3.3. Определение напряжений и расчеты на прочность при центральном растяжении–сжатии

При центральном растяжении-сжатии нормальные напряжения в поперечных сечениях, достаточно удаленных от места приложения сил, постоянны (принцип Сен-Венана) и определяются по формуле:

(3.1)

где – нормальное напряжение; А – "чистая" площадь поперечного сечения бруса после вычета возможных ослаблений сечения отверстиями, т.е. А = А_netto.

Если площадь поперечного сечения бруса постоянна по длине, то условие прочности для пластичного материала имеет вид (при условии, что коэффициенты условий работы и надежности равны единице, т.е. γ = 1, γ_н= 1):

NAR или(3.2)

где – наибольшее значение продольной силы по абсолютной величине берется из эпюры N (сечение, где имеется, является опасным);R– расчетное сопротивление материала по пределу текучести.

Если брус выполнен из хрупкого материала, т.е. когда расчетные сопротивления на растяжение и сжатие различны то условие прочности имеет следующий вид:

(3.3)

где – наибольшая растягивающая продольная сила (на эпюре N имеет знак "плюс");– наибольшая по абсолютной величине сжимающая продольная сила (на эпюре N имеет знак "минус");– расчетные сопротивления материала на растяжение и сжатие по пределу прочности.

Используя условия прочности (3.2) или (3.3), можно решать задачи трех типов:

1-й тип – проверочная задача. Используя все заданные величины и эпюруN, по формулам (3.2) и (3.3) можно проверить прочность бруса.

2-й тип – проектная задача, т.е. подбор сечения бруса.

Приняв определяем требуемую для этого величину площадипоперечного сечения из формулы (3.2):

(3.4)

Зная эту площадь, можно определить конкретные размеры сечения заданной формы.

Для хрупкого материала из формул (3.3) требуемую площадь сечения находим отдельно:

для растянутой зоны –

и сжатой зоны – .

Из полученных значений площадей выбираем большую.

3-й тип – определение несущей способности стержня или определение допускаемой продольной силы.

Приняв определяем величину наибольшей допускаемой продольной силы:

– для пластичного материала

(3.5)

– для хрупкого материала

Для бруса из хрупкого материала из двух сил в качестве допускаемой выбираем меньшую:

3.4. Напряжения на наклонных площадках

Проведем наклонное сечение n–n₁под некоторым углом α кпоперечному сечению (рис. 3.4а) и определим действующие в этом сечении напряжения. Площадь наклонного сечения А_α по линии n–n₁ будет больше поперечного сечения А (по линии n–n₂):

.

Тогда полное напряжение на наклонной площадке будет равно:

. (3.6)

Разложив полное напряжение на наклонной площадке по направлениям нормали к площадке и касательной, получим нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке (рис. 3.3г):

, (3.7)

. (3.8)

Из формулы (3.7) следует, что нормальные напряжения σ_αдостигают максимального значения при α = 0, т.е. в поперечном сечении:.

Здесь ₁обозначает наибольшее главное напряжение (понятие о главных напряжениях будет дано в главе 4).

Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.

Из формулы (3.8) следует, что касательные напряжения имеют наибольшие и наименьшие значения при α = ±45º:

. (3.9)

Площадки, на которых действуют максимальные и минимальные касательные напряжения , называютсяплощадками сдвига.