372537677

71

продающей продукцию в условиях совершенной конкуренции, равны либо ТС1 = 4 + 6Q + Q2, либо ТС2 = 98 – 10Q + 0,5Q2. Насколько возрастет объем продаж в длительном периоде, если в результате увеличения доходов потребителей они будут спрашивать на 16,5 ед. больше при каждой цене?

*№ 34. Какую сумму налогов получит государство при введении акциза на сахар в размере 2 руб. за кг, если известно, что: а) сахар произво-

могут покупать труд и капитал в любом количестве по фиксированным ценам w = 2, r = 18; б) покупают сахар 54 потребителя с одинаковыми функциями полезности U QCQB и одинаковыми бюджетами I = 60?

*№ 35. На рынке подсолнечного масла имеются 50 бедных покупателей с бюджетом 80 ден. ед. у каждого и 25 зажиточных покупателей, у каждого из которых бюджет равен 120 ден. ед. Предпочтения подсолнечного масла растительным жирам у всех покупателей одинаковые и характери-

зуются функцией полезности U Qm 5 0,6 Qg 2 0,4 , где Qm – количество масла в литрах; Qg – количество жира в килограммах. Масло производится по технологии Qm L K конкурентными фирмами, которые могут поку-

пать труд и капитал в любом количестве по фиксированным ценам w = 20, r = 5. Сколько растительного масла купит каждый бедный и каждый богатый покупатель, если цена растительного жира равна 10 ден. ед?

ТЕМА 4. ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ НА РЫНКЕ НЕСОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ (МОНОПОЛИЯ, МОНОПОЛИСТИЧЕСКАЯ КОНКУРЕНЦИЯ, ОЛИГОПОЛИЯ)

Примеры задач с решениями

№ 1. Определить выпуск и цену, максимизирующие прибыль и выручку монополиста, а также размер максимальной прибыли, если функция общих затрат имеет вид: TC = 200 + 60Q + 1,5Q2. Функция спроса на продукцию монополии: Q = 240 – 2P.

Почему Q не совпадает при нахождении максимума прибыли и максимума выручки фирмы?

Решение:

Условие максимизации прибыли монополии MC = MR.

72

MC = TC’(Q) = 60 + 3Q;

MR = TR’(Q) = (P∙Q)' = ((120 – 0,5Q)Q)’ = (120Q – 0,5Q2)’ = 120 – Q.

Тогда: 60 + 3Q = 120 – Q, следовательно, максимизирующий прибыль монополии объем продаж Q = 15ед.; P = 120 – 0,5∙15 = 112,5 ден. ед.

Условие максимизации выручки монополии: MR = 0. Тогда: 120 – Q = 0;

Q = 120 ед. P = 60 ден. ед.

πmax = TR – TC = 15∙112,5 – (200 + 60∙15 + 1,5∙152) = 250 ден. ед.

Несовпадение объема выпуска при максимизации прибыли и выручки легко объяснить геометрически: максимизация предполагает равенство тангенсов углов наклона касательных к соответствующим функциям. При максимизации прибыли – это касательные к функциям выручки и затрат, а при максимизации выручки – угол наклона касательной к функции выручки равен нулю.

№ 2. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, продавая 10 ед. продукции по цене 10 ден. ед. Функция общих затрат монополии TC = 4Q + 0,2Q2. Насколько сократится объем продаж, если с каждой проданной единицы продукции взимать налог в размере 4 ден. ед.?

пользуя формулу для расчета коэффициента эластичности спроса, полу-

Предельные затраты монополии после включения в них налога примут вид: MC = 8 + 0,4Q. Тогда оптимум монополии в условиях налога будет иметь вид:

№ 3. Монополия, максимизирующая прибыль, производит продукцию при неизменных средних затратах и продает ее на рынке с линейным спросом. На сколько единиц изменится выпуск монополии, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на

30 ед.?

73

Решение:

1)Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат у монополии линейна, а значит, предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат – параллельна оси Q.

2)Увеличение объема спроса при каждой цене на 30 ед. означает, что график функции спроса сдвигается по оси Q на 30 ед. без изменения наклона. Следовательно, график предельного дохода MR сдвинется по оси Q на 15 ед. также без изменения наклона.

3)Точка Курно (MR = MC) сдвинется по графику MC на 15 ед., а следовательно, и еѐ координата по оси Q, определяющая выпуск монополии, тоже сдвинется на 15 ед.

Ответ: Q=15.

№4. Рыночный спрос, отображаемый функцией QD = 180 – 3P, удовлетворяет монополия, которая производит продукцию с неизменными средними затратами. Стремясь к достижению максимума прибыли, монополия установила цену Р = 40.

а) Определите объем продаж и цену, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.

б) Определите прибыль монополии при указанном изменении спроса.

Решение:

1)Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат у монополии линейна, а значит, предельные затраты тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат параллельна оси Q.

2)При функции спроса Q1D = 180 – 3P и цене Р1 = 40 объем продаж монополии составляет Qм1 = 180 – 3 40 = 60 ед. Функция предельного дохода при этом выглядит как MR1 = 60 – 2Q/3. Предельный доход MR1 = 60

– 2*60/3 = 20. Следовательно, предельные затраты монополии MC = 20 = Const.

3)Увеличение спроса на 30 ед. при каждой цене означает изменение функции спроса до вида Q2D = 210 – 3P. Функция предельного дохода примет при этом вид MR2 = 70 – 2Q/3. Из условия максимизации прибыли MR = MC следует 70 – 2Q/3 = 20, отсюда выпуск монополии со-

ставит Qм2 = 75 ед. Цена при этом в соответствии с новой функцией спроса будет P2 = 70 – 75/3 = 45.

4)Для нахождения прибыли необходимо выразить функцию общих затрат монополии. Поскольку AC = MC = 20, то общие затраты монополии

74

выглядят так: TC = AC*Q = 20Q. Следовательно, прибыль монополии будет П = 45*75 – 20*75 = 1875 д.е.

Ответ: а) Q=75, P=45; б) П=1875.

№ 5. Максимизирующая прибыль монополия с функцией затрат TC = 40 + 10Q + 0,25Q2 может продавать свою продукцию на отечественном рынке, спрос на котором отображается функцией q1D = 60 – P1, и на мировом рынке по цене P2 = 30.

Определите объем продаж на обоих рынках, цену на отечественном рынке и прибыль монополии.

Решение:

Объемы продаж монополии на обоих рынках определяются из условия максимизации прибыли при сегментации рынка: MR1(q1) = MR2(q2) = MC(Q), где Q = q1 + q2 . Предельный доход с отечественного рынка MR1 = 60 – 2 q1. Цена на мировом рынке является для монополии внешне заданной, поэтому MR2 = P2 = 30. Предельные затраты монополии выглядят MC = 10 + 0,5Q. Отсюда находим q1 = 15 и Q = 40, следовательно, объем продаж на мировом рынке q2 = 25. Цена на отечественном рынке будет P1 = 60 – 15 = 45. Прибыль монополии находится как разница между суммой выручки с обоих рынков и общими затратами монополии: П = (45*15

+ 30*25) – (40 + 10*40 + 0,25*402) = 585 д.е. Ответ: q1=15, q2=25, P1=45, П=585.

№ 6. Спрос на товар отображается линейной функцией, а технология его производства – функцией Q=АL K1– . На рынке этого товара совершенная конкуренция сменилась монополией, максимизирующей прибыль. В результате цена товара повысилась на 2 ден. ед., а объем продаж сократился на 100 ед. Насколько ден. ед. сократились излишки потребителей?

Решение:

1)Для данной производственной функции коэффициенты эластичности

выпуска по труду и по капиталу L = , K = 1- . Сумма этих коэффициентов L + K = 1 означает, что данной технологии присуща постоянная отдача от масштаба, а следовательно, долгосрочные средние затраты постоянны.

2)Постоянные средние затраты означают, что функция общих затрат при данной технологии линейна, а значит, предельные затраты тоже

75

постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат параллельна оси Q.

3)Функция отраслевого предложения при совершенной конкуренции совпадает с функцией предельных затрат при монополизации отрасли.

4)Изменение излишков покупателей определяется графически как площадь трапеции, представляющей собой разность между излишками покупателей при совершенной конкуренции и при монополии.

Ответ: Rпок=300

№ 7. При линейном рыночном спросе монополия достигает максимума прибыли с предельными затратами MC = 20 и эластичностью спроса по цене eD = -3. Для полного удовлетворения потребностей в товаре, производимом монополией, требуется 60 ед. Определите объем продаж, цену на рынке монополии и излишки покупателей продукции монополии.

Решение:

1)Общий вид линейной функции спроса QD = a – bP. Параметр “a” опре-

деляет максимальный объем спроса для данной функции (при P = 0). Следовательно, по условию, a = 60. Тогда из соотношения a = Q*(1 – eD) можно найти объем продаж на рынке: Q = 60/(1 + 3) = 15.

2)Для монополии предельный доход и цена связаны соотношением MR = P(1 + 1/ eD), кроме того, при максимизации прибыли MR = MC. Следовательно, цена на рынке будет P = 20/(1 – 1/3) = 30.

3)Зная объем продаж, цену и эластичность, можно найти параметр “b” в

функции спроса: b = – eD*Q/P = 3*15/30 = 1,5. Следовательно, функция спроса имеет вид QD = 60 – 1,5P. Излишки покупателя находятся графически.

Ответ: Q=15, P=30, Rпок=75.

*№ 8. В отрасли работают 10 фирм с одинаковыми функциями затрат TCi = 4 + 2qi + 0,5 qi2 . Отраслевой спрос задан функцией: QD = 52 – 2P. Собственник одной из фирм предложил своим конкурентам передать ему все предприятия, обещая за это выплачивать им регулярный доход, в 2 раза превышающий получаемую ими прибыль.

1.Насколько возрастет прибыль инициатора монополизации отрасли, если его предложение будет принято?

2.Насколько сократятся излишки потребителей?

Решение:

1. Определим функцию предложения отдельной фирмы 2 + qi = P qiS =

–2 + P.

76

Тогда совместное предложение 10 фирм:

10

qiS 20 10P .

i1

Вотрасли установится равновесие при:

– 20 +10Р = 52 – 2Р P =6; Q = 40; qi =4; = 6 4 – 4 – 2 4 – 0,5 16 = 4.

Когда все фирмы будут принадлежать одному продавцу, цена определится из равенства MR = MC. При выведении функции затрат монополии нужно учитывать, что Q = 10qi, тогда qi = 0,1Q. Поэтому ТСмон = 10×ТСi = 40 + 2

условия оптимума монополии МС = МR получаем: 26 – Q = 2+0,1Q, тогда

Q = 21,81; P = 26 – 0,5∙21,81 = 15,1; TR = 329,33; ТС = 40 +2∙21,81+ 0,05∙475,67 = 107,4.

Прибыль монополиста:

= TR – TC = 329,33 – 107,4 = 221,9.

После выплат каждому из бывших конкурентов по 8 ден. ед. у монополиста останется (221,9 – 72) = 149,9, то есть его прибыль возрастет в 149,9/4 = 37,5 раза.

2. Излишки потребителей в результате монополизации отрасли сократились с 400 до 119 ден. ед.

№ 9. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, реализуя 10 ед. продукции по цене 24 ден. ед. Функция общих

затрат монополии

TC = 100 + 4Q + 0,25Q2.

1.Насколько возрастет цена, если с каждой единицы товара будет взиматься налог в размере 7 ден. ед.?

2.Насколько изменится прибыль монополии до уплаты акциза?

3.Какова сумма получаемого налога?

4.Насколько сократятся излишки потребителей?

5.Насколько возрастет объем продаж, если при наличии указанного налога потребители при каждой цене будут спрашивать на 7 ед. товара больше?

Решение:

1. Определим значение eD и выведем функцию отраслевого спроса:

77

Поскольку в исходных условиях MC = 4 + 0,5Q, то после введения акциза MC = 11 + 0,5Q; максимум прибыли монополия получает при 11 + 0,5Q = 39 – 3Q

Q* = 8; P* = 27, то есть цена возросла на 3 ден. ед.

2.В исходных условиях = 24 10 – 100 – 40 – 25 = 75. После введения акциза = 27 8 – 100 – 32 – 16 = 68. Таким образом, прибыль уменьшилась на 7 ден. ед.

3.Сумма налога: (8 7) = 56 ден. ед.

4.Теперь отраслевой спрос QD 33 2P3 , а MR = 49,5 – 3Q. Максимум

прибыли монополия получает при 11 + 0,5Q = 49,5 – 3Q Q* = 11; P* = 33, то есть объем продаж возрос на 3 ед.

№ 10. Монополия может продавать продукцию на двух сегментах рынка с различной эластичностью спроса:

Q1D =160 – P1; Q2D = 160– 2P2. Ее функция общих затрат TC = 10 + 12Q + 0,5Q2.

1. При каких ценах на каждом из сегментов рынка монополия получит максимум прибыли?

2*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов в случае запрета ценовой дискриминации?

3*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов при запрете ценовой дискриминации, если бы ее затраты были в 2 раза меньше?

Решение:

1. Условие максимизации прибыли при осуществлении ценовой дискриминации третьей степени следующее:

Оптимальные цены на сегментах рынка

P1 = 160 – 45,6 = 114,4; P2 = 80 – 0,5 11,2 = 74,4.

2. Для определения условий достижения максимума прибыли при запрете ценовой дискриминации выведем функцию суммарного спроса:

78

Соответственно,

В этом случае линия MC = 12 + Q пересекает MR в интервале 0 < Q 80; выпуск и цена определяются из равенства 160 – 2Q = 12 + Q Q* = 148/3; P* = 332/3. Таким образом, в случае запрещения ценовой дискриминации на втором сегменте рынка продукция продаваться не будет.

3. Теперь кривая предельных затрат MC = 6 + 0,5Q пересекает ломаную MR два раза:

0,5 86,32 = 2476,13.

Следовательно, на втором сегменте рынка продукция опять продаваться не будет.

P

MC0

MC1

D

MR

Q

Рис. 4.1. Ценовая дискриминация третьей степени

*№ 11. Спрос на продукцию отображается функцией QD = 140 – 4P. Общие затраты на ее производство типичной фирмы: TC = 100 + 10Q + Q2. Продукция продается на рынке совершенной конкуренции в длительном периоде. Во сколько раз должны снизиться переменные затраты, чтобы при переходе от совершенной конкуренции к монополии цена не изменилась?

79

Решение:

В длительном периоде при совершенной конкуренции цена установится на уровне минимума средних затрат. Поскольку:

AC 100Q 10 Q, то AC 100Q2 1 0 Q 10 . Значит, каждая фирма-

конкурент будет выпускать 10 единиц продукции, АС = Р = 30. При такой цене объем рыночного спроса равен 20 ед. Монополия, максимизирующая прибыль, выберет сочетание Р = 30; Q = 20, если при этом предельная выручка равна предельным затратам. Поскольку MR = 35 – 0,5 20 = 25, то производная от переменных затрат тоже должна быть равна 25: (10 + 2 20)/x = 25 x = 2; следовательно, переменные затраты должны быть в 2 раза ниже, то есть общие затраты TC = 100 + 5Q + 0,5Q2.

№ 12. В данный момент спрос на продукцию монополистического конкурента отображается функцией QD 55 0,25P , а общие затраты –

TC 450 40Q 0,5Q2 .

Изменение числа конкурентов в отрасли смещает кривую спроса на продукцию фирмы без изменения ее наклона. Насколько сократится выпуск данной фирмы в состоянии длительного равновесия по сравнению с текущим моментом?

Решение:

Цена в исходных условиях выводится из равенства MR = MC: 220 – 8Q =

40 + Q Q = 20; P = 140.

В длительном периоде линия отраслевого спроса станет касательной к кривой средних затрат (АС = Р), и сохранится равенство MR = MC. Из системы этих двух равенств определяются запретительная цена длительного периода (обозначим ее x) и выпуск:

Следовательно, выпуск фирмы сократится вдвое.

80

P

Q

Рис. 4.2. Монополистический конкурент в коротком

идлительном периодах

№13. Монополистический конкурент с функцией общих затрат TC = 80 + 5Q в состоянии длительного равновесия продает свой товар по цене 13 ден. ед. Определите эластичность спроса по цене и излишки покупателей данного товара, если функция спроса линейна.

Решение:

Для монополистического конкурента в длительном периоде должны выполняться два условия: MR = MC (1) и P = AC (2).

1)Из первого условия и соотношения MR = P(1 + 1/ eD) получаем 5 = 13(1 + 1/ eD). Отсюда находим эластичность спроса eD = -1,625.

2)Из второго условия получаем 13 = 80/Q + 5, откуда получаем объем продаж на рынке Q = 10.

3)Если функция спроса линейна QD = a – bP, то параметры “a” и “b” на-

ходятся из соотношений: a = Q*(1 – eD) = 10(1 + 1,625) = 26,25; b =

- eD*Q/P = 1,625*10/13. Восстановив функцию спроса, излишки покупателя находят графически.

Ответ: eD = -1,625; Rпок=40.

№ 14. Отраслевой спрос задан функцией P = 50 – 0,25Q; в отрасли работают две максимизирующие прибыль фирмы I и II со следующими функциями затрат: TCI = 10 + 0,15q2I и TCII = 25 + 10qII. Какая установится цена в соответствии с: а) моделью Курно; б) моделью Штакельберга; в) картельным соглашением?