10. Волны и уравнение гельмгольца Уравнения Гельмгольца. Волновой характер электромагнитного поля
Из результатов, выявленных Максвеллом, одним из главных предстало доказательство волновой природы электромагнитного поля. Как мы знаем, изменение электрического поля во времени приводит к появлению магнитного поля однородного в пространстве, и также наоборот. Здесь процесс походит на физическую картину обмена энергией между магнитным и электрическим полем в типичном колебательном контуре.
Следовательно, от этого ожидается, что в самом общем случае электромагнитный процесс представляет собой также некоторые колебания. Здесь принципиальная разница несёт в себе то, что одновременно во всех точках пространства должны рассматриваться колебания электромагнитного поля. Волновым процессом в физике принято называть колебательное движение непрерывной среды. Математически докажем волновой характер электромагнитного поля объединив уравнения Максвелла с другими уравнениями, конечно же которые описывают волновой процесс.
Проведем
анализ электромагнитного поля в отдельной
области пространства, там, где отсутствует
плотность зарядов, то есть 
.
Также предполагается равной нулю
плотность сторонних электрических
токов.
Из системы уравнений Максвелла выпишем первые два вот в таком виде:
Для приведения этих уравнений к одному применим операцию rot к правой и левой частям второго уравнения и после через первое уравнение сформулируем полученную правую часть:
В
этом месте 
–
при общем случае число комплексное,
являющееся, постоянной распространения
электромагнитной волны. Для величины 
можно
встретить также в литературе наименования
волновое число или фазовая постоянная.
Следующую реорганизацию формулы
можно реализовать, если же применить известное нам тождество векторного анализа:
Здесь
«набла квадрат» 
-
второго порядка векторный дифференциальный
оператор, конкретная форма которого
определяется целиком той координатной
системой, в которой ведется вычисления.
Действие оператора 
в
декартовой координатной системе сводится
к тому, что используется оператор Ланласа
к каждой из проекций векторного поля
Если
же использовать закон Гаусса, который
обеспечивает 
в
соответствии с принятым условием 
тогда
уравнение
возможно будет изложить в последующем крайне изящном виде:
Применяя симметрию уравнений Максвелла, безусловно, аналогично также получаем уравнение сравнительно векторного поля Н;
В математической физике уравнения
и
имеют название уравнений Гельмгольца от имени немецкого выдающегося физика Г. Гельмгольца. Со стороны математики, возможно, показать, что данные уравнения описывают стационарные волновые процессы, то есть распространение волн в пространстве с отдельной хронической частотой. Тем самым принято фундаментальное заключение теории Максвелла – переменность магнитных или электрических полей во времени неминуемо ведёт к распространению электромагнитных волн в пространстве. Уравнение Гельмгольца в координатной форме, к примеру
излагается надлежащим образом:
или
Решение системы показанной выше существенно упрощается тогда, когда поле не располагает какими-либо составляющими, к примеру
а так же на ту пору когда поле всегда в каких-либо плоскостях, пример этому
