2. Оптимальное управление дискретным объектом

Оптимальное управление дискретным объектом относится к разделу математики, изучающему характер поведения управляемых объектов, законы развития которых описываются разностными уравнениями (системами разностных уравнений), а независимая переменная (время) принимает лишь дискретные значения. Постановка задачи оптимального управления дискретным объектом (с дискретным временем) аналогична постановке задачи математической теории оптимальных процессов. Отличие состоит в том, что независимая переменная (время) пробегает лишь дискретное множество значений , где- фиксированное натуральное число, а закон движения объекта описывается системой разностных уравнений

,, (2.1.)

где индекс у вектор-функции означает, что она, вообще говоря, различна для различных моментов времени.

Зная начальное состояние объекта

, (2.2.)

и выбрав управления, т.е. последовательность векторов

, (2.3.)

с помощью системы уравнений (2.1.) найдем соответствующую (выбранному управлению) траекторию

. (2.4.)

Конечно, как и в случае непрерывного времени, рассматриваются лишь допустимые управления (2.3.), т.е. такие, что выполнено включение

, , (2.5.)

где - заданная область управления, меняющаяся от одного момента времени к другому.

Помимо начального состояния , обычно бывает задано и конечное состояние объекта, так что нас интересуют не любые допустимые управления, а лишь те из них, для которых соответствующая траектория удовлетворяет условию

. (2.6.)

Допустим, далее, что заданы некоторые скалярные функции . За критерий качества траектории (2.4.) (или управления (2.3.)) возьмем функционал

. (2.7.)

Задача дискретного оптимального управления формулируется следующим образом: выбрать управление (2.3.), удовлетворяющее условию (2.5.) так, чтобы для соответствующей траектории (2.4.) объекта (2.1.) с начальным условием (2.2.) выполнялось условие (2.6.), а функционал (2.7.) принимал наименьшее возможное значение. Управление и траектория, дающие решение этой задачи, называются оптимальными.

Задачи оптимального управления дискретным объектом естественным образом возникают во многих математических моделях экономики. Часто ту или иную модель можно рассматривать как дискретный управляемый объект, причем область управления характеризует имеющиеся в распоряжении ресурсы. Функционалу (2.7.) можно придать следующий смысл: будем считать, что, находясь в момент в положениии выбирая управляющий вектор, мы должны внести «плату» в размере. Тогдаесть суммарная «плата» за выбор всего управления (2.3.), которую и стремимся минимизировать. Если функционалимеет смысл «дохода» и ставится задача о его максимуме, то, очевидно, достаточно минимизировать функционал.

Задачи отыскания оптимальных траекторий динамических межотраслевых моделей могут быть решены методами математического программирования. Однако, эти же задачи целесообразно представлять в виде задач оптимального управления дискретным объектом, разделяя переменные величины моделей, которые определяются на основании выбранных переменных управления. В качестве переменных управления обычно выбирают приросты основных фондов, в качестве фазовых переменных – валовые выпуски (чистых) отраслей. Переход к задачам оптимального управления дискретным объектом бывает обусловлен, в частности, тем, что в ряде случаев методы их решения более эффективны, чем методы решения задач дискретного программирования.

Для решения задач дискретного оптимального управления (в том числе и более общего вида, чем сформулированная выше) удобно привлекать метод динамического программирования и различные необходимые условия оптимальности (дискретный принцип максимума Понтрягина, градиентные условия и др.).