2. Внутренние усилия в поперечных сечениях стержней. Метод сечений

Элементы сооружений и конструкций представляют собой тела различных размеров и форм, выполненные из твердых деформируемых материалов. Под действием внешних сил эти тела деформируются, т.е. меняют свои первоначальные размеры и форму. Вследствие деформации первоначальные расстояния между частицами тела изменяются, и в материале появляются дополнительные силы внутреннего взаимодействия частиц. Именно от величины и характера распределения этих дополнительных сил внутреннего взаимодействия зависит надежность работы сооружения. Поэтому необходимо в первую очередь научиться определять эти силы, называемые в дальнейшем внутренними усилиями или внутренними силовыми факторами для расчетов сооружения и его элементов напрочность, жесткость и устойчивость.

В курсе "Сопротивление материалов" основным объектом всех расчетов, как правило, является стержень. Под стержнем или брусом понимают тело, один размер которого значительно больше двух других.

Если площадь поперечного сечения А по длине бруса постоянна, а линия, соединяющая центры тяжестей сечения прямая, то стержень называется прямым призматическим.

В общем случае площадь сечения А может непрерывно или ступенями изменяться вдоль продольной оси стержня, а продольная ось может иметь как прямолинейные, так и криволинейные участки.

Для определения внутренних усилий используется метод сечений. Рассмотрим суть этого метода на примере с прямым призматическим стержнем.

Пусть требуется определить внутренние усилия в произвольном сечении а–а бруса, находящегося в равновесии в пространстве под действием системы внешних сил F_i (рис. 2.1а).

Мысленно рассечем стержень (брус) в сечении а–а плоскостью "С", перпендикулярной продольной оси, отбросим одну часть, например часть "В", и рассмотрим оставшуюся (в данном случае левую) часть "А". Рассматриваемая часть "А" будет находиться в равновесии, если к ней приложить систему усилий, распределенных по площади сечения. Эти усилия, заменяющие действие отброшенной части на рассматриваемую и есть внутренние усилия в сеченииа–а.Согласно закону о равенстве действия и противодействия, внутренние усилия, которые приложены к части "А" в сеченииа–а, равны и противоположны по направлению внутренним усилиям, действующим на часть "В" в том же сечении.

Рис. 2.1

В теоретической механике показано, что любая система сил, (в том числе и внутренних усилий, распределенных по какому-то закону по площади поперечного сечения а–а), может быть приведена к главному векторуRи вектору главного момента М. За центр приведения может быть выбрана любая точка поперечного сечения. В сопротивлении материалов за эту точку целесообразно принимать центр тяжести поперечного сечения

Сила R называется главным вектором, а момент М –главным моментом системы внутренних сил, действующих в данном сечении (рис. 2.1б).

Главный вектор R раскладывается на две составляющие силы: силу N, направленную вдоль оси бруса и называемую продольной силой, и силу Т, действующую в плоскости поперечного сечения и называемуюпоперечной силой (рис. 2.1в).

Главный момент М раскладывается на три составляющих момента: момент М_Х= М_t, действующий в плоскости поперечного сечения (относительно продольной оси бруса Х) и называемыйкрутящим моментом, и моменты М_Zи М_Y, действующие относительно двух взаимно перпендикулярных осейZиY, проходящих через центр тяжести сечения, лежащих в плоскости поперечного сечения, и называемыеизгибающими моментами.

В дальнейшем более удобно для расчетов силу Т разложить на две составляющие ее поперечные силы Q_Zи Q_Y, параллельные двум взаимно перпендикулярным осям, расположенным в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 2.1в). Причем при расчетах на прочностьоси Z и Y должны совпадать с главными центральными осями инерции поперечного сечения, о которых будет сказано далее в главе 5. Таким образом, в плоскости поперечного сечения в общем случае силы взаимодействия частей А и В между собой характеризуются шестью составляющимивнутренних силовых факторов(иливнутренних усилий):N– продольная (осевая) сила,Q_YиQ_Z– поперечные силы, М_Х= М_t– крутящий момент, М_Zи М_Y– изгибающие моменты.

Числовые значения этих сил нетрудно найти из шести уравнений равновесия для рассматриваемой части стержня с приложенными к ней приведенными выше внутренними усилиями:

; N +;

; Q_Y + ;

; Q_z +;

; M_X +;

; M_Y +;

; M_Z +.

В каждое из этих уравнений будет входить только по одному неизвестному внутреннему усилию, которое легко определить. В верхнем индексе буквы лев означают, что суммируются проекции сил и моменты сил, действующих слева от сечения.

В некоторых случаях часть составляющих внутренних усилий будет равняться нулю, в зависимости от этого различают и виды деформаций:

– если в сечении имеется отличная от нуля только продольная сила N, а остальные внутренние силы равны нулю – имеет место один из простых видов сопротивления – центральное растяжение–сжатие;

– если отличным от нуля является только крутящий момент, а остальные внутренние силы равны нулю, то имеет место другой вид простого сопротивления – кручение;

– если отличными от нуля являются поперечная сила Q_Yи изгибающий момент М_Z , а остальные внутренние усилия равны нулю имеет место тоже один из простых видов сопротивления –прямой изгиб(при условии, что осиZиYявляются главными осями инерции и центр тяжести совпадает с центром изгиба).

Правила знаков для внутренних усилий и примеры практического использования метода сечений при определении внутренних усилий рассмотрим в последующих главах при названных видах простых сопротивлений с определением внутренних усилий в сечениях стержней, построением их эпюр и дальнейшим расчетом их на прочность.