372537677

81

Решение:

а) Выведем уравнение реакции для фирмы I. Ее прибыль I = 50qI – 0,25q2I

– 0,25qIqII – 10 – 0,15q2I достигает максимума при 50 – 0,8qI – 0,25qII = 0. Поэтому уравнение реакции фирмы I имеет следующий вид:

qI = 62,5 – 0,3125 qII.

Прибыль фирмы II II = 50qII – 0,25q2II – 0,25qIqII – 25 – 10qII и достигает максимума при 40 – 0,25qI – 0,5qII = 0. Отсюда выводится ее уравнение ре-

акции: qII = 80 – 0,5 qI.

Если фирмы ведут себя как равноправные конкуренты, то равновесные значения цены и объемов предложения определятся из следующей системы уравнений:

В состоянии равновесия прибыли фирм соответственно будут:

I = 24,5 44,44 – 10 – 0,15 44,442 = 780,4;

II = 24,5 57,78 – 25 – 10 57,78 = 809,9;

б) пусть фирма I выступает в роли лидера, а фирма II – последователя. Тогда прибыль фирмы I с учетом уравнения реакции фирмы II будет:

I = 50qI – 0,25q2I – 0,25qI(80 – 0,5qI) – 10 – 0,15q2I = 30qI – 0,275q2I – 10.

Она достигает максимума при 30 – 0,55qI = 0. Отсюда

qI = 54,54; qII = 80 – 0,5 54,54 = 52,7; P = 50 – 0,25(54,54 + 52,7) = 23,2;

I = 23,2 54,54 – 10 – 0,15 54,542 = 809; II = 23,2 52,7 – 25 – 527 = 529.

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы II ее прибыль снизилась, а фирмы I – возросла.

Вслучае лидерства фирмы II ее прибыль

II= 50qII – 0,25q2II – 0,25qII(62,5 – 0,3125qII) – 25 – 10qII = 24,4qII – 0,17q2II – 25

становится максимальной при 24,4 – 0,34qII = 0 qII = 70,9. Тогда

qI = 62,5 – 0,3125 70,9 = 40,3;

82

P = 50 – 0,25(40,3 + 70,9) = 22,2;

I = 22,2 40,3 – 10 – 0,15 40,32 = 641;

II = 22,2 70,9 – 25 – 709 = 840;

в) прибыль картеля определяется по формуле:

к= (50 –0,25qI – 0,25qII) (qI + qII)– 10 – 0,15q2I – 25 – 10qII =

=50qI – 0,4q2I – 0,5qIqII + 40qII– 0,25q2II – 35.

Она принимает максимальное значение при

qI

RII

RI

qII

Рис. 4.3. Зависимость конъюнктуры рынка от типа поведения дуополистов

№ 15. В отрасли функционируют 80 мелких фирм с одинаковыми функциями затрат TCi = 2 + 8 qi2 и еще одна крупная фирма, выступающая в роли лидера, с функцией затрат TCл = 20 + 0,275 qл2 . Отраслевой спрос представлен функцией QD = 256 – 3P. Какая цена сложится на рынке и как он будет поделен между лидером и аутсайдерами?

Решение:

84

1)Функция спроса на продукцию лидера определяется как разность меж-

ду отраслевым спросом и совокупным предложением аутсайдеров:

QЛD = QD – QаS = (90 – 2P) – (-10 + 2P) = 100 – 4P. Следовательно, функ-

ция предельного дохода лидера выглядит MRЛ = 25 – qЛ/2. По условию максимизации выручки лидера 25 – qЛ/2 = 0 находим объем продаж лидера qЛ = 50. Лидер как монополист на своей доле рынка установит цену в соответствии с функцией спроса на свою продукцию: P = 25 – 50/4

= 12,5. Для аутсайдеров полученная цена внешне заданная; ориентируясь на неѐ, они предложат QaS = – 10 + 2*12,5 = 15 ед. продукции.

2)Общий объем продаж на рынке QD = 50 + 15 = 65 ед. Излишки покупателя находятся графически в соответствии с отраслевой функцией

спроса.

Ответ: P=12,5; QaS =15; Rпок=1056,25.

№ 17. На рынке с отраслевым спросом QD = 100 – 2P установилась монопольная цена вследствие того, что продавцы образовали картель с общими затратами TC = 72 + 4Q. После того как руководству картеля стало известно, что еще одна фирма с такими же общими затратами намеревается войти в отрасль, картель решил снизить цену настолько, чтобы у потенциального конкурента исчезло желание входить в отрасль.

1.Какую максимальную цену может установить картель в этой ситуации?

2.Какой минимальной суммой прибыли придется поступиться картелю?

Решение:

1. Искомая цена должна быть такой, чтобы остаточный спрос (неудовлетворенная часть рыночного спроса) оказался ниже кривой средних затрат (PDост AC). Для этого к кривой средних затрат нужно провести касательную, параллельную линии рыночного спроса. Поскольку касательная имеет общую точку с кривой AC и в точке касания наклон обоих линий одинаковый, то искомая цена определяется из решения системы уравнений

Функция остаточного спроса QD = 32 – 2P лежит ниже кривой АС.

2. Определим прибыль картеля до появления угрозы потенциального конкурента:

50 – Q = 4 Q = 46; Р = 27; = 27 46 – 72 – 4 46 = 986

85

и при лимитной цене: 16 68 – 72 – 4 68 = 744; следовательно, = 242.

P

AC MR

D

MC

Q

Рис. 4.5. Лимитная цена картеля

*№ 18. В регионе имеется единственное овощехранилище, закупающее картофель у 50 фермеров, выращивающих картофель с одинаковыми затратами TCi = 5 + 0,25q2i, где qi – количество выращенного картофеля i-м фермером. Хранилище сортирует и фасует картофель по технологии, отображаемой производственной функцией Qf = 16Q0,5, где Qf – количество расфасованного картофеля; Q = qi – количество закупленного картофеля. Определите закупочную цену картофеля при стремлении овощехранилища к максимуму прибыли, если: а) оно может продавать любое количество картофеля по фиксированной цене Pf = 20; б) спрос на фасованный карто-

Решение:

а) Чтобы получить функцию затрат овощехранилища, нужно вывести функцию цены предложения картофеля. Функция предложения каждого

во картофеля можно закупить по цене PS = 400/100 = 4; б) определим выручку и прибыль овощехранилища:

Pf Qf = (42 – 0,1Qf)Qf = (42 – 0,1 16Q0,5) 16Q0,5.

хр = (42 – 0,1 16Q0,5) 16Q0,5 – 0,01Q2.

Прибыль достигает максимума при Q = 140. Цена предложения такого количества PS = 140/100 = 1,4.

P

86

MR MP

S

Q

Рис. 4.6. Цена монопсонии

*№ 19. В городе имеется единственный молокозавод, закупающий молоко у двух групп фермеров, различающихся затратами на литр молока стандартной жирности: TC1 2q1 0,25q12 и TC2 0,5q22 , где qi – количество молока, произведенного одним фермером i-й группы. В первой группе 30 фермеров, во второй – 20. Молокозавод обрабатывает молоко по технологии, отображаемой производственной функцией Qu = 8Q0,5, где Qu – количество пакетов молока; Q = qi – количество закупленного молока, и может продавать любое количество молока по фиксированной цене Pu = 10. При закупке сырья молокозавод может проводить ценовую дискриминацию.

1.По какой цене молокозавод должен закупать молоко у каждой группы фермеров для максимизации своей прибыли?

2.Какую цену установил бы молокозавод, если бы нельзя было проводить ценовую дискриминацию?

Решение:

1. Выведем функции предложения каждой группы фермеров; эти функции для молокозавода являются функциями средних затрат при закупке молока у соответствующей группы фермеров:

Прибыль завода есть разность между выручкой и общими затратами:

Она достигает максимума при:

У первой группы фермеров такое количество молока можно купить по це-

не 2 + 60/60 = 3, а у второй – по 40/20 = 2 ден. ед.

P

P MP

MC2 MC1

AC2 MC

AC1

Q

Рис. 4.7. Ценовая дискриминация монопсонии

2. В этом случае функция предложения молока имеет вид:

Соответственно функция цены предложения (функция средних затрат за-

Такое количество молока можно купить за 1,5 + 100/80 = 2,75 ден. ед. По такой цене первая группа фермеров предложит 55, а вторая – 45 литров.

88

P

P MP

AC2

AC1

MC

AC

Q

Рис. 4.8. Единая цена монопсонии на двух сегментах рынка

№ 20. Известны функция спроса на продукцию монополистического конкурента QA = 30 – 5PA + 2 PB и функция затрат TCA = 24 +3QA. Определить цены двух благ после установления отраслевого равновесия в длительном периоде.

Решение:

Поскольку рынок монополистической конкуренции в длительном периоде, то равновесие фирмы будет характеризоваться равенствами: ACA = PA, MCA = MRA. Тогда:

Решив систему уравнений, получаем: QA = 10,95; ACA = 5,19; PA = 5,19;

PB = 3,45.

*№ 21. Функция спроса на продукцию монополии имеет вид: Р = 24 – 1,5Q. Общие затраты монополии ТС = 50 + 0,3Q2. Определить максимально возможный объем прибыли монополии при продаже всей продукции по единой цене и при продаже выпуска партиями, первая из которых содержит 3 шт.

Решение

Если бы ценовой дискриминации 2-й степени не существовало бы, то условие максимизации прибыли имело вид: 24 – 3Q = 0,6Q. Тогда Q* = 20/3; P*= 14; π = 30.

89

При ценовой дискриминации нужно помнить, что условие максимизации прибыли приобретает вид: MR1 = P2, MR2 = P3, …, MRn = MC. Первые 3 ед. можно продавать по цене P1 = 24 – 1,5×3 = 19,5. Так как MR1 = 24 – 3Q1, то при Q = 3 значение MR1 = 15. Следовательно, вторую партию, еще 3 ед., можно продать по цене P2 = 15.

Для определения MR2 необходимо учитывать сокращение спроса – укорочение линии функции спроса: P2 = 24 – 1,5(Q – 3); MR2 = 28,5 – 3Q, при Q = 6 величина MR2 = 10,5. Это означает, что третью партию нужно продавать по цене 10,5.

Найдем функцию MR3. Для этого необходимо определить новую функцию спроса: P2 = 24 – 1,5(Q – 6); MR2 = 33 – 3Q. При Q = 9 величина MR3 = 6. Но 4-ю партию нужно продавать не по цене 6. Это связано с тем, что точка Курно (пересечение функций MC и MR4) расположена выше. Определим координаты точки Курно из равенства: 37,5 – 3Q = 0,6Q. Отсюда Q = 10,4. Этому выпуску соответствует цена 24 – 1,5×10,4 = 8,4. Следовательно, размер 4-й партии 1,4 ед., а цена P2 = 8,4. Прибыль фирмы составит:

π = 3×(19,5 + 15 + 10,5) + 8,4 × 1,4 – 50 – 0,3×10,42 = 64,3.

*№ 22. На рынке действуют 5 фирм, данные об объемах продаж, ценах и предельных затратах приведены в таблице.

Цена товара 8 тыс. долл. Определить коэффициент бета и эластичность спроса по цене.

Решение:

При решении задачи следует учесть, что индекс Лернера для фирмы (Li), который вычисляется как Li = (P – MC)/P, в соответствии с моделью связан линейной зависимостью с рыночной долей yi: Li = a +byi.

90

Дополнительные расчеты сведем в таблицу.

Для нахождения линейной зависимости между индексом Лернера и долей рынка в соответствии с методом наименьших квадратов необходимо составить систему из двух уравнений:

В условиях примера система уравнений примет вид:

3, 75 5a 0, 998b

0,81 0, 998a 0, 319b

Решив систему, находим, что a = 0,65; b = 0,5. Следовательно, β = 0,65/(0,65 + 0,5) = 0,56.

Эластичность спроса по рынку определяется по формуле: e = HH/Lср, где HH – индекс Герфиндаля–Хиршмана, а Lср – средний индекс Лернера для отрасли. e = 0,319/(3,75:5) = 0,425.

*№ 23. Длина города равна 35 км. Магазин первого дуополиста расположен в точке А на расстоянии 4 км от левого конца города (точка М). Магазин второго – в точке В на расстоянии 1 км от правого конца города. Стоимость перевозки равна 1 ден. ед. на км. Дуополисты максимизируют выручку. Потребители проживают равномерно по всей длине города. Найти расположение точки Е, в которой проживает потребитель, затраты которого на покупку единицы товара (включающие транспортные расходы) одинаковы для обоих магазинов.

Решение:

Найдем расположение точки Е, в которой находится потребитель и где затраты на покупку единицы товара, включая транспортные расходы, одинаковы для обоих магазинов. Если через x и y обозначить расстояния от безразличного покупателя до первого и второго магазина соответствен-