3.6.Методы определения параметров моделей структуры потоков.

3.6.1. Характеристики кривых отклика аппаратов на возмущения с помощью моментов.

Структура потока текучей среды через аппарат проявляется в характере распределения частиц жидкости по временам пребывания. Этот характер зависит от типа модели и ее параметров. Параметром модели называется величина, характеризующая данную модель. Наиболее строгим подходом к определениям типа математических моделей и их параметров является экспериментальные исследования с использованием трассеров.

Подавая на вход аппарата некое инертное по отношению к составу потока вещество, и прослеживая его концентрацию на выходе, можно определять параметры выбранной модели потока. Общепринятой методикой для определения параметров моделей по кривым отклика аппарата является вычисление моментов кривых распределения и сопоставление их с пределами передаточных функций, полученных для рассматриваемых моделей при переменной оператора Лапласа, стремящейся к нулю.

Начальным моментом порядка s кривой распределения называется интеграл вида:

. (3.6.1)

Начальный момент нулевого порядка функции распределения равен

(3.6..2)

Момент нулевого порядка определяет площадь импульса и не зависит от формы кривой.

Начальный момент первого порядка равен

(3.6.3)

среднему времени пребывания.

Центральным моментом порядка s кривой распределения называется интеграл вида:

(3.6.4)

Было показано, что центральный момент нулевого порядка для кривой распределения равен 1.

(3.6.5)

Физически это означает нормированное количество вещества, введенного с возмущающим сигналом.

Центральный момент функции распределения первого порядка

(4.6.6)

Для второго центрального момента имеем следующее выражение:

(3.6.7)

Для третьего центрального момента имеем выражение:

(3.6.8)

Третий центральный момент характеризует асимметрию функции распределения частиц по времени пребывания в аппарате. Если ₃>0, наблюдается правосторонняя асимметрия, если ₃<0, наблюдается левосторонняя асимметрия. Для реальных технологических аппаратов наблюдается правосторонняя асимметрия С- кривой, вследствие задержки частиц трассера в аппарате и длительного вымывания их из аппарата.

3.6.2. Связь передаточных функций с моментами кривых

При использовании импульсного входного возмущения имеет место следующая связь:

(3.6.9)

так как с_вх(р)=1 для импульсного входа

Найдем значения производных разных порядков передаточной функции по оператору Лапласа:

(3.6.10)

Найдем теперь пределы правой и левой частей уравнения для производных при р0. Заметим, что стремление к нулю оператора Лапласа соответствует стремлению к бесконечности реального времени t.

(3.6.11)

Интеграл в правой части уравнения соответствует выражению начального момента порядка s для функции распределения.

Поэтому, окончательно получаем выражение для момента кривой распределения в следующем виде:

, (3.6.12)

где s -порядок производной и начального момента.

Используя это уравнение можно найти связь между параметрами модели структуры потока и характеристиками экспериментально наблюдаемой кривой распределения – ее моментами, которые легко вычисляются с использованием методов численного расчета определенных интегралов.

Например, для модели идеального смешения, получим следующие выражения для производных передаточной функции:

Передаточная функция имеет вид:

(3.6.13)

Первая производная

(3.6.14)

Вторая производная

(3.6.15)

Найдем моменты различного порядка как пределы производных при р0:

(3.6.16)

(3.6.17)

(3.6.18)

Найдем центральные моменты кривой отклика аппарата идеального перемешивания:

; (3.6.19)

; (3.6.20)

(3.6.21)

Из полученных выражений видно, что первый начальный момент равен среднему времени пребывания в аппарате, а второй центральный момент равен дисперсии, причем .

Для аппарата идеального вытеснения, с учетом значения передаточной функции, получаем следующие выражения:

;

(3.6.22)

Отсюда получаем следующие уравнения связи моментов с параметрами модели:

(3.6.22)

Полученное выражение для ₂, показывает, что дисперсия ², т.е. рассеяние времени пребывания отдельных частиц в аппарате идеального вытеснения относительно среднего времени пребывания равно нулю. Таким образом, все частицы находятся в аппарате одно и то же время.