§11. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общий вид y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + … + a_n-1y + a_ny = 0(7)

Характеристическое уравнение ⁿ + a₁^n-1 + … + a_n-1  + a_n = 0 (8)

веществ. корням кратностиr уравнения (8)rлин. незав. решений (7)e^x, x e^x, … , x^r-1 e^x

паре компл.  =   iкратностиs уравнения (8)sпар лин. незав. решений (7)

e^xcos x, xe^xcos x, … , x^s-1e^xcos x; e^xsin x, xe^xsin x, … , x^s-1e^xsin x

§12. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общий вид y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + … + a_n-1y + a_ny = f(x)(9)

y(x) = y₀(x) + y_(x) y₀(x)- общее решение (7) y_(x) - частное решение (9)

Специальные виды f(x) в уравнении (9):

1. f(x) = ( d₀x^m + d₁x^m-1 + … + d_m)e^kx

2. f(x) = [(a₀x^k + a₁x^k-1 + … + a_k)cos qx + ( b₁x^l + b₂x^l-1 + … + b_l)sin qx]e^px

метод неопределенных коэффициентов

а) kиp  iqне корни (8)y_ищется в виде

1. y_ = ( D₀x^m + D₁x^m-1 + … + D_m)e^kx

2. y_ = [(A₀x^M + A₁x^M-1 + … + A_M)cos qx + ( B₁x^M + B₂x^M-1 + … + B_M)sin qx]e^px, M = max( k, l )

б) kилиp  iqсовпадают с корнем (8) кратностиry_ищется в виде

1. y_ =x^r ( D₀x^m + D₁x^m-1 + … + D_m)e^kx

2. y_ =x^r [(A₀x^M + A₁x^M-1 + … + A_M)cos qx + ( B₁x^M + B₂x^M-1 + … + B_M)sin qx]e^px, M = max( k, l )

§13. Понятие системы дифференциальных уравнений.

kуравненийxиkфункцийy₁(x), y₂(x), … , y_k(x)

каноническая,n = p₁ + p₂ + … + p_kпорядок системы

p₁ = p₂ = … = p_k= 1 нормальная система

Решение на (a,b)y₁ = ₁(x), y₂ = ₂(x), … , y_k = _k(x)

y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y,…,y^(n-1)) (2)

Глава 12. Комбинаторика.

Сколькими способами можно выбрать n элементов из k?

§1. Размещения.

число размещений из n элементов по k

§2. Перестановки.

число перестановок из n элементов. 0! = 1.

§3. Сочетания.

число сочетаний из n элементов по k

Порядок выбора элементов не важен

рекуррентное соотношение. Треугольник Паскаля.

бином (Ньютона)

Биномиальные коэффициенты

§4. Размещения и сочетания с повторениями.

число размещений с повторениями из n элементов по k

число сочетаний с повторениями из n элементов по k

§5. Перестановки с повторениями.

Глава 11. Ряды.

§1. Сумма ряда. Сходимость ряда.

u₁ + u₂ + … + u_n + … (1) числовой ряд. u_n - общий член ряда (1)

n – я частичная сумма ряда (1) S_n = u₁ + u₂ + … + u_n u_nS_n

 сходится расходится

§2. Свойства сходящихся рядов.

Т.1 (1) сходится = S  cu₁ + cu₂ + … + cu_n + … = (cu_n) сходится = cS

Т.2 u_n v_n S_u, S_v  (u_n + v_n) , (u_n – v_n) S_u + S_v S_u S_v

Т.3 «Сходимость ряда определяется его «хвостом» »

§3. Необходимый признак сходимости ряда.

Т.4 u_n сх.  u_n  0 при n  

Гармонический ряд расходится ( = )

§4. Сравнение рядов.

Т.5 а) n u_n  0 б) n u_n  v_n в) v_n сх.  u_n сходится

Т.6 (предельный признак сравнения) n u_n  0, v_n  0  ,0 < q < +  u_n v_n

§5. Признак Даламбера.

Т.7 u_n (1) , u_n  0,

§6. Признак Коши (радикальный).

Т.8 u_n (1) , u_n  0,

Формула Стирлинга ,0 <  < 1

§7. Интегральный признак.

Т.9 f(x) > 0, монотонна при x  1 nN f(n) = u_n  (1) сх. одновременно с

(р) = n^-p при p>1 сх., при p1 расх.

§8. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

, u_n  0 (2)

Т10. u₁ u₂… u_n u_n+1… u_n= 0  (2) сх.  u₁

Следствие. Для (2) S_n  S  u_n+1

§9. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Т.11. (1) (3) сх.  (1) тоже сх. ( Если ряд абсолютно сходится, то он сходится)

Условно сходящийся – сходится, но не абсолютно.

Достаточные признаки для знакопеременных рядов

Даламбера , радикальный Коши , интегральный f(n) = u_n

Т.12. Если ряд абс. сходится, то он остается абс. сходящимся при любой перестановке его членов.

Т.13. Если ряд сх. условно, то А можно так переставить члены этого ряда, что его сумма будет =А.

§10. Понятие о функциональном ряде.

f_n(x), nN D f₁(x) + f₂(x) + … + f_n(x) +… = (4)x₀D xD₁D

По признакам Даламбера и Коши

абсолютная сходимость (4) при l(x)<1, расходимость при l(x)>1

§11. Степенные ряды. Теорема Абеля.

a₀ + a₁(x – x₀) +a₂(x – x₀)²+…+a_n(x – x₀)ⁿ+… =  a_n(x – x₀)ⁿ (5) x – x₀

a₀ + a₁x +a₂x²+…+a_nxⁿ+… =  a_nxⁿ (6)

T.14. (6) сх. при x₀0  абс. сх. при x: x<x₀ (6) расх. при x = x₁  расх. при x: x>x₁

Радиус сходимости R 

§12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Т.15. x – x₀<R (5) – непрерывная функция

Т.16. x – x₀<R (5) можно дифференцировать

Т.17. x – x₀<R (5) можно интегрировать по отрезку внутри x – x₀<R от х₀ до х

§13. Разложение функций в ряд Тейлора.

T.18. f(x) x – x₀<R

§14. Приложения степенных рядов.

А. Вычисление значений функций

Погрешность

Б. Интегрирование функций

В. Решение дифференциальных уравнений

§15. Понятие о рядах Фурье.

Тригонометрическая система функций 1,cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, … , cos nx, sin nx, …

ортогональной на [-,]

Если , токоэффициенты

Фурье f(x)

Ряд f(x) четная b_k=0 f(x) нечетная a_k=0

T.19. Если периодическая f(x) с периодом 2 имеет на [-,] конечное число точек разрыва 1 рода, то S(x) сходится к f(x) в каждой точке непрерывности и к ½[f(x+0)+f(x0)] в точках разрыва