4.4. Методы минимизации "релейных функций

<0 00 01

ю (х, 7г)

Графический метод минимизации релейных функций

Любая релейная функция от п переменных оп- ределяется в точках некоторого пространства, где каждой точке соответствует одна комбинация значений входных переменных. Все эти точки можно представить как вершины п-мерного ги- перкуба. Одним из возможных вариантов задания релейной функ- ции является выделение вершин гиперкуба, т. е. тех комбинаций значений входных переменных, в которых она принимает значе- ние, равное единице. Так как каждой комбинации входных пе- к =о х = / ременных соответствует одна конституента единицы, такой метод задания релейной функ- ции сводится к выделению кон- ституент единиц на гиперкубе. Для одной переменной ги- перкуб будет содержать две вер- шины, которые соответствуют возможным двум значениям этой переменной (рис. 4.7, а). При таком графическом изоб- ражении каждая вершина со- поставляется с соответствую- щей конституентой единицы. Теперь возьмем четыре верши- ны и на них построим квадрат (рис. 4.7, б). При этом каждая вершина представляет собой одну из четырех конституент ? V * V У * Y* V * V Y* ATTU И Ы ТТ1Л ^1 ™91 "X 2 * 1 2 * 12 ^п** **ИJ-^ol функции от двух переменных (X, Хг) оор х,хгх, 001 х,хгх}

При переходе от любой вер- шины к соседней по стороне квадрата изменяется только од- too на переменная. Такие верши- х,*гх3 ны называют соседними. Ес-

Рис.. 4.7. Гиперкуб: а — одной переменной; б — двух пере- менных; в — трех переменных; г — релей- 000 ной функции {(0, 0, !),(!. 0. !).(!. I. 0), 7,^J (I. 1. 1)}

Х,хгХ5

Х,Хг

0/0

ХгХ}

Х,Х,

0/1 х,хгх,

х, *г Хз

г)

157

ли взять сумму конституент единицы, соответствующих соседним вершинам, то одна из переменных будет исключаться: хгх3 + "Г" -^1-^3 == -^1» -^1-^в ' -^1-^2 == -^2» ^1-^2 ' ^1-^2 == ^1» •^1^8 ~Т~ %\X% === *^3* Поэтому каждому ребру будет соответствовать своя функция. Возьмем восемь вершин, соответствующих восьми возможным состояниям трех переменных хг, xz, xa, и на этих вершинах по- строим куб (рис. 4.7, в). Для всех ребер вершины на концах представляют собой комбинации значений переменных, которые отличаются значением только одной переменной. Поэтому если сложить конституенты единицы соседних вершин, то всегда будет исключаться одна переменная и полученное выражение будет функцией ребра, соединяющего эти вершины. Если сложить кон- ституенты единицы, соответствующие четырем вершинам одной грани куба, то это для любой грани приведет к исключению двух переменных: JeiX2xs -f x^xs + х&х3 + x^Xg = Xjje, (х3 + х3) +

Введем понятие подкуба. Гиперкуб из 2' вершин, где каждая вершина является соседней с i вершинами, называют подкубом 1-го порядка n-мерного гиперкуба. Основным свойством подкуба t'-ro порядка является то, что сумма 2{ конституент единицы, со- ответствующая вершинам, позволяет исключить i переменных, а функция гиперкуба зависит от остальных (п — i) переменных. Минимизация релейных функций графическим методом за- ключается в следующем: для заданной функции строят гиперкуб; отмечают те вершины гиперкуба, для которых заданная релейная функция равна единице; отмеченные вершины покрывают мини- мальным количеством подкубов (при этом< одна и та же вершина может быть использована несколько раз) /составляют логическую сумму функций выделенных подкубов, которая и является мини- мальной формой заданной релейной функции. Пример: минимизировать релейную функцию от трех перемен- ных XL хг, х3, которая принимает значение единицы для следую- щих комбинаций переменных (О, О, 1); (1, О, 1); (1, 1,0); (1, 1, 1) (рис. 4.7, г). Заданная релейная функция позволяет образовать три подкуба первого порядка: первый с вершинами 001 и 101, второй с вершинами 101 и 111, третий с вершинами 111 и 110. Заданная релейная функция покрывается первым и третьим под- кубами. Поэтому минимальная форма заданной релейной функции запишется как логическая сумма функций первого и третьего подкубов, т. е. у — ХуХа + хгхг.

Минимизация релейной функции матрицей Кдрно В матрице Карно столбцы и строки соответствуют комбинациям значений входных переменных, а элементом а^ является значение релейной функции. При значении входных пере- менных, соответствующих столбцам и строкам, они располагаются

таким образом, чтобы столбцы (/ — 1) и / или / и (/ + 1) являлись соседними значениями входных переменных. Две комбинации значений входных переменных (ai; al2; ...; a}; ...; а),} и (a?; a*; ...; a2i', • ••'', а„] считаются соседними, если кодовое расстояние между ними равно единице, т. е.

теме цифра 2 эквивалентна xt = 1 и хг — О, а для циф- ры 3 — хг = 1 и хг = 1. В соответствии с найденными зна- чениями переменных хг и х2, для которых функция должна принимать значение единицы, заполняют матрицу Карно.

Рис. 4.8. Матрица Карно: в, б — для двух переменных; », г — для Функции; д. е — для трех переменных, ж — для четырех переменных; s — для функции у = {0. 1, 4. 9, 13} . и — для функции у = {о. I. 2. 7 (4. 5. 10)}

х,х, 00 01 It

Для двух переменных используют два вида матрицы Карно (рис. 4.8, а, б). В матрице Карно (рис. 4.8, а) столбцы используют для обозначений входной переменной xlt а строки — для *,. Например, нужно составить матрицу Карно для функции пере- менных, заданной десятичными эквивалентами комбинаций вход, ных переменных, при которых выходная функция принимает значение единицы у = {2, 3}*,,,. Для того чтобы заполнить мат- рицу Карно, вначале нужно найти комбинации значений входных переменных, десятич- ные эквиваленты которых за- даны. С этой целью числа 2 и 3 необходимо перевести в дво- ичную систему исчисления; при этом значение старшего разряда двоичного исчисления соответ- ствует значению переменной хг, а значение младшего разря- да — хх. Числа 2 и 3 в двоич- ной системе запишем так: 10 и 11. Отсюда следует, что для комбинации в десятичной сис- 00 01 10 *г*< 00 01 II 10 00

01

10

0 (1 0 *,*,(, (1 1 ( 0 ъ 1 /) 1 ? 8)

00

01 *<,»} II 10

1 1 0 0

1

0 t 1

0 0

0 1

0

0

0

0

оо ж) 01 *'"' it да* (0) (1) (Л (2) t ~ 0

0

1 ~ 0

0

0 1

0 0

t

0

0 ~

159

Для матрицы Карно, приведенной на рис. 4.8, в, находят стро- ку со значением дга = 1 и столбец со значением хг = 0. На пересечении этого столбца и строки ставят 1, что соответствует значению функции для комбинации входных переменных с де- сятичным эквивалентом, равным 2. Аналогичным образом на- ходят клетку для комбинации с десятичным эквивалентом, рав- ным 3, и ставят единицу (рис. 4.8, в, г). Матрицы Карно для трех и четырех переменных приведены на рис. 4.8, д—ж. Число элементов (клеток) матрицы Карно равно числу возможных комбинаций входных переменных. Для заполнения матрицы Карно в отличие от рассмотренного выше примера используют следующий способ. По релейной функ- ции, заданной с помощью набора десятичных номеров комбинаций значений входных переменных при известном базисе, определяют веса столбцов и строк. При этом условно принимают для обозна- чения строк переменные с большими весами (определяют по ба- зису), а значение элемента матрицы Карно определяют по следую- щей формуле: О, если Ьф. (0(у)}; = 1, если Ь £ (О); ', если Ь £ [у].

00 at п to

00 ot *<,*> It

10

00 ot ***i n

10

00

(H

01 '

(P

~J)

11 <L ~J)

10 J)

x,t, 00 01 It 10 J) (F

xtx, 00 Of It W

T) (Г

00

01 Wl tt to

00 ot *<,*> tt ю

00 ot Xl,Xt It to

хгх, *t*i 00 01 11 Ю 00 Ot 11 W П иn и п и ад 00 0/ 11 Ю l/J n х,х, 00 01 II 10 и

^

00

01 It to

00 ot

id

00 оГ

ю

(t

СГ ц_

00

~T|

1

~~г\

U-?J

t 0

X,*t 01 11 W ц_

Г

00 01 II Ю

~т\ _J

(t \j__

00

01 х<,х, п to

00 ot

to

00

Ot ад // to

xtx, 00 01 It 10

СГ ц_

00

T] _jj

"г

01

(Tj t / и

II [t_

СГ

10 jj

T)

>,*, 00 01 It 10

ft~

J_

hj \J] _rj

Рис. 4.9. Конфигурация подкуба пер- Рис. 4.10. Конфигурация подкуба вто- вого порядка рого порядка

где / — вес столбца, который определяют по комбинации входных переменных для этого столбца; i — вес строки, который опреде- ляют по комбинации входных переменных для этой строки; Ь = — i + I — сумма весов столбца и строки; (0) — набор десятичных эквивалентов обязательных состояний входных переменных; b £ £ {0} означает, что b содержится в наборе |0[; \у\ — набор деся- тичных эквивалентов условных состояний входных переменных; b ф {0 (у)\ означает, что b не содержится в объединенном на- боре (О U у\. Например, матрица Карно для функций у = (0, 1, 4, 9, 13},Л„.„„ у = {О, 1, 2, 7, (4, 5, 10)}«Л.Л приведены на рис. 4.8, э, и. Матрицу Карно можно покрыть подкубами. Подкуб можно определить как набор клеток матрицы, в котором одно или боль- шее число переменных имеют постоянное значение. В матрице Карно каждая клетка является подкубом нулевого порядка и зна- чения всех переменных для этой клетки постоянны. Две клетки, соседние по строке или столбцу, составляют подкуб первого по- рядка и характеризуются тем, что кроме одной переменной зна- чения остальных переменных постоянны. У подкуба второго по- рядка, состоящего из четырех клеток, каждая из которых является соседней относительно двух клеток из оставшихся трех, две пере- менные принимают все возможные четыре комбинации, а осталь- ные переменные постоянны. В общем случае у подкуба 1-го порядка, состоящего из 2' клеток, каждая из которых является соседней относительно i клеток из оставшихся (2' — 1)-й, t переменные принимают все возможные 2' комбинации, а остальные переменные постоянны. Для функции от п переменных подкуб t'-ro порядка описывается (n — i) переменными. Например, для функции от четырех пере- менных подкуб нулевого порядка описывается как функция от четырех переменных, подкуб первого порядка описывается как функция от трех переменных и т. д. На рис. 4.9—4.11 приведены типичные конфигурации подкубов соответственно первого, вто- рого и третьего порядка. Введя понятие минимальной импликанты подкуба, можно определить правило минимизации релейных функций с помощью матрицы Карно. Минимальной импликантой подкуба называют такое произведение переменных, значения которых постоянны в этом подкубе и равны единице. На рис. 4.12 приведено правило образования минимальной импликанты для подкуба второго по- рядка. Минимизация релейной функции с помощью матрицы Карно сводится к следующему: матрицу Карно заданной релейной функ- ции покрывают минимальным числом подкубов; для выделенных подкубов составляют минимальные импликанты; составляют мини- мальную функцию как сумму минимальных импликант выделен- ных подкубов.

Теория автоматического 161 уппашения

*l*l 00 01 It 10 00 (1

(,

00

01 1

1

It

1

1

x,x, 01 It

10 — +1 >J Л

/0

00

01 *<.*> II

10

XiX, 00 01 1/ tO Хь к, хг X, 0

0

0

0

Г L 0

0

~4 J 0

0

0

0

0

0

0001

0 0 I t 0 1 0 I 0 t 1 1 x^O x,-t

W

Рис. 4.11. Конфигурация подкуба третьего порядка

Рис. 4.12. Пример образования мини- мальной импликанты

*,*, 00 01 , // w

Рис. 4.13. Матрица Карно функции у={0. 1,5,7,8,9. 13, 15},,

Пример: нужно минимизировать релейную функцию «,= (0. 1.5,7, 8. 9. 13. 15},А„в1. Вначале по заданной функции составляют матрицу Карно (рис. 4.13). Как следует из матрицы, заданная функция позволяет образовать три подкуба вто- рого порядка с минимальными имплнкантами х3хг, *3*i, *Л. но Два подкуба с минимальными нмплнкантами х3хг и х3хг полностью покрывают заданную функцию. Поэтому минимальная форма заданной релейной функции запишется как сумма минимальных импликант этих подкубов, т.е. у = x3xl-\- x3xt.

Арифметический метод минимизации релейных функций (метод Мак-Класки) Этот метод минимизации основан на последователь- ном применении теоремы Ах + Ах = А к заключается в последова- тельном выполнении следующих этапов. 1. Независимо от того, описывается ли заданная функция алгебраически в форме суммы конституент единицы или набором их номеров (десятичных эквивалентов), каждая конституента еди- ницы должна быть представлена своим двоичным изображением. 2. Конституенты единицы разделяют на группы так, чтобы члены любой группы в своем двоичном изображении имели одина- ковое число единиц. Число единиц в двоичном изображении кон-

ституенты единицы называют ее индексом. Все члены одной группы должны иметь одинаковый индекс. 3. Группы располагают в столбце, начинающемся с группы с наименьшим индексом и каждую группу отделяют чертой. 4. Члены группы с индексом i сравнивают с членами группы с индексом (i -f- 1). Сравнение членов между соседними по индексу групп должно быть полным, т. е. каждый с каждым При этом записывают номера объединенных членов вне скобки; в скобке указывают вес исключенной переменной. 5. После окончания первого перебора в новый столбец запи- сывают все полученные объединенные члены. Первоначальные члены, вошедшие в объединенный, отмечают в исходном столбце как использованные, так как они учтены объединенным членом и не должны входить в окончательный результат. 6. Объединенные члены, найденные в предыдущем сравнении, вновь разделяют на группы. Первая группа состоит из членов, полученных в результате объединения первых двух групп в пре- дыдущем столбце, вторая группа состоит из членов, полученных в результате объединения второй и третьей групп, и т. д. 7. После того как очередное объединение завершено и все использованные члены отмечены в исходном столбце, весь про- цесс повторяется для полученного столбца, а результат новых объединений выписывают в новый столбец. 8. Указанный выше процесс объединения повторяется до тех пор, пока есть возможность образовать новый столбец. Каждый раз члены, вошедшие в объединение, отмечают в соответствую- щем столбце как использованные. 9. Если дальнейшие объединения невозможны, то все неот- меченные члены во всех столбцах являются импликантами, из которых составляют минимальную форму заданной функции. Пусть имеются два члена на Л'-м шаге сравнения (столбец с номером N), находящихся в группах t и i -\- 1;

A = Pi, PI, .... Ph (аь аг aN) - член i-й группы; В = ft, ft qk(blt Ьг bN) — член (i + 1)-й группы,

где Рг, Р2. ••-. £*А. <7и 9г. ••-. <7* — номера конституент единиц, объединенных в общий член; alt а2, .... aN', Ьъ Ь2, ..., bN— веса (десятичные эквиваленты) тех переменных, которые исключают при объединении конституент единицы с номерами Plt Pa. •••> •Рл И <?!' <?2. •••• Qh- Эти два члена могут быть объединены, если выполняются сле- дующие два условия: в обоих объединенных наборах должны быть исключены одни и те же переменные, т. е. qj — Рj = 2*, для / = 1, 2, ..., k; разность между номерами конституент единицы (t -f- 1)-й и i-й группы должна быть степенью двойки, т. е. q} — — Р, = 1е для / = 1, 2, .... k, 6' 163

При этом объединенный член необходимо записывать в следую- щем виде: A UB = Р1( Р ...... РА, ?lt qa ..... fc(alf a ...... а„. 2е). Последний шаг минимизации заключается в написании ал- гебраического выражения простой импликанты на основе неотме- ченного члена, т. е. Plt Рг, .... PL (alt аъ, ..., ам). С этой целью составляем следующую таблицу. В первую строку записываем переменные, а под ними их веса. Затем в следующие строки записываем двоичные изображения первых элементов (конституенты единицы) неотмеченных объединенных членов, В двоичном изображении этих элементов вычеркиваем те цифры, которые соответствуют исключенным переменным. Образуем про- изведение невычеркнутых переменных по следующему правилу. Если в столбце невычеркнутой переменной стоит 1, то в произве- дение входит сама переменная, если же стоит 0, то в произведение входит инверсия этой переменной. Логическая сумма этих им- пликант соответствует минимальной форме заданной функции.

Пример; минимизировать функцию у= (О. 1, 3, 8, 9, 13, 14. 15, 16, 17, 19. 24. 25, 27. 3l}x,XtX>XiXl. Первый i = 0

(= 1

• =2

«=3

шаг: 0* 1* 8* 16* 3* 9* 17* 24*

14* 19* 25* i= 4 15 *

»= 5 31*

i= I

Второй шаг: 0; 1 (1)* 0 0,8(8)* 0, 16(16)» 1, 3(2)* 1, 9 (8)* 1,17, (16)* 8, 9, (1)* 8, 24, (16)* 16, 17, (1)* 16.24(8)* 3, 19, (16)* ». 13 (4) 9, 25, (16)* 17, 19, (2)*

24, 25

/ = 3

i = 4

13, 15 (2) 14, 15 (1) 19, 27 (8) « 25, 27, (2)* 15, 31 (16) 27, 31 (4)

Третий шаг: О, 1, 8. 9, (1, 8)* 1 = 0 0. 1, 16, 17, (1, 16)* 0, 8. 16. 24. (8. 16)» 1, 3, 17, 19, (2, 16)* 1, 9, 17, 25, (8. 16)* /=1 8, 9, 24. 25, (1, 16)* 1, 17, 3, 19, (2, 16)* 16, 17, 24. 25(1. 8)* i = 2 17,19,25,27(2,8)* 17'. 25, 19, 27 (2, 8)» - Четвертый шаг: 0,1,8,9,16,17,24.25 (1,8,16) ' = ° 0.1,16,17,8,9,24,25 (1, 8, 16) 0,8, 16,24, 1,9, 17,25 (1, 8, 16)

Выписывают все неотмеченные объединенные члены: 9,13(4); 13,15(2); 14,15(1); 15,31 (16); 27,31 (4); 1, 3, 17, 19(2, 16); 17, 19, 25, 27(2, 8) и О, 1, 8, 9, 16, 17, 24, 25 (1, 8, 16). Из этих членов составляют такой список, чтобы все номера конституент единиц исходной функции содержались бы в этих объеди- ненных членах. Для данного примера получают: 13, 15(2); 14, 15 (1); 27, 31 (4); 1, 3, 17, 19(2, 16) и О, 1, 8, 9, 16, 17, 24, 25(1, 8, 16). Составляют таблицу для образования простых ямпликант (табл. 4.6).

4.8. Таблица простых импликант

я

13 14 27 1 0 х

24

0 0 1 — — х

2' 1 1 1 0 — х

2«

1 1 —

0 0

х,

21

^= 1 1

0

х,

2°

1

1

1 —

Простая нмпликанта

Xft ХфХ^Х^

XgA^Xa-^J х^х^х^ Х^Хл

4 7 Реализация булевых функций релейныпи схемами

Георепа

0=х

X 1= X

х 0=0

х х - О

(х+у) х - х

Релейно -гонтактгач схема

Ь 1 с

Ь О а О

а х 6

Ь х а О

I65

4.5. СИНТЕЗ РЕЛЕЙНЫХ УСТРОЙСТВ

Схемная интерпретация теорем алгебры релейных цепей

Для физической интерпретации теорем примем, что все переменные интерпретируются как контакты реле и пере- менные (без инверсии) соответствуют замыкающим контактам, а инверсные переменные соответствуют размыкающим контактам реле, т. е. все теоремы рассмотрим как функцию проводимости. Если учитывать, что операции логического сложения соответствует параллельное соединение, а операции логического умножения — последовательное соединение релейных структур, то каждой тео- реме релейных цепей будет соответствовать своя релейно-контакт- ная схема. Эти схемы приведены в табл. 4.7. Следует отметить, что теоремы алгебры релейных цепей при- менимы к релейным структурам любого типа. Контактная струк- тура является простым и удобным средством для иллюстрации алгебраических методов и разработки новых.

Метод синтеза параллельно-последовательных релейных структур по известной функции Любую релейную функцию можно привести к форме, которая состоит из произведения термов или суммы от- дельных слагаемых, т. е. к виду

I / J £\

ИЛИ

f = ^ -)- tyj -)-... -|- \(3h. (4.6) Правило синтеза для функций проводимости заключается в сле- дующем: 1) если функция приведена к виду (4.5), то соответствую- щую релейно-контактную схему получают последовательным со- единением структур <plt ф2, 2) если функция приведена к виду (4.6), то соответствую- щую релейно-контактную схему получают параллельным соеди- нением структур ^L г|5.2, .... я(зл. Эти два правила необходимо применять до тех пор, пока элементарные структуры не бу- дут соответствовать контактам реле. Пример. Синтезировать релейно- контактную схему для функции про- водимости y=(Xi+Xt)(x3+Xi+X6) +Xt.

Рис. 4.14. Релейная схема функции xt) (xt + х« -f- *s) И- х,

Заданную функцию можно записать в следующем виде: # = \pj-f ф,, где ipi= (*! + *,) (xt + х4 + xs) и \|>, = х, (рис. 4.14. а). Этой форме записи функции ^ будет соответствовать следующая структура. Функция \|)а = х, соответствует замыкающему контакту реле Хв, поэтому по отношению к этой функции дальнейшее преобразование прекращается. Функ- ция \|>i = (xi + xt) (xt + х4 + х6) может быть представлена в виде % = Ф1Ф1, где ф1 = х1+х, и ф, = ха + х4 -f- х, (рис. 4.14, б, в). Функции <$! будет соот- ветствовать структура, состоящая из параллельного соединения замыкающих контактов реле Хг и Xt, а функции ф, будет соответствовать структура, состоя- щая из параллельного соединения замыкающих контактов реле X,, X^ и X,.

Применение в устройствах релейного действия электронных элементов

Теория релейных цепей была вначале развита как средство выражения в математической форме условий работы релейно-контактных схем и как средство их синтеза. Позже было обнаружено, что и релейные элементы других типов имеют свой- ства, подобные свойствам контактов, так как характер работы их может быть описан двузначными числами. В релейных устрой- ствах широко применяют диоды, триоды, магнитные сердечники и элементы гидропневмоавтоматики. Хотя работа этих элементов описывается двузначным числом, применение их в релейных устройствах не сводится к простой за- мене ими контактов реле, так как они не являются двухполюсни- ками. В противоположность контактным релейным устройствам, в структуре которых можно легко проследить пути прохождения тока, в релейных устройствах, использующих элементы электро- ники и гидропневмоавтоматики, использован принцип управле- ния с помощью уровней электрического потенциала или давления. Анализ работы таких устройств показывает, что в них не рас- сматриваются пути, соединяющие входы с выходами, а рассматри- вается электрический потенциал или давление на выходе в за- висимости от значений потенциалов или давлений на входах. Другими словами, эти релейные устройства являются логическими вычислительными структурами, которые по заданным значениям выходных переменных вычисляют значение выходного сигнала. Для рассмотрения структуры таких релейных устройств введем понятие логического звена. Логическим звеном называют такое релейное устройство, ко- торое вычисляет некоторую логическую функцию от некоторых переменных. В табл. 4.8 приведены некоторые логические звенья, которые широко применяют в релейных устройствах. Синтез релейного устройства по заданной функции из логиче- ских звеньев целесообразно начинать с конца и идти к входам. При этом ввод в схему нового логического звена требует решения двух задач: выбора необходимого логического звена; преобразо- вания выходной функции в соответствии с логической функцией 167

4.5 Таблица логических звеньев

Н' па пор.

1

3

5

Фднкщя, реализуемая Логическим звеном

у= ж, + хг

У-х

У"""

Ус/toSno? обозначение логическою Звена

Хг х

*(_

'

1

& I 1

_л

^ к

№

пар

2

Ц

6

Функция сеал и J у с *'^< я ло? ичс ^ я 1/л*

У = *i *;

у-*,+*г

y-X.^+Xi**

Уставное

jocha

^ — & У хг —

Г 1 v — J —

<^

выбранного логического звена для получения входных перемен- ных. Последовательное применение предложенной методики к за- данной логической функции всегда обеспечивает решение задачи синтеза с меньшим числом перебора возможных вариантов.

^2

*3

Xi

%t хг 0"_

*3

чм

f

(

''З

_ ,*г

"г

_

•*2

•0

п

^

^г

7Г ьЛз

^3 _ XfX%

Х{ хг

X}

ХгХ}

&

1

&

1 \

iT ЙГ,Л>+/3

в) Рис. 4.15. Релейное устройство из логических звеньев для функции

Пример 1. Синтезировать релейное устройство на базе логических звеньев 1, 2 и 3, см. табл. 4.8, реализующее функцию у = xtS3-\- хгхг -f- x9, Пример 2. Синтезировать релейное устройство на базе логических звеньев 4 и 5, см. табл. 4.8, реализующее функцию у = x8JSa+ *i*j+ xa. Результаты приведены соответственно на рис. 4.15, а я б.

Построение многократных релейных устройств

Устройства дискретного действия, выполненные на элементах гидро-, пневмо- и электроавтоматики, и управляю- щие микропроцессоры в настоящее время широко применяют для управления самыми различными станками, автоматами, роботами и автоматическими линиями. Обычно системы управления авто- матов являются многотактными дискретными устройствами. Ос- новой построения многотактного дискретного автомата являются прежде всего условия взаимодействия с объектом управления, т. е. порядок поступления входных сигналов и требования к выдавае- мым сигналам. В задачу синтеза многотактного релейного устройства входят следующие этапы: 1) формирование и запись условий работы про- ектируемого устройства (составление циклограммы работы); 2) оп- ределение числа промежуточных элементов (числа элементов па- мяти), которые необходимо внести в систему для получения ре- ализуемой циклограммы; 3) синтез многократного релейного устройства, удовлетворяющего заданным требованиям (цикло- граммы работы исполнительных устройств объекта управления). В соответствии с перечисленными этапами построения много- тактных релейных устройств можно предложить следующий по- рядок структурного синтеза: определяют те элементы, которые могут быть использованы для построения требуемого устройства; составляют эскизную схему устройства, показывающую взаимо- связи релейного устройства с объектом управления с отметкой характера и числа этих связей, характера передаваемых сигналов; составляют реализуемую циклограмму, для чего сначала вно- сят в нее требуемые по условиям работы последовательности вход- ных и выходных сигналов и по этим условиям определяют число и порядок работы промежуточных элементов памяти (число об- ратных связей); на основе реализуемой циклограммы работы релейного устрой- ства составляют таблицу включений исполнительных устройств объекта управления и промежуточных элементов памяти; на основании таблицы включений составляют логические функции работы для отдельных исполнительных цепей (выходных сигналов) и промежуточных элементов (сигналов обратной связи); по полученным функциям синтезируют схему, реализующую заданные условия работы релейного устройства. Для записи циклограммы работы релейного устройства каж- дый исполнительный механизм объекта управления обозначают 169

одной буквой (прописные буквы с индексами), а сигналы об об- работке этих воздействий на исполнительные механизмы — со- ответствующими строчными буквами, например, буквой X для входных элементов и Z для элементов обратной связи. Для за- писи включения исполнительного механизма используют пропис- ную букву без черты, для записи выключения исполнительного механизма — прописную букву с чертой. Сигналы об отработке соответствующих сигналов исполнительных механизмов также записывают строчными буквами без черты и с чертой. Например, записи У^У^У^г соответствует работа двух ис- полнительных механизмов (У^ и Уг), которые во времени рабо- тают следующим образом. Первым включается исполнительный механизм YI. После включения исполнительного механизма Ylt когда в" систему управления поступает сигнал об отработке этого сигнала уг, вырабатывается сигнал на включение исполнитель- ного механизма 72- После включения исполнительного механизма К2, когда в систему управления поступает сигнал об отработке сигнала у3, вырабатывается сигнал на отключение исполнитель- ного механизма Yt. После отключения исполнительного механизма YI, т. е. при поступлении сигнала yt в систему управления, выра- батывается сигнал на отключение исполнительного механизма Yt. Графически циклограмму изображают в виде таблицы, в ко- торой столбцы используют для изображения тактов, исполнитель- ных механизмов и весов этих механизмов и промежуточных эле- ментов. Строки этой таблицы используют для обозначения от- дельных исполнительных механизмов, промежуточных элементов и одну строку для записи веса такта. Число тактов всегда равно числу включений и отключений исполнительных механизмов и промежуточных элементов. Графическое изображение цикло- граммы Y1YtY9YtYlYtYiYt приведено в табл. 4.9. Вес каждого такта

Цштгранма работы atmanama

if W Таблица включении

выходной ситап

У,

Y, Уг V2

УЗ

У,

V* У*

Нопер tnaxtna

1

.

2 3 if s 6 7

'

8

где Nt — вес j'-ro такта; Ylt, У«. • •>, YM — состояние исполни- тельных механизмов в t-м такте; Y Si = О, если /-и механизм в i-м такте выключен или включается; Yit = 1, если j-н механизм в t-м такте включен или отключается; / = 1, 2, ..., k. Циклограмма считается реализуемой, если отсутствуют такты с одинаковыми весами. Если же в циклограмме имеются такты с одинаковыми весами, то такая циклограмма считается нереали- зуемой. Для получения реализуемой циклограммы в нереализуе- мую вводят промежуточные элементы памяти таким образом, чтобы исключить такты с одинаковыми весами. Если промежуточ- ный элемент вводится для различения тактов с номерами аир, то этот промежуточный элемент нужно включить до такта с но- мером а и выключить за этим тактом, но до такта с номером 0. Если же промежуточный элемент вводят для различения двух множеств тактов alt аг, ..., аг и рг, f52, .... pt, то этот промежу- точный элемент нужно включить до такта с номером а± я выклю- чить за тактом с номером ar, но до такта с номером рг. Число промежуточных элементов памяти зависит от числа совпадающих тактов:

где М = maxjmj, m2, ..., тт\ — максимальное число тактов с одинаковыми весами; mlt тг, ..., mr — число повторений тактов с весами аь аг, ..., аг; smln — минимальное число промежуточ- ных элементов памяти, необходимое для преобразования нере- ализуемой циклограммы в реализуемую; 5Ши — максимальное число промежуточных элементов памяти, с помощью которых всегда можно преобразовать нереализуемую циклограмму в ре- ализуемую. При построении реализуемой циклограммы нужно добиться такого положения, чтобы в каждом такте включался и выключался только один элемент. На основании реализуемой циклограммы составляют таблицу включений. Таблица включений содержит столько же тактов, сколько и реализуемая циклограмма, и содержит информацию о состоянии каналов выходных сигналов. Поэтому число строк в таблице включений равно числу выходных сигналов релейного устройства плюс число каналов управления элементами памяти. Для управления одним элементом памяти нужно выработать два управляющих сигнала по различным каналам (выходным). Таб- лица включений для циклограммы, данной в табл. 4.9, приведена в табл. 4.10. На основании реализуемой циклограммы составляют логиче- ские функции работы каждого исполнительного механизма и промежуточного элемента по следующему правилу: 1) составляют полный набор состояний исполнительных меха- низмов и промежуточных элементов Е — {О, 1, 2, ..., (2*+* — 1)}; 171

2) составляют набор из весов всех тактов А — (аг, с2, ..., aN\, где N — число тактов; 3) из полного набора вычеркивают те номера, которые соответ- ствуют весам тактов, т. е. образуется разность множеств U — = Е — А, которая является множеством номеров условных кон- ституент единиц для выходных функций каждого исполнительного механизма и промежуточного элемента; 4) для каждого исполнительного механизма и промежуточного элемента составляют множество обязательных номеров консти- туент единиц, в которое включаются веса тех тактов, при которых рассматриваемый элемент или включается или находится во вклю- ченном состоянии (О;). Веса тактов, когда рассматриваемый эле- мент выключается, в множество обязательных номеров консти- туент единиц не входят. Таким образом, для каждого исполнительного механизма и промежуточного элемента получают функцию следующего вида: Y} = {Oj(U)}gr при /=1, 2, 3 k + s, где ZjZ,,-! ... Z1Khl/ft_1 ... \\ — базис переменных с весами 2*+*~', 2*+'~2, ..., 2', 2°. На основании полученной системы уравнений синтезируется система управления, реализующая заданную циклограмму работы исполнительных механизмов.

4.8. СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ СТАНКОВ-АВТОМАТОВ

Система управления станком-автоматом должна обеспечивать работу каждого узла или исполнительного органа по задаваемому для него циклу и необходимую последователь- ность работы всех узлов в соответствии с общей циклограммой работы их для обеспечения соответствующей технологической операции. Заданная последовательность работы узлов в соответ- ствии с циклограммой обеспечивается своевременной подачей однозначных выходных сигналов на выполнение очередного дви- жения того или иного узла или группы узлов. Каждая команда или выходной сигнал формируется из опреде- ленных признаков, к которым относятся положение и состояние узлов станка-автомата (в том числе и положение того узла, на движение которого формируется команда); наличие детали на оп- ределенной позиции; информация о предыдущем состоянии авто- мата; истечение определенного промежутка времени после выпол- нения некоторого движения и т. д. При выборе способов контроля положения или состояния уз- лов следует применять непосредственные способы измерения. В соответствии с этим пространственное положение узлов необхо- димо контролировать датчиками положения, в качестве которых применяют конечные выключатели или фотоэлементы. Силу, раз-

виваемую узлами, контролируют датчиками силы, в качестве ко- торых применяют реле давления (при гидравлическом приводе) или реле максимальной силы тока (при электрическом приводе). Применение косвенных методов контроля пространственного положения или состояния узлов нежелательно во избежание воз- никновения ложных команд. Например, если пространственное положение узла контролировать с помощью датчика силы, то при возникновении случайных препятствий движению может возник- нуть ложная информация. Синтез системы управления станков-автоматов рассмотрим на примере автомата-перекладчика. Необходимо синтезировать систему управления автоматического цикла работы автомата- перекладчика, структурно-кинематическая схема которого при- ведена на рис. 4.16. Автомат-перекладчик может быть предназна- чен для различных загрузочных, сборочных, технологических операций и состоит из двух исполнительных механизмов Уг и Y9.

Объект управления

Рис. 4.16. Структурно-кинематическая схема автомата-перекладчика

173

Ы2 Реализуемая циклограмма

4 If и,икло£раппа радаггы автомата-перекладчик г

Вес зле нечто

^ 2

III

111 X,

*t

5ff МиКГЛЦ

'

*S" 0

0

2

^/^ 0

1

hopep г*акта

3 a ,u' 0

* _,(?•* /

2

5 4 r

/

3

6

0 "4 2

tfci элемента 2°

2'

2'

с ii! л,

*!

1

Вес такта

Напер rrtatfna

1

X 0

0

0

Z ' 0 X 1

3 X а i

5

ь 0 ,°' t "

5 У

1

1

6

6

1

I

Ч'^ 7

7

/

0

J

8

0 ч 0

2

Циклограмма работы автомата-перекладчика имеет следующий вид: Y.Y^.Y^Y,. Выходные сигналы (управляющие воздействия Уь У\, 7S и Yz) должны возбуждать электромагниты гидрораспределителей, которые вызывают движение поршня гидроцилиндров в соответ- ствующем направлении Уг — выдвижение руки захвата, Уг — вдвижение руки захвата, 72 — перенос детали или руки захвата в позицию В', Y2 — перенос руки захвата в позицию Л. Система управления автомата-перекладчика согласно цикло- грамме работы должна вырабатывать соответствующие управляю- щие сигналы по завершении предыдущего движения Информация о завершении соответствующего движения в систему управления поступает в виде сигналов датчиков положения В данном случае в качестве датчиков положения использованы путевые включа- тели, которые вырабатывают сигнал в тех случаях, если упор исполнительного механизма наезжает на них. Путевые включатели одного и того же исполнительного механизма одновременно не могут вырабатывать сигналы Кроме того, когда вырабатывает сигнал один путевой включатель, то другой путевой включатель не может вырабатывать сигнал. Поэтому состояния этих двух путевых включателей можно рассматривать как одну двоич- ную логическую переменную. Циклограмма работы авто- мата-перекладчика приведена в табл. 411. Циклограмма яв- ляется нереализуемой. Для того чтобы циклограмму сделать ре- ализуемой, необходимо ввести элементы памяти. Число сов- падающих тактов М = 2, так как такты с весами 0 и 2 встре- чаются 2 раза. Определяем чис- ло элементов памяти для пре- образования нереализуемой циклограммы в реализуе- Таблица 8клгоч(чии о -перекладчика Входной и а г «ел V, Y, Ъ ^2 У, *2 1 ' 0 \ "! .о- 1 .0' Нопер тагта ; 2 } i. 5 6 1 8 >-

мую: 2'плп ^. 2; 2'max ^5. з, следовательно, smm = 1 и Sm« =2. Анализ циклограммы показывает, что веса 0 и 2 тактов 3 и 4 повторяются в тактах 6 и 1. Поэтому можно ввести один элемент памяти для различия тактов 3, 4 и 6, 1. Для этого элемент памяти нужно включить между первым и третьим тактами и выключить его между четвертым и шестым тактами. Реализуемая циклограмма автомата-перекладчика дана в табл. 4.12. На основании реализуемой циклограммы работы автомата- перекладчика составляют таблицу включения (табл. 4.13). На основании реализуемой циклограммы работы и таблицы включений автомата-перекладчика составляют логические функции работы исполнительных механизмов и элемента памяти: составляют полный набор Е (k + s = 3); Е = (О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7); составляют набор А — (О, 1, 2, 3, 4, Ь, 6, 7(; определяют множество U = = Е — А = 0 (пустое множество); для каждого выходного сиг- нала составляют набор обязательных номеров конституент единиц:

У\ = (О, 1, 6, 7}Zy,yt; ?!= {2, 2, 4, 5}zy,y,;

Yt = (3, 4, 6, 7}Zy,y,; ?, = (0, 1, 2, 5}zy,y,;

Yz=(l, 4, 5, 6}Zy,y,; ?z = (0, 2, 3, 7}ryilv

Используя то обстоятельство, что воспринимающие выходные сигналы могут обладать памятью (запоминание события поступ- ления управляющих воздействий), можно упростить структуру релейного устройства. К таким элементам относят триггерные устройства, распре- делители гидро- и пневмопотоков с двусторонним управлением и т. д. В этих случаях в качестве обязательного номера конституенты единицы для выходной функции оставляют только вес такта вклю- чения или выключения, а остальные номера конституент единицы переводят в условные. Используя это положение, можно упростить систему управле- ния автоматом-перекладчиком, так как воспринимающим элемен- том является распределитель с двусторонним управлением без пружины и в качестве элемента памяти используют триггер. Для этого случая функции выходных сигналов примут следующий вид:

У, = {0, 6(1, 7)}zy,y,; ?, = {3, 5(2, 4)]гу§г,;

К2= {4(3, 6, 7)|гу,У1; ?2 = {2(0, 1, 6)}Wt;

Yz = (I (4, 5, 6))iy.y.; Yt = (7(0, 2, 3)J,y,y,.

ITS

Mi • 00 0! II W Q 0 0 0 (~ 0 Р) Для У, "г у, + гуг УгУ, 00 01 /1 W 0 0 0 0 ~ •V

УгУг

0 (~

00 0/ П Ю 0

~

П и 0 0

0 .~

УгУ( 00 01 II 10

О 1

0

\^

0 Г)

(Г~ 0

<%л

0

Дт У, = гуг + гуг УгУ< 00 01 II 10

о] 1

Z~D 0

~ ~

0

0

(У

0

Для Y2 = zy,

00 01 10

f^f

0

0 0 n и *%/ a

Рис. 4.17. Матрицы Карно для функций управления автоматом-перекладчиком

Используя матрицы Карно, минимизируем функции Ух, У2, Fz (рис. 4.17). На основе полученных функций син-г. тезируют систему управления автоматом-перекладчиком.

4.7. ЦИКЛОВОЕ ПРОГРАММНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АВТОМАТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ

Автоматическая линия (АЛ) станков представляет собой комплекс технологического оборудования с автоматическим транспортом и управлением, предназначенный для последователь- ной обработки деталей с единым технологическим процессом. В рабочем режиме все механизмы АЛ работают по замкнутому последовательному циклу. Циклом АЛ называют регулярно по- вторяющийся полный комплекс технологических операций, вы- полняемых всеми механизмами линии в заданной последователь- ности. Производственный персонал, обеспечивающий эксплуа- тацию АЛ, состоит из операторов, непосредственно участвующих в технологическом процессе (например, устанавливающих заго- товки в загрузочное устройство в нанале АЛ), и наладчиков, вы- полняющих различные наладочные работы. Работа оборудования АЛ обеспечивается системой управления, осуществляющей контроль за состоянием оборудования, положе- нием рабочих органов и механизмов, а также параметров техноло- гического процесса; формирование командных действий с органов ручного управления; своевременное формирование управляющих воздействий на исполнительные устройства элементов привода на основании анализа и обработки информации, создаваемой кон-

трольными, командными и логическими устройствами; своевре- менное формирование управляющих сигналов на устройствах сигнализации; техническую диагностику неисправностей оборудо- вания или нарушений хода заданного технологического про- цесса. . Автоматический режим управления предполагает такую ра- боту, при которой все механизмы АЛ работают согласно цикло- грамме. При этом вмешательство человека в управление оборудо- ванием не требуется. В зависимости от выполняемых функций систему управления (СУ) АЛ можно разбить на следующие блоки: источники питания и преобразователи напряжения; выходные устройства; входные устройства; устройство логического управле- ния, которое в соответствии с заданной циклограммой обеспечи- вает формирование управляющих команд и их передачу на выход- ные устройства системы. Выходные устройства СУ имеют контрольные датчики, реа- гирующие на положение или состояние технологического оборудо- вания, а также командные устройства, используемые для подачи ручных управляющих команд или для ввода информации, необхо- димой для реализации алгоритма управления. Контрольные дат- чики, встраиваемые в технологическое оборудование, представляют собой преобразователи различных неэлектрических величин в элек- трический сигнал. Подавляющее большинство этих устройств представляет собой дискретные датчики предельных значений величин и имеют релейную характеристику. Командные устройства представляют собой кнопки и переключатели, контакты которых переключаются в результате нажатия на соответствующий управ- ляющий элемент. Выходные устройства имеют исполнительные элементы СУ, элементы сигнализации, а также устройства отображения инфор- мации. К исполнительным элементам относятся аппаратура управ- ления приводом: пускатели электродвигателей, электромагниты, гидрораспределители управления, электромагнитные муфты и другие устройства, функционирование которых обусловлено воз- действием управляющих команд. Выходные устройства устанав- ливают непосредственно на технологическом оборудовании (элек- тромагниты, электромагнитные муфты), в электрошкафах (пуска- тели электродвигателей, контакторы) и на пультах управления (сигнальные лампы, счетчики и др.). Устройство логического управления (УЛУ) формирует управ- ляющие команды на базе анализа сигналов входных устройств в соответствии с заданным алгоритмом, который представляет собой определенный комплекс правил, условий и зависимостей, предопределяющих безаварийное и взаимосвязанное действие всех станков и механизмов линии в различных режимах работы оборудования. Алгоритм управления представляется в виде си- стемы уравнений булевой алгебры на языке релейно-контактных символов в виде условной схемы управления.

177

В программируемых УЛУ алгоритм управления вводится в па- мять системы и реализуется средствами вычислительной техники. Логическая связь с входными и выходными устройствами обес- печивается через промежуточные ячейки памяти, отображающие состояние соответствующих входов и выходов. При этом на каж- дое входное и выходное устройство отводится одна ячейка памяти, благодаря чему структура внешних электрических соединений существенно упрощается. Особенностью управляющих вычисли- тельных машин (УВМ), используемых в качестве УЛУ, является их способность работать в реальном масштабе времени. Действие УВМ в качестве органа логического управления обеспечивается программой. Программа представляет собой набор команд, с помощью кото- рых в замкнутой циклической последовательности вычисляются значения логических уравнений алгоритма управления. В про- цессе вычислений по мере необходимости анализируется состояние входных устройств системы, а также ячеек оперативной памяти УВМ, которые являются аргументами вычисляемых логических уравнений. В зависимости от результатов вычисления УВМ вы- полняет необходимые переключения в выходных цепях СУ. В структурную схему программируемой СУ (рис. 4.18) помимо' УВМ входят источники питания ИЛ, устройство силовой автома- тики УСА, входные и выходные устройства ВУ (командные ор- ганы КО, датчики Д, исполнительные элементы управления ИЭУ и сигнализации ИЭС, электродвигатели 3d), установленные не- посредственно на АЛ. УВМ имеет автономный источник питания

-"им

Рис. 4.18. Структурная схема программируемой СУ

АИП, центральное процессорное устройство ЦПУ и устройство сопряжения с входами УСвх и выходами УСвых. Специализированные УВМ, предназначенные для управления, сложными станками и АЛ, получили название программируемых контроллеров (ПК). Программируемые контроллеры имеют спе- • циальный язык для описания алгоритма управления объектом. Этот язык идентичен релейно-контактным схемам логического уп- равления. Поэтому для составления программы управления не- обходимо централизовать ячейки памяти ПК с входными, выход- ными и промежуточными элементами релейно-контактной схемы. После проведенной идентификации на дисплее ПК с помощью клавиатуры набирают требуемую релейно-контактную схему, которую затем специальной программой транслируют в управляю- щую программу. Следовательно, для разработки программы управления АЛ необходимо составить логические управления для каждой испол- нительной команды и команды управления промежуточными эле- ментами. Затем на основе логических уравнений составляют ре- лейно-контактную схему, которая является основой для составле- ния программы с использованием транслятора.