во всем возможном диапазоне изменения переменных систем, а вблизи их некоторых значений, соответствующих характерным режимам работы (например, установившимся режимам). 37

Составление и линеаризацию уравнений обычно проводят по отдельным звеньям. Разлагая в ряд Тейлора непрерывную анали- тическую функцию, связывающую переменные звеньев и их про- изводные, и отбрасывая члены второго и высших порядков малости, получим линейное уравнение звена. Для заданной функции

При у9 = 0 ряд Тейлора имеет вид

Рассмотрим систему, которая описывается дифференциальным уравнением второго порядка F(y,y,y,x) = Q. ' (2.2) После линеаризации в окрестности заданной точки (#„, уи, Уо> *о) получим floA£-h а1Д#-(-а1Д0 + &оДх = 0, (2.3) где &$ = у — у0; &у = у — у0; &у = у — у0; Ьх = х — хв; а„ = дР Индекс «ноль» означает, что производные вычисляются в задан- ной точке, которой соответствует определенный номинальный (заданный) процесс. Полученное уравнение по отношению к исход- ному называют линеаризованным, а процесс перехода от исходного уравнения к линеаризованному — линеаризацией. Обычная лине- аризация возможна, если функция, описывающая нелинейную , зависимость, является гладкой. Примем, что при постоянном входном воздействии х — х0 при / стремящемся к со выходная величина устанавливается и прини- мает постоянное значение х0. Тогда в установившемся режиме у — = 0, у — 0 и уравнение принимает вид F' (0, 0, $0, х0) = 0. Это уравнение называют уравнением статики в отличие от исходного, которое называют уравнением динамики. Коэффициенты линеари- зованного уравнения являются постоянными, так как величины Уо, ха не зависят от времени и время не входит в исходное уравне- ние. ' Ограничения, накладываемые на уравнение (2.2) для получения уравнения (2.3), следующие: отклонения Д»7, Д«/, Д#, Дх достаточно малы; функция F обладает непрерывными частными производными по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей задан- ному режиму. При несоблюдении хотя бы одного условия линеари- зацию проводить нельзя.

38

Геометрически линеаризация нелиней- у ной зависимости между двумя перемен- ными (рис. 2.11) означает замену исход- ной кривой АВ отрезком касательной CD *" к А В в точке С, соответствующей задан- ному режиму и переносу начала коор- динат в эту точку. о Таким образом, полученное алгебраи- Yo Y ческое уравнение является аналогом урав- Рис 2.11. Графическая нения (2.2), описывающего поведение объ- интерпретация процеду- екта в малой области изменения ко- Ры линеаризации ординат относительно установившегося режима (например, равновесного, характеризуемого значе- ниями *0, у0). Полученное уравнение динамики, связывающее отклонение координат, имеет силу для малых изменений координат и в отличие от исходного относится к классу линейных обыкновен- ных уравнений, анализ которых существенно проще. Это главное преимущество, которое дает линеаризация. Описание процессов через передаточные функции. Дифферен- циальное уравнение звена САУ в общем виде запишем так:

.+ to, (2.4)

где у — выходная величина звена (в отклонениях от состояния равновесия); х — входная величина звена (в отклонениях от состояния равновесия); а„, ап_ь ..., аь а0, bm, bm-lt ..., Ьь Ь0 — постоянные коэффициенты, определяемые конструктивными осо- бенностями и параметрами звена. Так как аналитическое решение дифференциального уравнения в общем случае является трудоемкой задачей, то в современной теории управления широко используют средства описания дина- мических свойств системы через преобразование Лапласа, что удоб- нее для практического применения. Основанием для этого служит то обстоятельство, что такое преобразование существенно облег- чает исследование сложных систем, заменяя дифференциальные уравнения алгебраическими. В частности, при решении дифферен- циальных уравнений систем преобразование Лапласа позволяет легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкла- док, связанных с вычислением постоянных интегрирования. Достаточно просто решаются также неоднородные уравнения, позволяющие учитывать влияние возмущений на динамику про- цессов. 39

Если в уравнение (2.4), содержащее функции времени у (t) и х (t), ввести функции х (р) и у (р) комплексного переменного р, поставив условием, что эти функции связаны зависимостями

СО 00 У (Р) = [ У (t) е-" dt, х (р) = J x (t) ег* dt, (2.5)

то оказывается, что дифференциальное уравнение, содержащее функции у (t) и х (0, равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему функции у (р) и х (р): а*-*Р"~1У (РН ----- 1- fliW (Р) + о,» (Р) = *mPm* (Р) + «х (р) + • • • + MX (р) + box (р). (2.6) Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называют преобразованием Лапласа, интеграл (2.5) — интегралом Лапласа, комплексное переменное р — оператором. Сообразно с этим алге- браическое уравнение (2.6) является записью исходного диффе- ренциального уравнения (2.4) в операторной форме. Функцию у (р) называют изображением функции у (t), а функ- цию у (t) — оригиналом функции у (р). Операция перехода от исходной функции у (t) к ее изображению у (р) (нахождение изобра- жения по оригиналу) называют прямым преобразованием Лапласа. Математически прямое преобразование Лапласа записывают ус- ловно с помощью символа L [у (t) ] = у (р). Операцию перехода от изображения у (р) к искомой функции у (t) (нахождение ориги- нала по изображению) называют обратным преобразованием Лап- ласа. Математически обратное преобразование Лапласа записы- вают с помощью символа L"1 [у (р)] — х (t). Практически переход от дифференциального уравнения к алгебраическому происходит без каких-либо вычислений. Если сравнить уравнение (2.4) с уравнением (2.6), то. нетрудно заметить, что формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому операторному уравнению при нулевых началь- ных условиях 1 получают путем замены символов дифференци- рования оригиналов функций dn/dtn, dn~l/dfl~l, ..., d/dt соответ- ственно символами р", рп~1, ..., р и функций у (t) — их изображе- ниями у (р). С оператором р можно, как и с другими членами алге- браического уравнения, производить различные действия (умно- жение, деление, вынесение за скобки и т. д.). Возможность записи дифференциального уравнения в операторной алгебраической форме значительно упрощает все расчеты. Каждое звено САУ в общем случае описывается дифференци- альным уравнением вида (2.4). Следовательно, при выводе диффе-

1 Нулевые начальные условия для дифференциального уравнения п-го порядка характеризуются тем, что для 1 = 0 значения самой функции у (t) и всех ее производных равны нулю.

ренциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших поряд- ков. Запись дифференциальных уравнений в операторной форме позволяет свести задачу к решению системы алгебраических урав- нений. Определив из алгебраических уравнений изображение у (р) искомой функции у (t), определяющей переходной процесс в системе, находят эту функцию, пользуясь таблицами формул изображений функций, или графическим путем. Кроме того, запись дифференциальных уравнений звеньев системы в операторной фор- ме дает возможность ввести удобное понятие передаточной функ- ции, характеризующей звено системы. С помощью передаточных функции расчет САУ еще более упрощается и становится доступ- ным широкому кругу инженеров, не требуя применения сложного математического аппарата. Вынесем в уравнении (2.6) у (р) и х (р) за скобки и получим

(апрп + an-iPn~l -\ ----- h <*iP + а0) У (Р) = e) х (р). (2.7)

Определим из уравнения (2.7) отношение изображения выход- ной величины к изображению входной

Отношение W (р) изображения выходной величины системы к изображению его входной величины называют передаточной функцией системы. Соответственно отношение изображения выход- ной величины звена к> изображению его входной величины назы- вают передаточной функцией звена. Передаточная функция W (р) является дробно-рациональной функцией оператора р: W (р) = = Q (р)/Р (р), где Р (р) = алр" + ап-1рп~* + ... + а# + а„ — оператор левой части дифференциального уравнения; Q (р) = — bmpm + bm-ipm~l + ... + bip + Ь0 — оператор правой части уравнения. Из уравнения (2.5) следует, что передаточная функция звена системы W (р) и изображение его выходной величины опре- деляют изображение выходной величины у (р) = W (p)x (р). При рассмотрении типовых динамических звеньев часто встре- чаются функциональные зависимости, приведенные на рис. 2.12. Определим лапласово изображение этих функций. Изображение единичной функции х (0 = 1 :

41

в) Рис. 2.12. Типовые функциональные зависимости:

г)

а— единичная функция; б — экспонента вида е ; » — экспонента вида Ч1 — > t — непрерывно возрастающая функция

Изображение экспоненты вида х (t) = е~'/т:

F(p) =

2.1. Преобразование Лапласа АЛЯ типовых математических операций

МО (оригинал) (изображен ве)

<*"[/(/)! p" ^ (/>) - tp"-1/ (0) + p"-2/' (0) +

/(/-а)

* Если начальное значение интеграла от оригинала равно нулю.

2.2. Преобразование Лапласа для функций, часто встречающихся в задачах управления

МО (оригинал)

в (/) (импульсная функция)

[1] (единичная функция)

А [1]

±0/ ' t

f

(изображение)

1

1 Р

А

Р 1 р±а 1

2 Р»

МО % (оригинал)

ПН/-0)

JL (1 -е-)

sin ш/

е-*' cos «о/

(изображен не)

~е

~/Г \ р + а/ ш р'+в»» р р*+ о»*

Jt? i~ СЬ (р + о)1 + ш* а (Р + «)«+«•

Изображение экспоненты вида х (t)

00 00 F (р) = f е-"' (1 - e-'/O d/ = J e-"' d/ - j e~ 0 00 1 T I 1 — е~'/г: ("+1/r> P 1 + PT~ Изображение непрерывно возрастающей функции х (f) = Kt:

Преобразования Лапласа, часто используемые при расчетах САУ, приведены в табл. 2.1 и 2.2.

Типовые динамические звенья САУ может состоять из устройств, работающих на самых различных принципах. Нередки сочетания, когда в системе наряду с механическими устройствами (например, редук- тором) имеются электромеханические, (электродвигатели, реле, электромагниты и др.), гидравлические электронные и другие устройства. Независимо от физических принципов их работы все многообразие устройств, используемых в САУ, с точки зрения теории автоматического управления, может быть сведено к срав- нительно небольшому числу так называемых типовых динамичес- ких звеньев. 43

Принадлежность к тому или иному типу динамического звеня определяется дифференциальным уравнением движения звена, связывающего входную и выходную величины устройства, изме- няющиеся во времени по определенным законам. Иными словами, если какие-то различные устройства относятся к одному типу звена, то при действии на входе этих устройств некоторых величин х (t), меняющихся по закону у (t), на выходе будут действовать величины у, меняющиеся только по закону у (t), Для звеньев другого типа при том же изменении входной вели- чины по закону х (t) выходная величина должна меняться по дру- гому, отличному от первого случая закону у (t). Следует заметить, что некоторые устройства представляют собой комплекс типовых звеньев, соединенных тем или иным способом (например, электро- двигатель в ряде случаев представляется двумя типовыми звень- ями); некоторые технологические системы удобно представлять как комбинацию типовых звеньев, число которых может доходить до трех-четырех. Стандартная форма записи линейных дифференциальных урав- нении. Большинство конструктивных элементов систем описы- вают уравнениями первого или второго порядка. Линейные диф- ференциальные уравнения с постоянным коэффициентом не выше второго порядка обычно записывают в стандартной форме. Правило записи. Члены, содержащие выходную величину и ее производные, записывают в левой части уравнения, а все осталь- ные члены — в правой; коэффициент при выходной величине де- лают равным единице делением обоих частей уравнения на коэффи- циент при этом члене. Если в правой части содержатся производ- ные, то члены, содержащие какую-либо входную величину и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соот- ветствующей входной величине выносят за скобки: агу = Ь0х +

Коэффициенты при производных имеют размерность времени и степень их совпадает с порядком производной. Эти коэффициенты называют постоянными времени Т, т. е. OO/GJ = То, а\/О2 = Т\,

Коэффициенты Ki = bi/Oa и /С2 = С0/а^ являются передаточ- ными коэффициентами. В результате такого преобразования получаем запись (Tip* + Tip + l)y(p) = Ki (T2p + \)x(p)+K#(p). Это и будет стандартная форма записи через постоянные вре- мени и передаточные коэффициенты. Для элементов, описываемых уравнениями первого или второго порядка, введем классификацию звеньев на основе вида и порядка оператора. Первый признак

Рис. 2.13. Линейная САУ под воздействием гармонического возмущения

оператора (порядок старшей производной) — нулевой, первый и второй. Второй признак — вид собственного оператора. По этому признаку введены следующие типовые звенья: усилительное (про- порциональное, безынерционное) звено у (р) = Кх (р); инерцион- ное (апериодическое, релаксационное) звено (Тр -4- 1) у (р) = = Кх (р); колебательное звено (Т\рг + Т2р + 1) у (р) = Кх (р); интегрирующее звено у (р) — (l/Tp) x (р); дифференцирующее зве- но у (р) = Трх (р); запаздывающее звено у (р) = е- ртх (р). Частотные характеристики. Важную роль при описании ли- нейных стационарных систем (звеньев) играют частотные характе- ристики, широко используемые при анализе и синтезе САУ (при- менительно как к отдельному звену, так и к системе в целом). Если на вход линейной разомкнутой системы или звена подать гармоническое возмущение (рис. 2.13), то по истечении некоторого времени после подачи такого возмущения, когда затухнут все движения, определяемые переходным процессом, на выходе звена или системы установится также гармоническое изменение выходной величины с той же частотой, которую имеет входная величина, но с иными амплитудой и фазой. Амплитуда и фаза на выходе при прочих равных условиях будут зависеть от частоты возмущающего воздействия. По этим характеристикам можно судить о динами- ческих свойствах не только звеньев, но и сложных замкнутых САУ. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно .действующих вход- ных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет ограничиться изучением систем только с одним входом. Рассмотрим несколько понятий, связанных с частотными характеристиками. Периодическое гармоническое возмущение в векторной форме может быть записано-так: x (t) = Xe'a', где е/шг __ cos ^ _j_ i sjn щ^ Последнее выражение представляет со- бой единичный вектор, у которого cos coi — вещественная часть, sin со? — мнимая часть, X — амплитуда, <ai — фазовое состояние процесса. По истечении переходного процесса на выходе разомкну- той системы установятся вынужденные периодические колебания, определяемые выражением у (t) = Уе< (шНч>) = уе''й)'е'Ч). По определению комплексный коэффициент усиления К. (/о>) получают из передаточной функции W (р) при подстановке в нее 45

вместо р -ч- /со: К (/<о) =» у (0/* (0 - Уе/ <«"-И'>/Хе'«>' = /С (<•>) е/«; здесь К (ш) = YfX зависит от частоты, так же как от частоты зависит и величина ср. Так как х (t) и у (t) векторы, то их можно изобразить на ком- плексной плоскости. Вектор будет изображен в виде отрезка, длина которого равна амплитуде (рис. 2.14): /С (/ш) = Re -f -f / Im, tg 9 => Im/Re, где Re — действительная часть, Im — мнимая часть. Таким образом, комплексный коэффициент усиле- ния есть векторная величина, модуль которой | К (/«>) | = = >/"Rea -f imr, а фаза ф = arctg (Im/Re) отсчитывается от дей- ствительной оси. При непрерывном изменении частоты происходит изменение модуля и фазы вектора. Конец вектора описывает на комплексной плоскости некоторую кривую, называемую годографом. Годо- граф — геометрическое место точек конца вектора комплексного коэффициента усиления на комплексной плоскрсти при изменении частоты от 0 до со. Значения частот откладываются непосредст- венно на годографе, который, таким образом, является ампли- тудно-фазочастотной характеристикой. Для определения модуля и фазы комплексного коэффициента усиления на заданной частоте следует соответствующую точку годографа соединить прямой с началом координат. Длина полученного отрезка соответствует в определенном масштабе модулю, а фаза определяется углом, образованным этой прямой и положительной полуосью действи- тельных величин (рис. 2.15). При расчетах систем пользуются логарифмической амплитудно- частотной (ЛАЧХ) и логарифмической фазочастотной (ЛФЧХ) характеристиками. В этом случае по горизонтальной оси откла- дывают частоту в логарифмическом масштабе, что позволяет отложить на заданном отрезке значительный диапазон частот. Эта наиболее удобная форма представления частотных характе- ристик для решения задач анализа и синтеза систем. Рассмотрим амплитудно-фазовую характеристику К (/ю) — К (со) е'*. Про- логарифмируем ее: In /С (/») = In /С (<о) + /ф (<о). На практике используют десятичные логарифмы lg К (у'со) = lg ^С (») + / §~зх X Ф (и), так как In N = lg tf/lg e = lg #/0,4329 = 2, 3 lg N. Рассмотрим координатную систему для такого представления (рис. 2.16). По оси абсцисс откладываем величину lg со. Ввводим

ffe Рис. 2.14. Характеристики комплекс- Рис. 2.15. Примеры годографов разом- ного коэффициента усиления кнутых САУ

Декада Декада х- А I i i i I i j |_| / Z 4- вЮ 20 +0 80 100

Рис. 2.16. Координатная система для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ

две единицы измерения: декаду, октаву. Декада — длина отрезка по оси абсцисс, соответствующая десятикратному изменению частоты. Число декад п„ = lg о>в/<он, где сов — крайняя высокая частота рассматриваемого диапазона; (OB — крайняя нижняя частота. Например, частотный диапазон от шя = 1 «г1 до <о„ = = 10 000 с"1 содержит четыре декады, так как lg 10* = 4. Первая декада — от 1 до 10 «г1, вторая — от 10 до 100 с"1; третья — от 100 до 1000 с-1 и т. д. Октава — длина отрезка по оси абсцисс, соответствующая двухкратному изменению частоты. В одной де- каде содержится 3,32 октавы. Декадный интервал применяют чаще. Фазу обычно откладывают по оси ординат в угловых градусах или в радианах. Ординатой амплитудно-частотной характеристики является не величина lg К. (со), а пропорциональная ей величина L (ю) в децибелах, L (ш) = 20 lg К (с*) (шкала равномерная). Точка пересечения с осью абсцисс соответствует К. (со) = 1. Использование логарифмического масштаба при построении ЛАЧХ обусловлено не столько значительными изменениями моду- ля комплексного коэффициента усиления, сколько возможностью осуществления графических методов расчета. При расчетах САУ часто приходится иметь дело с произведением коэффициентов усиления. А так как логарифм произведения равен сумме лога- рифмов, то при графических расчетах для получения произведения нескольких значений весьма удобно осуществить сложение их логарифмов. Удобство логарифмического масштаба по оси ординат в том, что на одном графике можно представить значения, отли- чающиеся на несколько порядков. Временные характеристики являются важными характери- стиками САУ. Это переходные и импульсные переходные функции и их графики. В реальных условиях входные сигналы могут иметь произвольный характер. Для исследования динамических свойств элементов и систем следует выбрать такие типовые возмущения, которые по возможности близко отражали бы наиболее сущест- венные особенности реальных возмущений. В теории САУ для определения динамических свойств звеньев (системы) в качестве входного сигнала применяют следующие типовые функции (рис. 2.17): единичный скачок (ступенчатая функция, например, подключения напряжения к звену или систе- ме, начало обработки на станке, возмущения в виде ударов в меха- нических системах и др.); единичный импульс (как правило, шумы, помехи); гармонический сигнал; степенные функции времени (линейные, квадратичные и др.). 47

t о

Рис. 2.17. Типовые функции входного сигнала Переходная функция системы (звена) — функция, описывающая изменение выходной величины системы (звена), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых началь- ных условиях. Переходную функцию обычно обозначают какЛ(0- Иначе, переходная функция h (t) — функция, описывающая реак- цию системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. График переходной функции назы- вают переходной характеристикой. Импульсная переходная функция системы (звена) — функция, описывающая реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. График импульс- ной переходной функции называют импульсной переходной харак- теристикой. Физически единичный импульс можно представить как очень узкий импульс единичной площади. Переходную функцию принято вписывать в прямоугольник, изображающий звено (рис. 2.18). Пропорциональное звено. К этим звеньям относятся все устрой- ства, для которых в любой момент времени выходная величина *(t) y(t) x(t)

y(t) x(t)

x(t) y(t)

x(t) y(t)

x(t)

e)

Jff) 3) Рис. 2.18. Условное изображение типовых динамических звеньев: а — пропорциональное; б — инерционное: в — интегрирующее: « — идеальное диффе- ревцврующе'г; д — реальное дифференцирующее; « — реальное дифференцирующее со статнзмом; ж — колебательное; з — запаздывающее

АЛ

пропорциональна входной. Вход- ная и выходная величины связаны зависимостью у (t) = Кх (t). На рис. 2.19 показаны примеры техни- ческих устройств, описываемых уравнением пропорционального звена. Алгебраизированное уравнение звена получается, если вместо оригиналов функции использо- вать их изображения: у (р) =

йых

Рис. 2.19. Примеры конструктив- ного исполнения пропорциональ- ного звена = К.х (р). Передаточная функция W (р) = у (р)/х (р) = К- Если предположить, что входной функцией является единичный скачок, то очевидно, что переходная функция h (t) = 0 при t < 0 и h {t) = = К при t > 0 (рис. 2.20, а), так как х (t) = 0 при t < 0 и х (t) = = 1 при t >• 0, т. е. переходная функция повторяет входную, но ордината будет в К. раз больше. Комплексный коэффициент усиле- ния К (/со) = /С- Так как комплексный коэффициент усиления содержит только действительную часть, равную К, а мнимая равна нулю, то аргумент вектора ф = 0, так как ф = arctg Im/Re = 0. Модуль комплексного коэффициента усиления

| К (/о) | = = /С.

Годограф звена (рис. 2.20, б) представляет точку на комплекс- ной плоскости, расположенную на оси действительных величин на расстоянии, равном К- Интерпретация годографа: с изменением частоты от нуля до бесконечности модуль вектора комплексного коэффициента усиления не меняется и остается равным /С; звено не вносит каких-либо фазовых сдвигов, так как при всех значениях

Я к

Jim L

20lqK

Рис. 2.20. Характеристики пропорционального звена: а — переходная; б — амплитудно-фазовая; в — ЛАЧХ и ЛФЧХ

49

частоты фазовый угол остается равным нулю (вектор совпадает с положительной полуосью действительных величин). Аналитическое выражение для ЛАЧХ: L = 20 lg | К (/со) I= = 20 lg К (рис. 2.20, в). Что касается фазовой характеристики, то поскольку ф = 0 для всех частот, то характеристика совпадает с осью частот. Инерционное звено. Звено называют инерционным, если связь между выходом и входом звена определяется дифференциаль- ным уравнением вида Tdy/dt + у (0 = Кх (f), где Т — постоянная времени звена; К — коэффициент усиления звена. Постоянная времени — динамическая характеристика звена, от которой зави- сит процесс перехода и, прежде всего, время установления. Для определения передаточной функции запишем алгебраизи- рованное уравнение, где вместо функций-оригиналов использо- ваны изображения функций, а символ d/dt заменен на множитель р — оператор Лапласа. Тогда Тру (р) + у (р) = Кх (р). Преобра- зуем у (р) (Тр + 1) = Кх (р) и найдем выражение для передаточ- ной функции W (р) = у (р)/х (р) = /(/(1 + рТ). Комплексный коэффициент усиления инерционного звена можно определить, если в дифференциальное уравнение движения звена подставить х (t) = Xelu>t и у (t) = Хе'«а'+')), т. е. положить, что входная и выходная величины — некоторые гармонически изменяющиеся величины, угловая частота со которых может изменяться от нуля до бесконечности. Продифференцируем dy/dt = /<оТУе/(т'+')>; уравнение прини- мает вид Ге/«•><+«» + /соГКе/<«"+ч» = /СХе/ш< или Уе/<ш'+1>>(1 + + /соТ) = KXtl"'; К (/со) = У (t)/x (t) = Yelw+n/Xtl»* = = Yelv/X = Kl(\ + /соГ). Построение годографа. В выражении К (/со) умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженный знаменатель (1 — /соТ), тогда К (/со) = К/(1 + соаТа) — — /ОГ/(1 + со2Га), где Re = К/(\ + соаГа), Im = —/СсоГ/(1 + • + со2Г2), так как К (/'">) = Re + /Im. Амплитудную и фазовую частотные функции определим, вос- пользовавшись правилом модулей и аргументов | К (/*>) I — = KRe2 + Im2 - RlV\ + ш2Га, а ф = arctg (Im/Re) = = —arctg ю/. Видно, что и модуль, и фаза являются некоторыми функциями от CD. При изменении частоты со от нуля до бесконеч- ности Re и Im принимают различные значения, что позволяет построить годограф звена. При со = 0 Re = К, Im = —0, при со = 1/Г Re = К/2, Im = —К/2. При со = оо Re = 0. Для раскрытия неопределенности Im при со = оо можно числитель и знаменатель выражения для Im разделить на соТ": Im = = /С/(1/соГ) + соГ = -0. Нет необходимости задавать большое число значения со для более точного построения годографа. Можно найти уравнения кри- вой годографа в канонической форме. Для этого следует рассмот- реть выражение Re* + Ima.

j 1m

0 К Re

*,У 1

К

в) Рис. 2.21. Характеристики инерционного звена: а — амплитудно-фазовая; б — ЛАЧХ и ЛФЧХ; в — переходная

Так как Re = tf/(l + <о*Г»), Im = /Со>Т/(1 + о1?4), то Re* + + Im» = /C*/(l + а»?11)» + К»со»:Г*/(1 + ««Т»)» = /CRe. Приба- вим к обеим частям равенства по /С*/4 и получим Re* — /CRe + 4- /Са/4 + Im* = /С*/4. Первые три члена левой части представ- ляют собой квадрат разности двух членов и уравнение перепишем так: (Re — /С/2)* + (1га — 0)* = (/С/2)*. Это уравнение окруж- ности, радиус которой равен /С/2, а центр ее расположен в точке А с координатами (/С/2, /0), т. е. годограф описывает кривую, пред- ставляющую собой полуокружность (рис. 2.21, а). Ось мнимых величин 1га является касательной к этой окружности. Фазовый угол меняется от нуля до —я/2. Модуль имеет наибольшее значе- ние, равное /С при <о = 0 и равное 0 при <о = оо. Аналитическое выражение для ЛАЧХ: L = 201g |/C(/<o)| = - 20 lg /С/У 1 + ю2Г* = 20 lg /( - 20 lg /I + со'Г*. ЛАЧХ со- стоит из двух слагаемых Lx = 20 lg /С, L, = — 201g У 1 + (о*Г*. Первое слагаемое не зависит от частоты, и поэтому графически ее изображают прямой (рис. 2.20, б), параллельной оси абсцисс с ординатой 201g /С. Для графического построения второго слагае- мого прибегают к приему, сущность которого сводится к замене некоторой плавной кривой La = f (lg со) двумя сопрягаемыми прямыми, одна из которых определяет изменение Ls в области низких частот, другая — в области высоких частот. Эти прямые являются асимптотами кривой Lt = / (lg <a), а полученную харак- теристику называют асимптотической ЛАЧХ. В области низких частот, где а>Т < 1, а «о*?4 ^ 1, L, = = —201g 1, так как при ш*Г* С 1, }Л -(-шаГ*= 1, т. е. величиной 51

пренебрегают по сравнению с единицей. Так как lg 1 = О, то в области низких частот L2« —0. Знак «—» имеет определенный смысл: строго говоря, характеристика проходит не на нулевом уровне, а в области отрицательных значений. В области частот, где о>Г > 1, а а>*Г > 1 и L2 « —201g u>T = — 201g <o —20 IgT, получаем уравнение прямой, так как аргументом является вели- чина lg со. Величина L2 = —0, т. е. L2 = £1. если lg соГ = О, а шТ = 1. Таким образом, прямые Lt и L2 сопрягаются там, где со0 = \/Т- Эту частоту принято называть частотой сопряжения. Поскольку прямая L2 определяется точкой с координатами L2 = 0 и о>с = 1/Г, то для ее построения достаточно определить угловой коэффициент прямой. Определим для этого изменение ординаты, приходящееся на одну декаду, т. е. рассмотрим значение L2 на частотах о»,- и 10<ос Li = —201g (о,Г, Ц = —201g 10 <д{Т = — 201g 10 — — 201g со.Т = —201g 10 + Z.2. Отсюда Ц — Ц = —20дБ. Следо- вательно, наклон составляет 20 дБ/дек. Для определения наибольшей ошибки, получаемой при замене точной ЛАЧХ (£т) асимптотической, определим AL при частоте ю0. В этом случае ордината асимптотической ЛАЧХ La = 20lg К, а ординату для точной ЛАЧХ определяют из условия, что со Г = 1, LT = 201g /С — 201g/l + 1 = 201g К — 3. Поправка к асимпто-' тической ЛАЧХ AZ, = La — Z,T = 3 дБ. В -ряде случаев этой поправкой пренебрегают. Аналитическое выражение ЛФЧХ: Ф = arctg Im/Re = arctg (—со Г) = —arctg соГ. При <о = 0 ф = О, при со = 1/Г, т. е. при частоте сопряжения о>Г = 1 ф = —я/4. В области низких частот инерционное звено не вносит замет- ного сдвига фаз, но в области высоких частот это звено вносит отставание по фазе, стремящееся к —л/2 рад (—90°). Если входная координата — единичная функция, изображением которой явля- ется х (р) = 1/р, то изображение выходной координаты, являю- щейся в этом случае переходной функцией, является у (р) — = х (р) W (р) = 1/рК/О + рТ) = К/р + р*Т. Предварительно было выяснено, что' если изображение у (р) — К/Р Н- Р2Т, то оригинал у (t) = К (1 — е~//г). На рис. 2.21, в представлено гра- фическое изображение этой функции. Кривая — экспонента, асим- птотически приближающаяся к прямой с ординатой, равной /С- Когда необходимо определить постоянную времени Т, можно, сняв кривую переходного процесса, например, осциллографирова- нием, по ней определить значение Т. Оказывается, что касатель- ная, проведенная к снятой кривой из начала координат, отсекает на прямой /С отрезок, равный Т. В самом деле, из треугольника Oab следует, что Ob = ab/tg а, но так как ab = К, то Ob = = Kytg а. Первая производная от функции определяет тангенс угла наклона касательной, поэтому tg а = dy/dt = К. (1/р) е~'/г и при t = 0 tg а = К/Т. Отсюда Ob = K/tg a = Т, но Ob = Ка, следовательно, /Са — Т.

Чем больше постоянная времени Т, тем медленнее протекает процесс, тем более полога экспонента. Если Т является малой величиной и, скажем, Г стремится к 0, то экспонента уподобляется скачкообразно меняющейся функции, что присуще пропорциональ- ному звену. Более того, если Т стремится к 0, то в выражении для передаточной функции инерционного звена W (р) = /С/1 + рТ знаменатель стремится к единице, а передаточная функция в пре- деле ничем не отличается от передаточной функции пропорциональ- ного звена W (р) = К. Примерами конструктивного выполнения инерционного звена являются генератор постоянного тока с независимым возбуждением (входная величина — напряжение возбуждения; выходная — на- пряжение якоря генератора); термопара (входная величина — температура окружающей среды, выходная — термоЭДС), элек- трический двигатель (входная величина — сила тока якоря, выход- ная величина — частота вращения). Интегрирующее звено. Для интегрирующего звена связь между входной и выходной величиной выражается соотношением о y(t) = K \x(t)dt. В операторной форме связь между входной

и выходной координатами записывается так: у (р) — К (1/р) х (р). В операторной форме символ j заменяется множителем 1/р; в этом нетрудно убедиться, если продифференцировать выражение у (t) => оо = /CJ*(0<tt, dy/dt = Kx(t). В операторной форме ру (р) = = Кх, (р) и у(р) = К (1/р) х (р). Отсюда W (р) = у (р)/х (р) = = К/р. Если К = \/Т, то W (р) = 1/р Т. i При сравнении передаточных функций для инерционного ЧРЯ и интегрирующего Wm звеньев можно установить, что при неко- торых условиях инерционное звено уподобляется интегрирующему. В самом деле W* (р) = /Ci/(l + р7\), а ТРИТ (р) = ЦрТ. Если р7\ > 1, то W, (р) = /Ci/рЛ, а при /d/7\ = Г Wm(p) = ЦрТ . Таким образом, инерционное звено с очень большой постоянной времени на сравнительно высоких частотах подобно интегрирую- щему эвену. Выражение для комплексного коэффициента усиления может быть получено путем формальной замены оператора р в выражении для передаточной функции на /со. Это следует из того, что при операционном исчислении символ d/dt заменяется на р и выражение dy/dt превращается в ру (р). Нечто сходное имеет место при дифференцировании гармонических ^функций: производная от некоторой функции отличается от самой функции лишь на множитель /со. В самом деле, если х (t) = Хе'10', то dx/dt = /шХе/ш' = /сох (t). Комплексный коэффициент _ усиления интегрирующего звена К (/со) = /С//« или К (/<в) = —JK.I®- При изменении со от 0 до оо /С (/в>) меняется по модулю от—оодоО, но остается всегда мнимой величиной. 53

; j 1т,

0

(fl о

-20дВ/дек

IfCJ

Рис. 2.22. Характеристики интегрирующего эвена: а — амплитудно-фазовая; б — ЛАЧХ н ЛФЧХ; в - переход-

Годограф представляет собой прямую, совпадающую с осью отрицательных мнимых величин (рис. 2.22, а). Модуль комплекс- ного усиления | К, (/со) | = К/в> и аналитическое выражение для ЛАЧХ L = 201g /С/со = — 201g <лТ, где Т = \/К. ЛАЧХ (рис. 2.22, б) представляет собой прямую, пересекающуюся с осью lg ю на частоте о> = 1/Т = К. Наклон прямой равен —20 дБ/дек. Так как выражение для комплексного коэффициента не содержит действительной части (Re = 0), то фазовый угол на всех частотах остается неизменным и равным <р = arctg (—оо) = —я/2. Изображение переходной функции: у (р) = (Юр) \/р = Юр*, а оригинал у (t) =* K.t. Переходная характеристика — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом К (рис. 2.22, в). Примерами интегрирующего звена являются гидравлический демпфер (рис. 2.23, а), поршень под действием силы Р переме- щается, и жидкость через отверстие в поршне перетекает из правой части в левую. Тогда v — dx/dt — Ра, где а — коэффициент оо сопротивления, дг = (1/а)| Р dt. В редукторе (рис. 2.23, б) вход- ной величиной является частота вращения пвх входного вала, вы- ходной — угол поворота авых выходного вала. В электрическом двигателе можно пренебречь электромеханической постоянной времени и механической постоянной ротора; входом считается напряжение питания, а выходом — угол поворота вала ротора.

Рио, 2.23, Примеры конструктивного ис- полнения интегрирующего звена

Реальное дифференцирую- щее звено. Если функциони- рование какого-либо устрой- ства независимо от принципа действия описывается диффе- ренциальным уравнением ви- да y(t)+T dy/dt = Tdx/dt, то с точки зрения теории ав- томатического управления устройство относится к динамическому звену типа реального диф- ференцирующего, описываемого в операторной форме уравнением у (р) + рТу (р) = рТх (р) или у (р) (1 + рТ) = рТх (р), переда- точная функция W (р) = рТ1(\ + рТ). Так как изображение переходной функции у (р) — W (р) х X X (р) = рТ1(\ + рТ) \/р — Т1 (I + рТ), то ее оригинал h (f) — — е~т (рис. 2.24, а). Когда аналитическое определение величины Т затруднительно, значение постоянной времени можно найти, если провести каса- тельную к экспоненте, полученной путем осциллографирования при t = 0. Отрезок, отсекаемый касательной от начала координат на оси абсцисс, в соответствующем масштабе определяет постоян- ную времени. Построение годографа. Комплексный коэффи- циент усиления К (/(о) = /со77(1 + /соТ). Умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число (1 —/<оТ). Выра-

*,у 1

20 дв/дек

о п

8) Рис. 2.24. Характеристики реального дифференцирующего звена: и — переходная; 6 — амплитудно-фазовая: » — ЛАЧХ и ЛФЧХ

55

жение для комплексного к уфициента усиления принимает вид К (/») = со»Г*/(1 + соТ») + /со 77(1 + со8Г), где Re = о>*Га/(1 + + ш1?4), Im - <o7Y(l + <о*Т*). Годограф звена располагается в первом квадранте комплексной плоскости, так как при всех значениях со Re > 0 и Im > 0, и представляет собой полуокружность радиусом г = 1/2 с центром в точке А с координатами (1/2, /0) (рис. 2.24, б). Из анализа годо- графа видно, что при изменении частоты от нуля до бесконечности модуль меняется от нуля до 1, а фаза пробегает все значения от +Л/2 до 0 (при to = \1Т фазовый угол равен 45°). Построение ЛАЧХ. Аналитическое выражение для ЛАЧХ: L = 20 lg | /С (/со) | = 20 Igcer/l/TTw*^ Известно, что модуль отношения двух векторов равен отношению модулей этих векторов: | К (/со) | == |/соТ|/|1 + /соТ | = шГ/>/ 1 + а*Т*. Тогда L = = 20 Igtor — 201gy^l + со2Г2. Это выражение можно предста- вить так£_£,_^= L! + L2, где L^ = 201g соГ, a L2 = —20 lg x х ут+да. Слагаемое £г графически можно изобразить в виде бесконечной прямой, идущей »с наклоном +20 дБ/дек, и пересекающей ось абсцисс в точке to = 1/Т. Второе слагаемое L2 в области низких частот (to Г < 1) графически представляет собой прямую, практи- чески совпадающую с осью абсцисс, а в области высоких частот при соГ > 1 — прямую с наклоном — 20 дБ/дек., прямые сопря- гаются в точке, где соТ = 1. В результате графического сложения LJ и L2 результирующая характеристика L в области низких частот — прямая с наклоном +20 дБ/дек., а в области высоких частот, где to > l/Т, результирующая характеристика совпадает с осью абсцисс. Построение ЛФЧХ. Известно, что при умножении век- торов их аргументы складывают, а при делении — вычитают. Так как комплексный коэффициент усиления — вектор, определяемый отношением двух других векторов, то справедлива запись arg X X IK (/co)| = arg 1/toT] — arg [1 + /coTl. Таким образом, ер = = arctg (соТ/0) — arctg (toT/1) = arctg (oo) — arctg (coT) = = я/2 — arctg (toT). Результирующая фазовая характеристика определяется суммой двух характеристик, одна из которых не зависит от частоты и равна л/2, а другая — частотно зависима. В области низких частот звено вносит опережение, близкое к я/2, а в области высоких частот фазовый угол стремится к нулю. Идеальное дифференцирующее звено. Связь между входной и выходной координатой имеет вид у (t) = Tdx/dt, т. е. выходная координата в некотором масштабе, определяемом величиной Т, равна первой производной от входной координаты. В идеальном дифференцирующем звене выходная величина пропорциональна скорости изменения входной величины. Такое звено представлено на рис. 2.25, а, где выходное сопротивление близко к нулю.

с -II- i

j1m

ОЭф

/ f Реальное

ff)

ffe

в)

+20 дБ/дек

г)

Рис. 2.25. Характеристики идеального дифференцирующего звена: а — электрическая модель звена; б — переходная; в — амплитудно-фазовая; г — ЛАЧХ и ЛФЧХ

При изменении входной величины переходный процесс в таком звене теоретически происходит мгновенно. При подаче на вход скачкообразного возмущения на выходе получается мгновенный выходной импульс, теоретически имеющий бесконечно большую амплитуду, соответствующую бесконечно большой скорости изме- нения входной величины в момент подачи входного сигнала. Выполнить идеальное дифференцирующее звено из пассивных элементов нельзя. Известным приближением к идеальному диффе- ренцирующему звену является случай, когда в реальном звене выполняется условие рТ <^ 1. Это означает, что реальное звено приближается к идеальному, если постоянная времени звена мала и звено работает на низких частотах или при медленно меняющихся процессах. Уравнение звена в операторной форме у (р) = Трх (р) дает возможность получить выражение для передаточной функции W (р) = у (р)/х (р) ~ рТ. При действии на, входе звена единичной функции переходная функция представляет собой функцию Ди- рака, аналитическое выражение которой имеет вид h (t) = О при t > 0; h (t) = оо при t = 0. Это видно и из следующих соображе- ний: единичная функция остается неизменной при всех значениях / > 0, так как при t < 0 х (t) — О, а при t > 0 х (t) = 1. Это озна-

R7

чает, что первая производная при этом равна нулю; в момент, когда t = 0, функция скачком меняется от 0 до 1 , а первая произ- водная, определяющая тангенс угла наклона касательной, стано- вится равной бесконечности, так как угол наклона касательной равен я/2 (рис. 2.25, б). Получение всплеска выходной координаты до значения, равного бесконечности, с помощью пассивных элемен- тов невозможно и теоретически такой всплеск возможен лишь при наличии некоторого «резервуара» неограниченной мощности. Так как комплексный коэффициент усиления К (/«) = /шТ, то годограф представляет собой прямую, совпадающую с осью положительных значений мнимых величин и простирающуюся от /О до /оо (рис. 2.25, в). ЛАЧХ — бесконечная прямая с наклоном +20 дБ/дек., ЛФЧХ — прямая, параллельная оси lg ш с неизменной ордина- той, равной +п/2. Аналитическое выражение для ЛАЧХ: L = = 201g в>Т, а для ЛФЧХ <р = arctg (оо) = я/2. ЛАЧХ пересе- кается с осью частот там, где со = 1/Т, так как со Г = 1 , a lg со Г = 0. Реальное дифференцирующее звено со статизмом применяют, как правило, для цепей последовательной коррекции САУ для улучшения работы системы. Часто используют электрическую схему, которая обладает свойствами дифференцирующего звена, проявляющимися на некотором диапазоне частот (рис. 2.26, г). Уравнение движения звена, связывающего входную и выход- ную координаты, имеет вид: у (О + KTdy/dt = К 1х (0 + Tdx/dtl

Если на выходе звена действует единичная функция, решением дифференциального уравнения является переходная функция A (t) — К [1 — (1 — 1//С) е~'*/т]. Графически переходная функ- ция имеет вид, показанный на рис. 2.26, а. Выражение для передаточной функции звена: W (р) = К. (1 + + рТ)/(1 + рКТ). Комплексный коэффициент усиления звена К (/<•)) = К (1 + 1<аТ)/(1 + ja>KT), где /С < 1. При изменении частоты от 0 до оо /С (/ш) меняется от К (/0) = К до К (/о>) = 1 . Не подставляя промежуточных значений, можно сказать следую- щее: так как звено обладает дифференцирующими свойствами, то его годограф должен находиться в первом квадранте комплекс- ной плоскости. И действительно, годограф представляет собой полуокружность с центром в точке А с координатами 1(1 + К)/2; /01 (рис. 2.26, б). Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 2.26, в). Известно, что модуль отношения векторов равен отношению модулей векто- ров. Аналитическое выражение для ЛАЧХ: L = 201g | К (1 + + /e>T)/(l + j(oKT) I = 20 lg К\ 1 +/а>К|/|1 + J&KT | = 20 lg x X К + 201g] + ю2Г2 - 20 l Графически ЛАЧХ Lx представляет собой прямую, параллель- ную оси и проходящую ниже нулевого уровня, так как /С < 1.

Jim

ffe

а)

Рис. 2.26. Характеристики реального дифференцирующего звена со статизмом: а — переходная: б — амплитудно-фазовая; < — ЛАЧХ и ЛФЧХ; г — электрическая модель эвена

Частота сопряжения для L2 (сог = \1Т) ниже, чем для характерис- тики Lg (со8 = l/КТ), так как /С < 1. Очевидно и то, что ордината LJ на частоте со, равна —201g К > 0. В самом деле, на частотах со > соа L2 « 201g соГ. При со = со3 = 1//СГ L8 ж 201g (1//C71) X X Т = 201g (ПК.) = 201g 1 — 201g К == —201g /С. Поэтому ре- зультирующая характеристика L на частотах со';> ш3 проходит на нулевом уровне или, иными словами, совпадает с осью lg со. Аналитическое выражение для ЛФЧХ: q> = arg \K\ + arg x X [1 + /соГ] — arg [1 + /о/С! = Фг + Ф2 + Фз. где фг = 0, так как вектор содержит только действительную часть; фг = arg [1 + + /соТ] = arctg (шТ^, которая в области низких частот, когда со стремится к 0, близка к + 0, на частоте сопряжения со = 1/Т равна Ч-я/4, а при со ->- оо стремится к +я/2; фа = —arg [1 + -f/со/СГ] = —arctg (соКТ) меняется в области отрицательных значений и при со -»• 0 близко к ф3 з* —0. Колебательное звено (апериодическое звено второго порядка). Рассмотрим механическую систему, пример которой приведен на ко

X 5

Рис. 2.27. Характеристики колеба- тельного звена: а — механическая модель «вена; б — переходная; в — амплитудно-фазовая; « — ЛАЧХ и ЛФЧХ

рис. 2.27, а. Жидкость вытесняется через зазор между поршнем и стенкой. Создается трение, характеризуемое коэффициентом 6. Если приложим входную величину х, то пружина сначала сожмется, затем начнется перемещение массы, которая, двигаясь по инерции, пройдет положение равновесия и растянет пружину. Составляем уравнение. Сумма всех сил, действующих на систему п *i = 0. При приложении х инерционные силы и силы сопротив-

ления вязкой среды будут действовать в обратную сторону: />упр — — РОЯ — "в. о ~ "> Pjnv = j (х - у); Ряв = ту; Ря., = &у, где у — скорость перемещения. п Подставляя значения Рупр. Рт и Л>. с в уравнение 2 Pt = О, получим — jy — ту — fiz/ = — ]х, разделим обе части этого урав- нения на /, тогда Tty + Tzy + у = х, где 7\ = т//, са; Т2 = б//, с. Уравнение движения колебательного звена: T^y/df* + + Ttdy/dt + У (t) = Кх (t). Перейдем от оригиналов к изображе- ниям: Trf*y (р) + Тгру (р) + у(р) = Кх (р) или (7>2 + Тгр + + 1)у (р) = Кх (р). Передаточная функция W (р) = у (р)/х (р) = /С/(7\/?а + Тгр + -f 1). При 2>^7\> Та звено обладает колебательными свойствами. Если это условие не соблюдается, то колебательное звено вырож- дается в апериодическое. Если х (р) = \1р (единичная функция), то переходная функция имеет вид h (t) = К 1 + е-'/г (cosd>0/ -(-

sin со0т 1 , где Т = 2Г,/Г2; со0 = Л4Г, - Г1/2Г,- Для определения выражения комплексного коэффициента уси- ления осуществим замену р -»• /о», а ра -»• (/со)2 = — ш2, тогда К (/со) = /(/(1 — со*!1! + /соГа). Амплитудно-фазовая характе- ристика колебательного звена имеет вид, показанный на рис. 2.27, в. Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 2.27, г) находят выра-. жения для модуля и фазы вектора К (/са) в следующем виде: для ^ модуля |/С(/<о)| = К 1(1 — ufTiY + ufTl', для фазового угла Ф (со) = arctg [ — соТ2/(1 — са27\) 1. Логарифмируя выражение | К (/о) | , найдем L (со) = 20 Igtf - 20 lg ]/"(! -со'гО' + со2^- Используя выражение для L (со) и ф (со), строят логарифмиче- ские характеристики колебательного звена с учетом допущений, которые имели место при нахождении асимптотической ЛАЧХ инерционного звена. Для построения асимптотической ЛАЧХ колебательного звена следует найти значение со = 1/1/ТТ, провести прямую, параллельную оси частот и отстоящую от нее на величину 201g К, до точки с частотой со = \1Т и из этой точки провести прямую с наклоном — 40 дБ/дек. Следует учитывать, что построе- ние асимптотической ЛАЧХ колебательного звена связано с нали- чием существенной погрешности, зависящей от коэффициента затухания х = Tz/2]/^Ti, при х = 0,5 ошибка минимальна. Запаздывающее звено (рис. 2.28). Для любого устройства, служащего для передачи или преобразования информации, спра- ведливо то, что выходная величина проявляется с некоторым запаздыванием на время т относительно момента поступления 61

Jim

8)

Рис. 2.28. Характеристики запаздывающего звена: а — амплитудно-фазовая; б — ЛАЧХ н ЛФЧХ; t — переходная информации на вход устройства. В ряде случаев это запаздывание настолько мало, что им пренебрегают, полагая т = 0, и считают, что практически информация на входе и выходе возникает в один и тот же момент времени. Однако есть и такие устройства, где этот временной сдвиг играет существенную роль. Если устройство не поглощает энергию, то х (t) и у (t) совпадают по виду функцио- нальных зависимостей. Звено определяется как запаздывающее, если оно описывается уравнением у (t) = х (t — т), г — время запаздывания. Примерами запаздывающего звена могут быть длинная линия без потерь, длинный трубопровод, некоторые тепловые объекты (печи, нагреватели). Для идеального запаздывающего звена пере- даточная функция имеет вид W (р) — е-"т. Комплексный коэф- фициент усиления К. (/со) = е-'"". Годограф — окружность с радиусом, равным 1, так как е~1т = cos сот — / sin сот, а | К (/°>) I — У'cos1 сот + sina (от = 1. Каждой точке .годографа соответствует бесконечное множество значений частот. Скользя своим концом по этой окружности, век- тор К (/о°) описывает по часовой стрелке при росте частоты все возрастающий угол. При частотах, равных 0, —, —, значение К (/f>) = 1. ЛАЧХ запаздывающего звена совпадает с ЛАЧХ безынерционного звена с передаточным коэффициентом К = 1. Аналитическое выражение ЛФЧХ ср = arctg (—sin cot/cos сот) = = arctg (—tg сот) = —сот. Из фазочастотной характеристики сле- дует, что запаздывающее звено дает равномерное пропускание всех частот при сдвиге фаз, пропорциональном запаздыванию т. 2.3. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ При описании систем управления, технологичес- кими процессами механической обработки технологическая сис- тема, входящая в состав автоматического регулятора, в зависи- мо

мости от выбора входной и выходной величины и исходя из динами- ческих свойств или из движения системы в переходном режиме может быть представлена комплексом типовых динамических звеньев, соединенных между собой тем или иным способом. Вид этих звеньев, их передаточные функции определяют динамические свойства автоматического регулятора в целом, а следовательно, и такие технические характеристики, как быстродействие, стати- ческую и динамическую ошибки, что, в свою очередь, определяет и качество обрабатываемой детали на станке, оснащенном автома- тическим регулятором того или иного технологического пара- метра. В табл. 2.3 представлены схемы различных технологических систем, которыми далеко не исчерпывается все многообразие обработки деталей на металлорежущих станках. Однако рассмот- рение этих схем, встречающихся на практике довольно часто, дает возможность познакомиться с методикой рассмотрения тех- нологических систем в зависимости от их динамических свойств. Элементы технологической системы удобно интерпретировать как некоторые консоли, нагружаемые на концах сосредоточенной нагрузкой (считается, что сила резания приложена в точке). Упру- гие перемещения, появляющиеся под действием сил резания, в этом случае могут быть интерпретированы как стрелы прогибов консолей с определенными жесткостями /. В табл. 2.3 приведены передаточные функции рассматриваемых технологических систем, даны структурные схемы, составленные из типовых динамических звеньев, переходные функции,' что мо- жет оказаться полезным при моделировании динамических свойств рассматриваемых систем. На схемах 1 и 2 представлен один и тот же вид обработки вала в патроне на токарном станке, но они отличаются выбором выход- ного параметра: в схеме 1 отсчет входного и выходного параметра осуществляется относительно одной базы, а в схеме 2 отсчет ведется от разных баз: входной параметр определяется как перемещение резцедержателя относительно станины, а выходной — как пере- мещение режущей кромки резца относительно резцедержателя. Передаточная функция звена W (р) = 1/(1 + рТ). Если подача осуществляется скачком (единичной функцией) и х (t) = 0 при i < 0; х (f) — \ при t > 0, то, так как изображение х (р) = оо = J е~р' Id/ = l/р, а изображение выходной координаты у (р) = о = 1/ р + р*Т), оригиналом выходной величины является у (t) = = 1 (— е-'/г. Это значит, что режущая кромка резца в этом случае перемещается по закону экспоненты, что вполне согласуется с самой сущностью * «ического процесса резания при наличии упругих отжатий резнл ^о мере увеличения у (t) скорость съема падает из-за уменьшения силы резания). 63

2.3. Структурный анализ технологических систем механической ойра&отки

*/v па поряд- ку

Система отсчета. координат

Соотноше- ние не/кду Jr и /г

Эквивалентная система

Передаточная Функция

Структурная схема

Переходная Функция

Увых Увх -Увых

Ji»J2

И-рТ

Aj(p)

Aj(fl) "-s|Z т гг t

J1»JZ

у///////////л

Увх -Увых

1 +рт

Jz

-1 Увых 2Т

JZ

Увх -

>=A,(fl)

1+рТ

т=с — ji Увых. £Р У

1

о~~т^~

•& N

N •ч: и

5 о

U

-к а и к.

_<М ЛИ •V t ^

Теория автоматического управления

а, *> «

fc

Э» »-

II А

Переходный процесс идет тем медленнее, чем больше постоян- ная времени Т, а она, как было отмечено выше, обратно пропор- циональна жесткости /', резца. Очевидно, что чем меньше жесткость /„ тем меньше упругие силы, развиваемые консолью (резцом), а значит, и меньше съем металла в единицу времени .На величину постоянной времени влияют глубина резания t, скорость резания о, вид обрабатываемого материала KMD • ^ ЯПод жесткостью /, не следует понимать жесткость только резца. Это некоторая приведенная к резцу жесткость, определяе- мая жесткостью всех элементов, входящих в цепь от точки измере- ния до базы, относительно которой ведется отсчет. Рассмотренный пример дает основание аналитического определения постоянной, времени через конструктивные и технологические параметры системы, если осциллографирование процесса затруднительно. Ца практике более приемлема схема 2..При вполне оправданном пренебрежении инерционными силами, развиваемыми массой системы «режущий инструмент», можно записать — jty (t) = <= Cd (x — y)ldt. Знак «—», стоящий перед левой частью этого выражения, обусловлен тем, что величину у (t) отсчитывают навстречу текущему значению у; при этом расстояние х между осью и концом резца определяется как х (t) + у (t). Поэтому теку- щее значение подачи на оборот S = Kd [х (t) + у (t) ]/dt. Так как С//, = Т, то —у (t) = Td lx (t) + У (t) Mdt, После разделения переменных получим —у (t) = Tdyldt + Tdxldt. Алгебраизиро- ванное уравнение в этом случае (нулевые начальные условия) имеет вид — [у (р) -f pTx (р) \ =• рТх (р), а передаточная функ- ция W (р) = у (р)/х (р) = —рТ/(\ + рТ). Полученное выражение для W (р) указывает на то, что рассмат- риваемая технологическая система в этом случае представляет собой совокупность реального дифференцирующего звена с по- стоянной времени Т и пропорционального звена с передаточной функцией —1, соединенных последовательно. При действии на входе единичной функции оригинал выходной величины у (t) = = е~'/г. При перемещении резцедержателя скачком на величину х (t) скачком изменятся и показания у (t) на величину, равную —х (t). Из-за уменьшения упругих сил съем металла будет происходить медленнее, чем в первое мгновение, и полное «спрямление резца» теоретически возможно только по истечении бесконечно большого времени. Рассмотренные случаи указывают на необходимость правильного представления динамических свойств технологиче- ской системы, так как иначе проектирование САУ может пойти по неверному пути вследствие того, что амплитудно-фазовые характеристики апериодического и реального дифференцирующего звеньев существенно различны. Для схемы 3 характерно то, что приведенная жесткость системы «деталь» значительно меньше приведенной жесткости системы 67

«режущий инструмент». Подобное может иметь место, например, при эксплуатации шлицешлифовального станка, когда входной величиной будет движение подачи круга на деталь в радиальном направлении, а выходной — деформации, например, заднего центра. Текущая величина у (t) в системе в этом случае отсчиты- вается сверху вниз, а в эквивалентной — снизу вверх. Параметры отсчитывают от одной и той же базы, например от стола станка. В этом случае для любого момента времени справедливо соотноше- ние j\y (t) = Cd lx (t) — у (t) \tdt. Следует отметить одно допущение: контакт круга с деталью точечный и площадь контакта не меняется за время рассмотрения процесса. Выражение j\y (t) определяет силу, вызвавшую деформа- цию системы «деталь», а С • ** ^ — силу, обусловлен- ную процессом резания. После группировки переменных уравнение принимает вид fay (t) + Cdy/dt = Cdx/dt и далее при Т = С/Д у (t) 4- Tdy/dt = Tdx/dt, а передаточная функция при соответ- ствующей линеаризации процесса W (р) = у (р)/х (р) = рТ1(\ + + рТ). Полученное выражение передаточной функциц указывает, на то, что рассматриваемая система и подобные ей с точки зрения теории автоматического управления представляет собой реальное дифференцирующее звено, переходная функция для которого у (t] = е-</г. При рассмотрении схемы 4, когда входная величина определяет движение режущего инструмента к детали (например, врезное шлифование), а выходная контролирует деформацию в системе «деталь» и съем металла, есть все основания ожидать проявления свойств инерционного звена наряду со свойствами дифференци- рующего. И действительно, анализ системы подтверждает это. Так как жесткости систем «режущий инструмент» и «деталь» несоизмеримы и в системе «режущий инструмент» практически отсутствуют упругие деформации, то для любого момента времени сила, вызвавшая деформацию детали, определяется жесткостью /\ и координатой х (t) — уг (t), где у^ (t) — толщина снятого пояска в результате резания. Очевидно, что стрелы прогиба удлиняю- щейся и укорачивающейся образующих системы «деталь» должны быть одинаковы. Это дает возможность записать уг (t) + у (t) — = x(t)~ уг (t). Отсюда у, (t) = (х (t) - у (t) 1/2. Сила, вызывающая деформацию «детали», F ~ Д [х (t) — -ft (01 - A Скорость перемещения режущей кромки в любой момент вре- мени определяется лишь через координату уг (t) как dyjdt, так как именно этой величиной определяется относительное перемещение инструмента и детали. Поэтому сила резания Р = С -О- — — С -fi Г •- "^ - 1 . Из условия равновесия сил следует, что

*(0 -т- 0(01/2 = с - *~у или /1 = ИО + У (01

В операторной форме связь между входной и выходной величи- нами такая: Д* (р) + ]гу (р) = Срх (р) + Сру (р). Так как СУД = = Т, то — х (р) (1 — рТ) = у (р) (1 + рГ), а передаточная функ- ция W (р) = у (р)/х (р) = — (1 — рТ)/(\ + рТ). Это выражение можно представить так: W (р) — рТ1(\ + рТ) — 1/(1 -)- рТ), что указывает на наличие трех типовых звеньев: реального дифферен- цирующего без статизма в одной из ветвей и апериодического и пропорционального, последовательно соединенных — в другой. Передаточной функцией пропорционального звена является — 1. Переходная функция такой системы h (t) = е-'/г — (1 — е-'/г) == = 2е-2'/г — 1. Схемы 5 — 7 хотя и представляют собой один и тот же вид обра- ботки (расточку на токарном станке в патроне) и все характери- зуются тем, что жесткости «детали» и «режущего инструмента» соизмеримы, но по своим динамическим свойствам весьма различны, что определяется различным выбором выходных данных величин. Как и в предыдущих случаях, рассмотрение процессов сводится к рассмотрению консолей; отличие состоит в том, что эти схемы представлены системами, в которых взаимодействуют по две кон- соли, своими свободными концами лежащие одна на другой. Динамичность процесса подчеркивается тем, что на одной из кон- солей («деталь») образуется поясок, обусловленный процессом резания.