Б. Подбор сечения

Используя условие прочности при кручении по формуле (6.4) определяем требуемый полярный момент сопротивления поперечного сечения.

Полярный момент сопротивления круглого сплошного сечения определяется по формуле (6.6):

Из равенства определяемd:

d= 7,17 см.

Округляя по ГОСТ 2590-88, примем d= 7,2 см.

Проверим прочность по формуле (6.4):

Недонапряжение 3,5 % объясняется округлением требуемого диаметра в большую сторону.

В. Построение эпюры углов закручивания сечений

Предварительно определим полярный момент инерции сечения и жесткость бруса при кручении:

Полные углы закручивания сечений определяем, используя формулу (6.11).

(защемление, начало отсчета);

Равенство нулю угла закручивания в сечении В (в правом опорном защемлении) подтверждает выполнение поставленного в начале задачи условия.

По вычисленным значениям строим эпюру углов закручивания (рис. 6.8в).

6.5. Кручение бруса круглого сечения в упругопластической стадии

Заменим реальную криволинейную диаграмму сдвига (на рис. 6.9 она показана пунктирной линией) – диаграммой Прандтля при сдвиге, т.е. будем считать, что при τ < τ_S(– предел текучести при сдвиге) справедлив закон Гука и материал деформируется линейно-упруго. При напряжениях τ = τ_Sвозникают пластические деформации сдвига, значения которых не­огра­ниченны, а напряжения остаются постоянными и равными τ_S.

Выясним, как будет видоизменяться эпюра касательных напряжений в сечении при постепенном возрастании крутящего момента М_tс учетом упругопластической работы материала.

В упругой стадии напряжения τ распределены вдоль диаметра бруса по линейному закону. При возрастании момента М_tпропорционально возрастают и все напряжения. Конец этой стадии определяет равенство

τ_max=(6.25)

когда в точках по краю сечения начинает появляется текучесть (рис. 6.10а). Крутящий момент, соответствующий данному состоянию, обозначим М_Sи получим из соотношения (6.25):

М_S=τ_SW_ρ=τ_S (6.26)

При дальнейшем возрастании крутящего момента пластическая зона будет все больше проникать вглубь сечения бруса (рис. 6.10б), а все сечение разделится на 2 зоны: упругое ядро, где _Sс радиусом r_Sи пластическую кольцевую зонуr_S    R, где=_S. Суммарный крутящий момент представим как сумму:

М_t=M_t1+M_t2, (6.27)

где момент упругого ядра М_t1=_S(6.28)

найден по формуле (6.26) (R заменено на r_S), а момент пластической кольцевой зоны равен

М_t2=(6.29)

При вычислении момента пластической кольцевой зоны элементарная площадь dAравна площади кольца толщиной d, т.е. dA = 2

Из формулы (6.29) видно, что при r_S  0 пластическая зона стремится охватить все сечение (рис. 6.10в) и внутренний момент стремится к своему предельному значению:

М_пред=(6.30)

Поперечное сечение стержня, в котором во всех точках возникают пластические деформации, называется пластическим шарниром. Cтержень превращается как бы в пластический механизм, в котором углы закручивания неограниченно растут при постоянном моменте М_пред.

Соотношение показывает, что от момента первого появления пластических деформаций в наиболее напряженных точках бруса до полного исчерпания несущей способности крутящий момент должен возрасти в 1,33 раза, то есть это соотношение выражает резерв несущейспособности за счет учета упругопластических свойств материала.