Учебное пособие по ТСиСА

Таблица 4.1

Результаты корреляционного анализа основных показателей топологических свойств

Таким образом, идентифицировав структуру как некоторую типовую, с определенной долей уверенности можно говорить о тех отличительных особенностях, которые присуще данному типу, приписывая эти особенности исследуемой структуре. Это значительно упрощает задачу анализа структур, требует гораздо меньших затрат времени и, что самое главное, позволяет наглядно представить себе анализируемую структуру, независимо от ее сложности, размерности и хитросплетения.

4.5.Топологические свойства структур, представленных ориентированными графами

Для общности дальнейших рассуждений ориентированные графы (орграфы) структур предполагается строить используя графы этих структур. Напомним, что по определению, в орграфе допускаются кратные дуги. Поэтому для двух смежных в графе вершин положим, что возможны следующие варианты ориентированности ребра:

дуга направлена от вершины x к вершине y; дуга направлена от вершины y к вершине x;

дуга ориентируется и в направлении x (от y) и в направлении y (от x).

Вследствие этого граф, описывающий структуру, трансформируется в орграф с кратностью дуг не более 2. Полученный орграф является исходным для дальнейшего анализа структуры.

Основное свойство, которое может быть оценено по орграфу - это организация взаимодействия между элементами структуры, т.е. орграф дает возможность проанализировать ту основу, которая заложена в динамику процессов, протекающих в данной структуре. С этой точки зрения организацию взаимодействия можно рассматривать, как векторное топологическое свойство орграфа, которое может быть декомпозировано на промежуточные и элементарные топологические свойства, например, так, как показано на рис.4.7.

Организация

взаимодействия

Рис. 4.7. Иерархия топологических свойств структур, представленных орграфами

Для раскрытия содержания свойств, составляющих свойство взаимодействия, необходимо отметить, что априорно известен характер направлений взаимодействий элементов структуры, который отражается на орграфе. С учетом этого, топологические свойства, определяющие организацию взаимодействия, в известном смысле дополняют свойства структуры, представленной графом или трансформируются в соответствии с особенностями ее нового графоаналитического описания.

Следовательно, полнота - это свойство структуры, характеризующее ее насыщенность взаимодействиями элементов; достижимость - это свойство структуры, заключающееся во «взаимодосягаемости» ее элементов; композиционность - это свойство структуры, отражающее опосредованное влияние ее элементов друг на друга.

Указанные свойства структуры, по аналогии со структурой, формализованной графом, базируются на первичных топологических свойствах:

турнирности - близости орграфа к полному орграфу; разряженности - наличии нулевых элементов в матрице

смежности вершин орграфа и характере их распределения; вершинной достижимости; степенной упорядоченности вершин - характере распреде-

ления действительных степеней вершин орграфа; контурности - существовании и взаиморасположении неза-

висимых контуров орграфа; влиятельности - силе опосредованного влияния вершин орг-

рафа друг на друга, вследствие ориентированности ребер графа. Анализ представленной совокупности топологических

свойств позволяет сделать вывод о том, что интенсивность их проявления однозначно обуславливает возможности анализируемой структуры по организации взаимодействия ее элементов.

4.6. Показатели топологических свойств структур-орграфов

Как было отмечено, орграф, полученный преобразованием графа структуры, не должен иметь кратность дуг больше, чем 2. Поэтому максимальное количество дуг в нем, при n вершинах, составит m=n(n-1). Тогда турнирность орграфа можно оценить следующим коэффициентом

где aij - элемент матрицы смежности A вершин орграфа.

Под турниром, в данном случае, понимается полный орграф. Выражение (4.27) несложно получить, если учесть, что

mmin = n − 1.

Тогда

где S - показатель связности орграфа.

Кроме того, орграф с m=(n-1), полученный из связного графа, всегда связен.

Полагая, что минимально возможное число нулевых элементов содержится в матрице смежности вершин полного орграфа, а максимально возможное - в структурах с R=0, нетрудно получить коэффициент, характеризующий разряженность орграфа

Очевидно, что Tmax = gmax = 1. Однако физический смысл

Tmax (Tmin ) соответствует gmax (gmin ) с точностью до наоборот. Действи-

Показатель вершинной достижимости должен отражать то, насколько «быстро» можно из вершины i «попасть» (достигнуть) в вершину j (вершины j). Поэтому определив минимальные пути для каждой вершины орграфа, средняя достижимость составит величину, которая рассчитывается по формуле:

где d ij - элемент матрицы минимальных путей D , получаемой аналогично матрице D;

nнi - количество нулей в i-й строке матрицы D .

Отметим, что при biэ =n-1 из i-й вершины выходят дуги ко

j=1

и длинные пути и отсутствие таковых вообще. Коэффициент λi

учитывает возможность принципиальной достижимости вершин из вершины i.

Физическая сущность показателя упорядоченности вершин орграфа по степеням аналогична сущности показателя ξ, оценивающего однородность вершин графа, т.е. выражение (4.16) для орграфа запишется в следующем виде:

l - количество уровней в упорядоченном графе.

Общее число контуров орграфа, для которого 2 ≤ m ≤ n(n − 1) ,

находится по формуле:

где R (i ) - диагональный элемент матрицы , возведенной в

a jj A

степень i.

Учитывая, что контур орграфа может быть образован не менее, чем двумя дугами, максимальное число контуров в орграфе с n вершинами составит

где Cni - число сочетаний из i по n.

Тогда относительную контурность можно определить по зависимости:

Очевидно, что 0 ≤ I ≤ 1, причем I min = 0 для структур не содержащих ни одного контура, а I max = 1 для структур типа полный орграф.

Последней характеристикой, обуславливающей организацию взаимодействие в структуре, является влиятельность ее элементов друг на друга. Если ввести в рассмотрение норму влияния вершины орграфа

где ρi− - полустепень исхода i-й вершины;

ρi - действительная степень i-й вершины,

то средняя норма влияния в орграфе определиться выражением:

Следует отметить, что приведенные показатели топологических свойств структуры, представленной орграфом, в определенных своих сочетаниях способны оценивать свойства более высокого уровня иерархии (рис.4.7). Например, проявление контурности и влиятельности определяет композиционность структуры.

По аналогии с инвариантами графов, показатели топологических свойств орграфов, также имеют зависимость, в данном случае, от числа дуг в орграфе. Указанная зависимость показана на рис.4.8.

Т 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

а) Турнирность структуры

I 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

б) Относительная контурность

u 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

в) Средняя норма влияния