5.5. Контрольные вопросы по теме

1. Что называется статическим моментом площади относительно оси?

2. Относительно каких осей статический момент площади равен нулю?

3. Как определяется статический момент площади сложной формы относительно оси?

4. Напишите формулы для определения координат центра тяжести сечения сложной формы.

5. Что называется осевым, центробежным и полярным моментами инерции сечения?

6. Относительно каких осей центробежный момент инерции сечения равен нулю?

7. Какие оси называются главными?

8. Приведите формулы для определения моментов инерции наиболее распространенных простых фигур относительно их центральных осей.

9. По каким формулам определяются моменты инерции площадей при параллельном переносе осей?

10. По каким формулам определяются осевые и центробежный моменты инерции сечения сложной формы?

11. Как определяются величины главных центральных моментов инерции для сечений, не имеющих оси симметрии?

12. Как определяется положение главных центральных осей инерции для сечений, не имеющих осей симметрии?

6. Деформация кручения прямых призматических брусьев

6.1. Определение напряжений и расчеты на прочность при деформации кручения брусьев круглого сечения

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникают только крутящие моменты, другие внутренние силовые факторы – продольная сила, изгибающие моменты и поперечные силы – равны нулю.

Теория кручения брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации (гипотеза плоских сечений), они лишь поворачиваются на некоторые углы вокруг этой оси.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.

3. Расстояния (вдоль оси бруса) между поперечными сечениями не изменяются.

В поперечном сечении бруса возникают только касательные напряжения от крутящего момента, определяемые по формуле (6.1). Их направление в каждой точке перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения (рис. 6.1). В центре (при ρ = 0) касательные напряжения равны нулю; в точках же, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие.

(6.1)

где – крутящий момент в рассматриваемом сечении;– полярный момент инерции круглого поперечного сечения;_К– расстояние от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки К (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Эпюры , построенные по формуле (6.1) для круглого сплошного и кольцевого сечений, представлены на рис. 6.1а, б.

Наибольшие касательные напряжения в поперечных сечениях определяются по формуле:

(6.2)

Введем следующее обозначение:

(6.3)

где – называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения (см³, м³);– расстояние от центра тяжести до наиболее удаленной точки сечения, оно равняется радиусу круга

Условие прочности при кручениизапишется:

(6.4)

где R_S– расчетное сопротивление материала при сдвиге.

Используя условие прочности (6.4), можно решать следующие задачи на кручение:

1.Проверочная задача, т.е. проверка прочности. Подставляя в формулу (6.4) величиныиз эпюры крутящих моментов и W_, определенную по формуле (6.3), проверяем, выполняется ли условие прочности.

2.Проектная задача, т.е. подбор сечения. В этом случае из условия прочности (6.4), предполагая, что, определяется значениетребуемого полярного момента сопротивления:

(6.5)

Затем значение приравнивается выражению т.е.

Из этого равенства определяется неизвестный диаметр стержня.

Ниже приведены формулы для определения полярных моментов сопротивления для стержней круглого поперечного сечений:

а) сплошное круглое сечение(рис. 6.2а):

Рис. 6.2

(6.6)

(6.7)

здесь

б) кольцевое сечение(рис. 6.2б):

(6.8)

(6.9)

Здесь

3. Определение допускаемого значения крутящегомоментадля стержня заданного диаметра и из заданного материала.

Из условия прочности (6.4), которое берем со знаком равенства, т.е. , определяем значение допускаемого крутящего момента:

(6.10)