1.4. Сложные ставки ссудных процентов

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается после каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в последующем платежном периоде сама приносит доход.

При расчете суммы вклада в процессе его наращения по сложным процентам (Sс) используется следующая формула:

, (1.13)

где Sс – будущая стоимость вклада.

Соответственно сумма процента (Jс) в этом случае определяется по формуле:

, (1.14)

где P – настоящая стоимость инвестиций.

При расчёте настоящей стоимости денежных средств в процесседисконтирования по сложным процентам (Р_С) используется следующая формула:

. (1.15)

Соответственно сумма дисконта (D_c) в этом случае определяется по формуле:

. (1.16)

Множители (1+i)ⁿ и 1/(1+i)ⁿ называются соответственно множителем наращения и множителем дисконтирования сложных процентов.

С учётом математически рассчитанных множителей наращения и дисконтирования сложных процентов разработаны специальные таблицы, с помощью которых при заданных размерах ставки процента и количества платёжных периодов можно легко вычислить настоящую или будущую стоимость денежных средств.

При оценке стоимости денег во времени необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое влияние не только размер процента, но и периодичность выплат (или количество платёжных периодов) в течение одного итого же общего срока. Иногда оказывается более выгодным инвестировать деньги под меньшую ставку процента, но с большей периодичностью выплат.

Начисление процентов может осуществляться не один, а несколько раз в год. В этом случае оговаривается годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждый интервал начисления.

При k равных интервалах начисления и процентной ставке i эта величина считается равной k/i.

Если срок ссуды составляет n лет, то наращенная сумма будет равна:

. (1.17)

1.5. Сложные учетные ставки

Наращенная сумма по прошествии n лет составит:

. (1.18)

Для начисления процентов k раз в год формула примет вид:

. (1.19)

1.6. Влияние инфляции при определении настоящей и будущей стоимости денег

В инвестиционной практике постоянно приходится считаться с корректирующим фактором инфляции, которая с течением времени обесценивает стоимость денежных средств. Это связано с тем, чторост инфляции (индекса средних цен) вызывает соответствующее снижение покупательной способности денег.

При расчетах, связанных с корректировкой денежных потоков в процессе инвестирования с учетом инфляции, принято использоватьдва основных понятия - номинальная и реальная суммы денежных средств.

Номинальная сумма денежных средств представляет собой оценку еe величины без учета изменения покупательной способности денег.

Реальная суммаденежных средств представляет собой оценку ее величины с учетом изменения покупательной способности денег в связи с процессом инфляции. Такая оценка может производиться при определении как настоящей, так и будущей стоимости денежных средств.

В процессе оценки инфляции используется два основных показателя:

а) темп инфляции (T_j), характеризующий прирост среднего уровня цен в рассматриваемом периоде (п), выражаемый в десятичной дроби;

б) индекс инфляции (I_j) (изменение индекса потребительских цен в рассматриваемом периоде (п)), определяемый как 1 + Т_j .

Корректировка наращенной стоимости денежных средств (S) с учётом инфляции (I_j) осуществляется по формуле

, (1.20)

где S_p - реальная будущая стоимость денег;

S - номинальная будущая стоимость денег с учетом инфляции.

Расчеты, произведенные по этой формуле, позволяют определитьреальную будущую стоимость денежных средств, если в процессе еенаращения в используемой ставке процента не была элиминирована ееинфляционная составляющая(темп инфляции сохраняется по годам).

Если же в процессе наращения можно выделить реальную ставку процента и предполагаемый темп инфляции, то расчет будущей реальной стоимости денежных средств можно осуществлять по формуле

S_p = S / (1+ Т_j )ⁿ = P *(1+ r)ⁿ / (1+ Т_j )ⁿ , (1.21)

где r- номинальная ставка процента, учитывающая инфляцию.

Прогнозирование темпов инфляции представляет собой довольно сложный и трудоемкий вероятностный процесс. Кроме того, темпы инфляции в отдельных периодах в значительной степени подвержены влиянию субъективных факторов, не поддающихся прогнозированию. Поэтому в инвестиционной практике может быть использован и более простой способ учёта фактора инфляции.

В этих целях стоимость инвестируемых средств приих последующем наращении или стоимость их возврата (в виде прибыли, амортизационных отчислений и т.п.) при последующем их дисконтировании пересчитывается заранее из национальной валюты в одну из «сильных» (т.е. в наименьшей степени подверженной инфляции) свободно конвертируемых иностранных валют. Пересчёт наращения или дисконтирования стоимости пересчитанных денежных средств осуществляется затем по чистой ставке процента в соответствующей стране.

Такой способ оценки настоящей или будущей стоимости денежных средств позволяет вообще исключить из расчетов фактор инфляции внутри страны.

Задачи к теме 1

Задача 1. Банк выплачивает 14% годовых по депозитному вкладу. Определить будущее значение вклада в сумме 100 тыс. руб., вложенного сейчас, через 1 год.

Задача 2. Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой став­ке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму.

Задача 3. Необходимо определить наращенную сумму исумму простого процента за год при следующих условиях: первоначальная сумма вклада - 10000 руб.; процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально составляет 10%.

Задача 4. Кредит в размере 200000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год - 24%, а за каждое последующее полу­годие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Задача 5. Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25000 руб. вырастет до 40000 руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.

Задача 6. Определить простую ставку процентов, при которой первона­чальный капитал в размере 24000 руб. достигнет 90000 руб. через 3 года.

Задача 7. Необходимо определить первоначальную сумму вклада и сумму дисконта по простому проценту за год при следующих условиях: конечная сумма вкладаопределена в размере 100000 руб., дисконтная ставка составляет 9% вквартал.

Задача 8.В банк на депозит на 3 года по простой ставке 14% годовых положили 10000 руб. Найти величину процента, полученного вкладчиком за этот период.

Задача 9.Найти период времени, за который сумма, положенная на депозит по простой ставке 14% годовых, возрастет в 6 раз.

Задача 10. Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40000 тыс. руб.

Задача 11. Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 700 тыс. руб.

Задача 12. Вы купили шестилетний 8% сберегательный сертификат стоимостью 35000 руб. Если проценты начисляются ежегодно, какую сумму Вы получите по окончании контракта?

Задача 13. Предприятие собирается приобрести новый станок стоимостью 1200 тыс.руб. Какую сумму необходимо вложить сейчас, чтобы через 4 года иметь возможность совершить покупку, если процентная ставка прибыльности вложения составляет 14%.

Задача 14. Какая сумма будет накоплена вкладчиком через 2 года, если первоначальный взнос составляет 10000 руб., а проценты начисляются ежегодно по ставке 14% годовых. Задачу решить четырьмя способами: 1) проценты начисляются ежегодно; 2) по полугодиям; 3) ежеквартально; 4) ежемесячно.

Задача 15. Определить современную (текущую, настоящую) величину суммы 300 тыс. руб., выплачиваемую через три года, при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.

Задача 16. Наращенная сумма через пять лет при использовании сложной ставки процентов в размере 22% годовых составляет 450 тыс.руб. Опреде­лить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта, если проценты начисляются по полугодиям, поквартально.

Задача 17. Необходимо определить будущую стоимость вклада и сумму сложного процента за весь период инвестирования при следующих условиях: первоначальная стоимость вклада - 100 тыс. руб. Процентная ставка при расчете суммы сложного процента установлена в размере 8% в квартал; общий период инвестирования - два года.

Задача 18.Необходимо определить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта по сложным процентам за три года при следующих условиях: будущая стоимость денежных средств определена в размере 25000 руб.; используемая для дисконтирования ставка сложного процента составляет 10 % в полугодие.

Задача 19. В банк положили на срочный сберегательный счет 100000 руб. на 2 года по ставке 12% годовых с дальнейшей пролонгацией на последующие 3 года по ставке 14% годовых. Найти наращенную сумму по истечении 5 лет.

Задача 20. Вам предлагают инвестировать деньги с гарантией удвоения их суммы через 5 лет. Какова процентная ставка прибыльности такой инвестиции?

Задача 21. Финансовый менеджер предприятия предложил Вам инвестировать Ваши 50000 руб. в его предприятие, пообещав возвратить 60000 руб. через 2 года. Также Вам предложили инвестировать 50000 руб. в другое предприятие под 10% годовых. Имея другие инвестиционные возможности, Вы должны определить процентную ставку прибыльности предложенного варианта.

Задача 22. Первоначальная сумма долга равняется 25 млн.руб. Определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая ставка - 25%.

Задача 23. Определить современное значение суммы 120 тыс.руб., которая будет выплачена через два года, при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.

Задача 24. Необходимо определить реальную будущую стоимость инвестируемых денежных средств при следующих условиях: объем инвестиций - 400 млн. руб., период инвестирования - 4 года, используемая ставка процента с учетом инфляции – 18% в год, ожидаемый темп инфляции в год - 9 %.