5. Простейшая задача размещения на сети

Простейшая задача размещения на сети – это математическая формализация, используемая в процессе принятия решения по выбору пунктов размещения предприятий, производящих однородную продукцию для удовлетворения заданного спроса. Пусть имеется возможных пунктов размещения предприятий ипунктов потребления (точек спроса),, расположенных в узлах сети, где- множество вершин,- множество ребер сети. Заданы величины,;,;,,, где

• = спрос в пункте потребления ;

• - затраты на ввод в действия предприятия ;

• - стоимость производства единицы продукции в пункте размещения ;

• - затраты на доставку единицы продукции из пункта производства в пункт потребления.

Считается, что каждый потребитель обслуживается одним предприятием. Целевая функция задачи – суммарные затраты на размещение предприятий и обслуживание спроса – должна достигнуть минимума. Простейшая задача размещения на сети записывается в виде

,

где ,,.

Простейшие задачи размещения на сети относят к числу трудноразрешаемых (сложность задач дискретной оптимизации). Для некоторых классов простейших задач размещения на сети построены эффективные точные алгоритмы. Наиболее известными являются задачи со связанными и с квазивыпуклыми матрицами (). Матрица () квазивыпукла, если для всякихи,.

Матрица () связана, если для всяких,разностьменяет знак не более одного раза при монотонном изменении. В общем случае для решения простейших задач размещения на сети хорошо себя зарекомендовали методы ветвей и границ. Для простейших задач размещения на сети играет важную роль при построении математических методов решения математической теории стандартизации задачи.

Для нелинейной простейшей задачи размещения на сети производственная функция - затраты на размещение предприятиязависят от суммарного объема спроса, обслуженного из этого предприятия. В случае кусочно-линейной, растущей, вогнутой, производственной функции нелинейная задача размещения сводится к простейшей задаче размещения на сети.

Задачи математической теории стандартизации возникают при обосновании типажа (оптимального ряда) машин, механизмов и оборудования, параметров новых технических изделий, состава систем технических средств и т.п. Задача имеет своей целью исключение нерационального многообразия видов, марок, моделей и типоразмеров производимой продукции для создания условий организации крупносерийного специализированного производства и внедрения в производство продукции с наилучшими технико-экономическими показателями. В качестве критерия выбора рациональной системы изделий (продукции), предназначенной для удовлетворения заданного спроса, часто используют минимум суммарных затрат в сферах проектирования (начальные затраты), производства и эксплуатации изделий.

Рассматривают также обратную задачу с критерием максимизации системы при ограничении на величину суммарных затрат. Различные постановки задачи позволяют учитывать такие факторы, как:

• уменьшение удельных производственных затрат с увеличением серийности производства;

• динамику производственных и эксплуатационных затрат;

• ограничения на объемы производства;

• динамику и случайность спроса.

С практической точки зрения интересны двухуровневые задачи стандартизации, где требуется выбирать элементы (компоненты, изделия, модули) первого уровня и элементы (компоненты, узлы) второго уровня. При этом спрос удовлетворяется с помощью выбранных элементов второго уровня.

При построении математических методов решения перечисленных задач важную роль играет простейшая задача размещения на сети.

К распределительным относятся такие широко распространенные задачи, как транспортная задача линейного программирования, задача о назначениях и многие другие.

Обозначим:

• - затраты на перевозку 1единицы однородного груза вида к пункту,

• - количество этого груза к пункту,

• - располагаемое количество груза вида .

• - цена за единицу груза вида ;

• - объем продаж в стоимостном выражении в пункте .

Задача заключается в составлении плана перевозок, обеспечивающего удовлетворение спроса во всех пунктах в этих грузах наиболее эффективным способом. Формально задача записывается так. Требуется найти минимум линейной формы

при выполнении условий

, (5.1)

, (5.2)

. (5.3.)

Линейная форма определяет суммарные транспортные издержки на перевозку грузов. Ограничения (5.1) означают, что объем доставленного в каждый пункт потребления груза должен удовлетворять сложившийся там спрос. Условия (5.2) означают, что количество, направляемого во все пункты потребления груза, не должен превышать располагаемой величины.

В распределительной задаче нередко возникает необходимость учитывать двусторонние ограничения на переменные модели. В терминах задачи, приведенной выше, двусторонние ограничения переменных могут истолковываться, например, как ограничения пропускных способностей коммуникаций и нецелесообразность перевозок недогруженным транспортом. В этом случае ограничения (5.3) примут вид

(5.4.)

Задача (5.1.)-(5.3.), (5.4.) называется распределительной задачей с двусторонними ограничениями.

Сам термин распределительная задача, по видимому, связан со следующей задачей распределения видов изделий междупредприятиями.

Задачи распределения могут решаться в статической (однократной) и в динамической постановке. В последнем случае часто применяют методы стохастического программирования, в которых принятие решений основано на вероятностных оценках будущих значений параметров.

Распределительные задачи, особенно линейные, получили распространение в практике, например в химической промышленности, и могут быть, в какой-то степени, основой оптимального управления производственными системами. Основной принцип моделирования распределительных задач рассмотрим на конкретном примере модели объемного распределения годовой производственной программы.

Постановка этой задачи заключается в определении годовой производственной программы и предполагает ее дальнейшее номенклатурно-количественное распределение во времени и пространстве с учетом выполнения необходимых ограничений и соответствующих технико-экономических показателей. Первой распределительной моделью в иерархии взаимосвязанных экономико-математических моделей производственного планирования является модель объемного распределения годовой производственной программы по периодам (например, кварталам). При этом должны учитываться следующие основные экономические условия (требования):

1. Безусловное выполнение общего задания по номенклатуре и объемам выпуска.

2. Соблюдение директивных сроков выпуска и сроков поставки по договорам.

3. Непрерывная загрузка основных групп рабочих мест и производственного оборудования в каждом квартале.

4. Равномерный выпуск продукции по стоимости.

5. Максимально возможная концентрация выпуска одноименных и конструктивно-однородных групп изделий.

6. Максимально возможная непрерывность производства и выпуска изделий каждого наименования.